Няроўнасць трохвугольніка

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Няро́ўнасць тро́хвуго́льніка ў геаметрыі, функцыянальным аналізе і сумежных дысцыплінах — адна з інтуітыўных уласцівасцей адлегласці. Яна сцвярджае, што даўжыня любой стараны трохвугольніка заўсёды не пераўзыходзіць сумы даўжынь яго іншых старон. Няроўнасць трохвугольніка ўключаецца як аксіёма ў азначэнне метрычнай прасторы, нормы і г.д.; таксама, часта з'яўляецца тэарэмаю ў розных тэорыях.

Еўклідава геаметрыя[правіць | правіць зыходнік]

Даўжыня любой стараны трохвугольніка не пераўзыходзіць сумы даўжынь дзвюх астатніх.

Няхай ёсць трохвугольнік Тады прычым роўнасць дасягаецца толькі тады, калі трохвугольнік выраджаны, і пункт ляжыць строга паміж і .

Еўклід у Пачатках даказвае няроўнасць трохвугольніка наступным чынам. Спачатку даказваецца тэарэма, што знешні вугал трохвугольніка большы за ўнутраны вугал, з ім не сумежны. З яе выводзіцца тэарэма аб тым, што насупраць большай стараны трохвугольніка ляжыць большы ўнутраны вугал. Далей, метадам ад процілеглага даказваецца тэарэма аб тым, што насупраць большага ўнутранага вугла трохвугольніка ляжыць большая старана. А з гэтай тэарэмы выводзіцца няроўнасць трохвугольніка.

Нармаваная прастора[правіць | правіць зыходнік]

Няхай нармаваная вектарная прастора, дзе — адвольнае мноства, а — вызначаная на норма. Тады па азначэнню апошняй справядліва:

Гільбертава прастора[правіць | правіць зыходнік]

У гільбертавай прасторы, няроўнасць трохвугольніка з'яўляецца вынікам няроўнасці Кашы — Бунякоўскага.

Метрычная прастора[правіць | правіць зыходнік]

Няхай метрычная прастора, дзе — адвольнае мноства, а — вызначаная на метрыка. Тады па азначэнню апошняй

Варыяцыі і абагульненні[правіць | правіць зыходнік]

Адваротная няроўнасць трохвугольніка[правіць | правіць зыходнік]

Вынікам няроўнасці трохвугольніка ў нармаванай і метрычнай прасторах з'яўляюцца наступныя няроўнасці:

Няроўнасць трохвугольніка для трохграннага вугла[правіць | правіць зыходнік]

Кожны плоскі вугал выпуклага трохграннага вугла меншы за суму двух другіх яго плоскіх вуглоў.