Падмноства

З пляцоўкі Вікіпедыя.
Перайсці да: рух, знайсці

Падмно́ствамноства, якое з’яўляецца часткай іншага, большага мноства. Больш фармальна, мноства B з’яўляецца падмноствам мноства A, калі любы элемент B з’яўляецца адначасова элементам A:

~ B \subseteq A \quad \Leftrightarrow \quad \forall b \ (b \in B \to b \in A)

Уласцівасці падмностваў[правіць | правіць зыходнік]

Падмноства мае наступныя ўласцівасці, якія вынікаюць непасрэдна з яго вызначэння:

  • любое мноства з’яўляецца падмноствам сябе самога: \forall A, A \subseteq A
  • пустое мноства з’яўляецца падмноствам любога мноства: \forall A, \varnothing \subseteq A
  • любое мноства з’яўляецца падмноствам універсальнага мноства: \forall A, A \subseteq U
  • аб’яднанне любога мноства са сваім падмноствам складае гэтае мноства: B \subseteq A \ \Leftrightarrow \ A \cup B = A
  • перасячэнне любога мноства са сваім падмноствам складае гэтае падмноства: B \subseteq A \ \Leftrightarrow \ A \cap B = B.

Уласнае падмноства[правіць | правіць зыходнік]

Мноства B з’яўляецца ўласным падмноствам мноства A, калі:

  • любы элемент B з’яўляецца адначасова элементам A
  • у A існуе прынамсі адзін элемент, які не ўваходзіць у B.

Калі мноства B з’яўляецца ўласным падмноствам A, гэта абазначаецца так: B \subset A

~ B \subset A \quad \Leftrightarrow \quad \forall b \ (b \in B \to b \in A) \ \land \ \exists a \ (a \in A \ \land \ a \notin B)

Відавочна, што

  • калі B з’яўляецца ўласным падмноствам A, то яно з’яўляецца адначасова і яго звычайным падмноствам: B \subset A \Rightarrow B \subseteq A
  • ніводнае мноства не з’яўляецца ўласным падмноствам сябе самога (гэта галоўная асаблівасць уласнага падмноства, якая адрознівае яго ад звычайнага падмноства)

Усе астатнія ўласцівасці ўласных падмностваў аналагічныя да адпаведных уласцівасцяў падмностваў.