Палярная сістэма каардынат

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
Палярная сетка, на якой адкладзена некалькі вуглоў з пазнакамі ў градусах.

Палярная сістэма каардынат — двухмерная сістэма каардынат, у якой кожны пункт на плоскасці вызначаецца двума лікамі — палярным вуглом і палярным радыусам. Палярная сістэма каардынат асабліва карысная ў выпадках, калі адносіны паміж пунктамі прасцей адлюстраваць у выглядзе радыусаў і вуглоў; ў больш распаўсюджанай, дэкартавай або прамавугольнай сістэме каардынат, такія адносіны можна ўсталяваць толькі шляхам прымянення трыганаметрычных ураўненняў.

Палярная сістэма каардынат задаецца прамянём, які называюць нулявым або палярнай воссю. Пункт, з якога выходзіць гэты прамень, называецца пачаткам каардынат альбо полюсам. Любы пункт на плоскасці вызначаецца двума палярнымі каардынатамі: радыяльнай і вуглавой. Радыяльная каардыната (звычайна пазначаецца ) адпавядае адлегласці ад пункта да пачатку каардынат. Вуглавая каардыната таксама называецца палярным вуглом або азімутам і пазначаецца , роўная куце, на які трэба павярнуць супраць гадзінны стрэлкі палярную вось для таго, каб патрапіць у гэты пункт.[1]

Вызначаная такім чынам радыяльная каардыната можа прымаць значэнні ад нуля да бясконцасці, а вуглавая каардыната змяняецца ў межах ад 0° да 360°. Аднак, для зручнасці вобласць значэнняў палярнай каардынаты можна пашырыць за межы поўнага вугла, а таксама дазволіць ёй прымаць адмоўныя значэння, што адказвае павароту палярнай восі па гадзіннікавай стрэлцы.

Графічнае прадстаўленне[правіць | правіць зыходнік]

Пункт у палярнай сістэме каардынат.

Кожны пункт у палярнай сістэме каардынат можа быць вызначана двума палярнымі каардынатамі, што звычайна называюцца (радыяльная каардыната, вуглавая адлегласць, сустракаецца варыянт ) і (вуглавая каардыната, палярны вугал, азімут, пазіцыйны вугал, часам пішуць альбо ). Каардыната адпавядай адлегласці да полюса, а каардыната роўная куце ў напрамку супраць гадзінны стрэлкі ад прамяня праз 0° (часам называецца палярнай воссю)[1].

Палярны радыус вызначаны для любога пункта плоскасці і прымае неадмоўныя значэння . Палярны вугал вызначаны для любога пункта плоскасці, за выключэннем полюса , і прымае значэння . Палярны вугал вымяраецца ў радыянах і адлічваецца ад палярнай восі:

  • ў дадатным напрамку (супраць напрамкі руху гадзінны стрэлкі), калі значэнне вугла станоўчае;
  • у адмоўным кірунку (па кірунку руху гадзіннікавай стрэлкі), калі значэнне вугла адмоўнае.

Напрыклад, пункт з каардынатамі будзе выглядаць на графіку як пункт на промні, які ляжыць пад вуглом 60° да палярнай восі, на адлегласці 3 адзінкі ад полюса. Пункт з каардынатамі будзе намаляваная на тым жа месцы.

Камплексныя лікі[правіць | правіць зыходнік]

Прыклад камплекснага ліку z нанесенага на камплексную плоскасць.
Прыклад камплекснага ліку нанесенага на графік з выкарыстаннем формулы Эйлера.

Кожны камплексны лік можа быць прадстаўлены пунктам на камплекснай плоскасці, і, адпаведна, гэты пункт можа вызначацца ў дэкартавых каардынатах (прамавугольная альбо дэкартавая форма), або ў палярных каардынатах (палярная форма). Камплексны лік z можа быць запісаны ў прамавугольнай форме як:

дзе i  — уяўная адзінка, ці ў палярнай:

і адсюль, як:

дзе e — лік Эйлера. Дзякуючы формуле Эйлера, абодва прадстаўлення эквівалентныя.[2] (Варта адзначыць, што ў гэтай формуле, падобна астатнім формул, якія змяшчаюць узвядзенне ў ступень вуглоў, вугал φ зададзена ў радыянах.)

Для пераходу паміж прамавугольным і палярным прадстаўленнем камплексных лікаў, могуць выкарыстоўвацца прыведзеныя вышэй формулы пераўтварэння паміж сістэмамі каардынат.

Аперацыі множанне, дзяленне і узвядзенне ў ступень з камплекснымі лікамі, як правіла, прасцей праводзіць у палярнай форме. Згодна з правіламі ўзвядзення ў ступень:

  • Множанне:
  • Дзяленне:

Зноскі

  1. 1,0 1,1 Brown, Richard G. (1997). Andrew M. Gleason. ed. Advanced Mathematics: Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis. Evanston, Illinois: McDougal Littell. ISBN 0-395-77114-5. 
  2. Smith, Julius O. (2003). "Euler's Identity". Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT). W3K Publishing. ISBN 0-9745607-0-7.