Палярная сістэма каардынат

Палярная сетка, на якой адкладзена некалькі вуглоў з пазнакамі ў градусах.

Палярная сістэма каардынат — двухмерная сістэма каардынат, у якой кожны пункт на плоскасці вызначаецца двума лікамі — палярным вуглом і палярным радыусам. Палярная сістэма каардынат асабліва карысная ў выпадках, калі адносіны паміж пунктамі прасцей адлюстраваць у выглядзе радыусаў і вуглоў; ў больш распаўсюджанай, дэкартавай або прамавугольнай сістэме каардынат, такія адносіны можна ўсталяваць толькі шляхам прымянення трыганаметрычных ураўненняў.

Палярная сістэма каардынат задаецца прамянём, які называюць нулявым або палярнай воссю. Пункт, з якога выходзіць гэты прамень, называецца пачаткам каардынат альбо полюсам. Любы пункт на плоскасці вызначаецца двума палярнымі каардынатамі: радыяльнай і вуглавой. Радыяльная каардыната (звычайна пазначаецца $r$) адпавядае адлегласці ад пункта да пачатку каардынат. Вуглавая каардыната таксама называецца палярным вуглом або азімутам і пазначаецца $\varphi$, роўная куце, на які трэба павярнуць супраць гадзінны стрэлкі палярную вось для таго, каб патрапіць у гэты пункт.

Вызначаная такім чынам радыяльная каардыната можа прымаць значэнні ад нуля да бясконцасці, а вуглавая каардыната змяняецца ў межах ад 0° да 360°. Аднак, для зручнасці вобласць значэнняў палярнай каардынаты можна пашырыць за межы поўнага вугла, а таксама дазволіць ёй прымаць адмоўныя значэння, што адказвае павароту палярнай восі па гадзіннікавай стрэлцы.

Графічнае прадстаўленне

Пункт у палярнай сістэме каардынат.

Кожны пункт у палярнай сістэме каардынат можа быць вызначана двума палярнымі каардынатамі, што звычайна называюцца $r$ (радыяльная каардыната, вуглавая адлегласць, сустракаецца варыянт $\rho$) і $\varphi$ (вуглавая каардыната, палярны вугал, азімут, пазіцыйны вугал, часам пішуць $\theta$ альбо $t$). Каардыната $r$ адпавядай адлегласці да полюса, а каардыната $\varphi$ роўная куце ў напрамку супраць гадзінны стрэлкі ад прамяня праз 0° (часам называецца палярнай воссю).

Палярны радыус вызначаны для любога пункта плоскасці і прымае неадмоўныя значэння $r\geqslant 0$. Палярны вугал $\varphi$ вызначаны для любога пункта плоскасці, за выключэннем полюса $O$, і прымае значэння $-\pi <\varphi \leqslant \pi$. Палярны вугал вымяраецца ў радыянах і адлічваецца ад палярнай восі:

• ў дадатным напрамку (супраць напрамкі руху гадзінны стрэлкі), калі значэнне вугла станоўчае;
• у адмоўным кірунку (па кірунку руху гадзіннікавай стрэлкі), калі значэнне вугла адмоўнае.

Напрыклад, пункт з каардынатамі $(3,\;60^{\circ })$ будзе выглядаць на графіку як пункт на промні, які ляжыць пад вуглом 60° да палярнай восі, на адлегласці 3 адзінкі ад полюса. Пункт з каардынатамі $(3,\;-300^{\circ })$ будзе намаляваная на тым жа месцы.

Камплексныя лікі

Прыклад камплекснага ліку z нанесенага на камплексную плоскасць.

Прыклад камплекснага ліку нанесенага на графік з выкарыстаннем формулы Эйлера.

Кожны камплексны лік можа быць прадстаўлены пунктам на камплекснай плоскасці, і, адпаведна, гэты пункт можа вызначацца ў дэкартавых каардынатах (прамавугольная альбо дэкартавая форма), або ў палярных каардынатах (палярная форма). Камплексны лік z можа быць запісаны ў прамавугольнай форме як:

$z=x+iy\,$

дзе i  — уяўная адзінка, ці ў палярнай:

$z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$

і адсюль, як:

$z=re^{i\varphi }\,$

дзе e — лік Эйлера. Дзякуючы формуле Эйлера, абодва прадстаўлення эквівалентныя. (Варта адзначыць, што ў гэтай формуле, падобна астатнім формул, якія змяшчаюць узвядзенне ў ступень вуглоў, вугал φ зададзена ў радыянах.)

Для пераходу паміж прамавугольным і палярным прадстаўленнем камплексных лікаў, могуць выкарыстоўвацца прыведзеныя вышэй формулы пераўтварэння паміж сістэмамі каардынат.

Аперацыі множанне, дзяленне і узвядзенне ў ступень з камплекснымі лікамі, як правіла, прасцей праводзіць у палярнай форме. Згодна з правіламі ўзвядзення ў ступень:

• Множанне:

$r_{0}e^{i\varphi _{0}}\cdot r_{1}e^{i\varphi _{1}}=r_{0}r_{1}e^{i(\varphi _{0}+\varphi _{1})}\,$

• Дзяленне:

${\frac {r_{0}e^{i\varphi _{0}}}{r_{1}e^{i\varphi _{1}}}}={\frac {r_{0}}{r_{1}}}e^{i(\varphi _{0}-\varphi _{1})}\,$

• Узвядзенне ў ступень (формула Муавра):

$(re^{i\varphi })^{n}=r^{n}e^{in\varphi }\,$