Праектыўная прастора

З Вікіпедыі, свабоднай энцыклапедыі
У перспектыве, лініі, паралельныя на плоскасці, перасякаюцца ў пункце збегу  (англ.) на гарызонце.

Праекты́ўная прасто́ра над полем K — прастора, якая складаецца з прамых (аднамерных падпрастор) некаторай лінейнай прасторы L(K) над гэтым полем. Прамыя прасторы L(K) называюцца пунктамі праектыўнай прасторы. Гэта азначэнне можна абагульніць на адвольнае цела K.

Калі L мае размернасць n+1, то размернасцю праектыўнай прасторы называецца лік n, а сама праектыўная прастора абазначаецца KPn і называецца асацыяванаю з L (каб гэта пазначыць, прынята абазначэнне P(L)).

Пераход ад вектарнай прасторы L(K) размернасці n+1 да адпаведнай праектыўнай прасторы KPn называецца праектывізацыяй прасторы L(K).

Пункты KPn можна апісаць з дапамогаю аднародных каардынат  (руск.).

Аксіяматычнае азначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Праектыўная прастора можа таксама вызначацца сістэмаю аксіём тыпу гільбертавай  (руск.). У гэтым выпадку праектыўная прастора вызначаецца як сістэма, якая складаецца з мноства пунктаў P, мноства прамых L і дачынення інцыдэнтнасці I, якое звычайна выражаецца словамі «пункт ляжыць на прамой» ці «прамая праходзіць праз пункт», і задавальняе наступныя аксіёмы:

  • Для любых двух розных пунктаў існуе адзіная прамая, інцыдэнтная абодвум пунктам; (праз любыя два пункты праходзіць толькі адна прамая)
  • Кожная прамая інцыдэнтная не менш чым тром пунктам; (на кожнай прамой ляжыць не менш чым тры пункты)
  • Калі прамыя L і M перасякаюцца (маюць агульны інцыдэнтны пункт), пункты p і q ляжаць на прамой L, а пункты s і r — на прамой M, то прамыя ps і qr перасякаюцца.

Падпрастораю праектыўнай прасторы называецца падмноства T мноства P, такое што для любых з гэтага падмноства ўсе пункты прамой pq належаць T. Размернасцю праектыўнай прасторы P называецца найбольшы лік n, такі што існуе строга нарастаючы ланцуг  (руск.) падпрастор віду

Заўвага: усе сцвярджэнні можна лёгка сфармуляваць з дапамогаю паняцця прыналежнасці, не ўводзячы паняцця інцыдэнтнасці. Аднак паняцце інцыдэнтнасці дазваляе фармуляваць сцвярджэнні ў форме, сіметрычнай адносна паняццяў "пункт" і "прамая". І ў некаторых выпадках гэта аказваецца даволі зручным.

Класіфікацыя[правіць | правіць зыходнік]

  • Размернасць 0: прастора складаецца з аднаго пункта.
  • Размернасць 1: адвольнае непустое мноства пунктаў і адзіная прамая, на якой ляжаць усе гэтыя пункты.
  • Размернасць 2 (праектыўная плоскасць  (руск.)): у гэтым выпадку класіфікацыя больш складаная. Усе плоскасці віду для некаторага цела задавальняюць аксіёму Дэзарга  (руск.), аднак існуюць такія недэзаргавы плоскасці  (англ.).
  • Большыя размернасці: згодна з тэарэмаю Веблена — Юнга  (англ.)[1], любая праектыўная прастора размернасці больш чым два можа быць атрымана як праектывізацыя модуля  (руск.) над некаторым целам.

Звязаныя азначэнні і ўласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

  • Няхай — гіперплоскасць у лінейнай прасторы . Праектыўная прастора называецца праектыўнаю гіперплоскасцю ў .
  • На дапаўненні праектыўнай гіперплоскасці існуе натуральная структура афіннай прасторы  (руск.).
  • Наадварот, узяўшы за аснову афінную прастору можна атрымаць праектыўную прастору як афінную, да якой дабаўлены т. зв. бесканечна аддаленыя пункты. Першапачаткова праектыўная прастора і была ўведзена такім чынам.

Таўталагічнае расслаенне[правіць | правіць зыходнік]

Таўталагічным расслаеннем называецца вектарнае расслаенне  (руск.), прастораю расслаення якога з'яўляецца падмноства прамога здабытку

а слоем — рэчаісная прамая . Кананічная праекцыя адлюстроўвае прамую, якая праходзіць праз пункты , у адпаведны пункт праектыўнай прасторы. Пры гэта расслаенне не з'яўляецца трывіяльным. Пры прастораю расслаення з'яўляецца стужка Мёбіуса.

Зноскі[правіць | правіць зыходнік]

  1. Veblen, Oswald; Young, John Wesley. Projective geometry. Vols. 1, 2, Blaisdell Publishing Co. Ginn and Co. New York-Toronto-London, 1965 (Reprint of 1910 edition)

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Артин Э. Геометрическая алгебра — М.: Наука, 1969.
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1979.
  • Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия — М.: МГУ, 1980.
  • Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии — М.: Мир, 1970.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
  • Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — Наука, Москва, 1990.
  • Бэр Р. Линейная алгебра и проективная геометрия. — УРСС, Москва, 2004.
  • Фиников С. П. Аналитическая геометрия: Курс лекций. — УРСС, Москва, 2008.