Стужка Мёбіуса

Стужка Мёбіуса (ліст Мёбіуса, пятля Мёбіуса) — тапалагічны аб’ект, найпростая неарыентаваная паверхня з краем, аднабаковая пры ўкладанні ў звычайную трохмерную Эўклідаву прастору $\mathbb {R} ^{3}$ . Патрапіць з аднаго пункту гэтай паверхні ў любы іншы можна, не перасякаючы край.

Стужка Мёбіуса была адкрытая незалежна нямецкімі матэматыкамі Аўгустам Фердынандам Мёбіусам і Ёганам Бенедыктам Лістынгам у 1858 годзе. Мадэль стужкі Мёбіуса можа быць лёгка зроблена. Для гэтага дастаткова ўзяць выцягнутую папяровую стужку і злучыць яе канцы, папярэдне перавярнуўшы адзін з іх. У Эўклідавай прасторы існуюць два тыпы стужак Мёбіуса ў залежнасці ад кірунку закручвання: правыя і левыя (тапалагічна, аднак, яны не адрозніваюцца).

Уласцівасці

Калі разразаць стужку ўздоўж па лініі, роўнааддаленай ад краёў, замест дзвюх стужак Мёбіуса атрымаецца адна доўгая двухбаковая (удвая больш закручаная, чым стужка Мёбіуса) стужка, якую называюць «Афганская стужка». Калі цяпер гэту стужку разрэзаць уздоўж пасярэдзіне, атрымаюцца дзве стужкі, наматаныя адна на другую.
Калі разразаць стужку Мёбіуса, адступаючы ад краю на траціну яе шырыні, то трымаюцца дзве стужкі, адна — больш кароткая стужка Мёбіуса, другая — доўгая стужка з двума паўабаротамі (афганская стужка).
Іншыя камбінацыі стужак могуць быць атрыманыя са стужак з двума або больш паўабаротамі ў іх.

Ураўненні

Каб пераўтварыць квадрат у стужку Мёбіуса, злучыце краі, пазначаныя $\scriptstyle {A}$ так, каб кірункі стрэлак супалі.

Адным са спосабаў прадстаўлення стужкі Мёбіуса як падмноства $\mathbb {R} ^{3}$ з’яўляецца параметрызацыя:

x(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\cos u,

y(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\sin u,

z(u,v)={\frac {v}{2}}\sin {\frac {u}{2}},

дзе $0\leqslant u<2\pi$ і $-1\leqslant v\leqslant 1$ . Гэтыя формулы задаюць стужку Мёбіуса шырыні 1, чый цэнтральны круг мае радыус 1, ляжыць у плоскасці $x-y$ з цэнтрам у $(0,\;0,\;0)$ . Параметр $u$ прабягае ўздоўж стужкі, у той час як $v$ задае адлегласць ад краю.

У цыліндрычных каардынатах $(r,\;\theta ,\;z)$ , неабмежаваная версія ліста Мёбіуса можа быць прадстаўлена ўраўненнем:

~\log r\sin(\theta /2)=z\cos(\theta /2),

Дзе функцыя лагарыфма мае адвольнае аснаванне.

Уласцівасці

Тапалагічна стужка Мёбіуса можа быць вызначаная як фактарпрастора квадрата $[0,\;1]\times [0,\;1]$ у адносінах эквівалентнасці $(x,\;0)\sim (1-x,\;1)$ для $0\leqslant x\leqslant 1$ .
Стужка Мёбіуса — неарыентуемая паверхня з краем.
Стужку Мёбіуса магчыма змясціць у $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ з граніцай, якая з’яўляецца ідэальным кругам. Ідэя палягае ў наступным: няхай $C$ $C$ будзе адзінкавым кругам у плоскасці $xy$ $xy$ у $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ . Злучыўшы антыподныя пункты на $C$ $C$ , гэта значыць, пункты пад вугламі $\theta$ $\theta$ і $\theta +\pi$ $\theta +\pi$ дугой круга, атрымаем, што для $\theta$ $\theta$ паміж $0$ $0$ і $\pi /2$ $\pi /2$ дугі ляжаць вышэй за плоскасць $xy$ $xy$ , а для іншых $\theta$ $\theta$ ніжэй (прычым у двух месцах дугі ляжаць у плоскасці $xy$ $xy$ ).
- Тым не менш, любы дыск, які прыклейваецца да гранічнай акружнасці, непазбежна перасячэ стужку Мёбіуса.

Адкрытыя пытанні

Мастацтва і тэхналогія

Міжнародны сімвал перапрацоўкі ўяўляе сабой стужку Мёбіуса.

Стужка Мёбіуса служыла натхненнем для скульптур і для графічнага мастацтва. Эшэр быў адным з мастакоў, хто асабліва любіў яго і прысвяціў некалькі сваіх літаграфій гэтаму матэматычнаму аб’екту. Адна з вядомых — стужка Мёбіуса II^[1], паказвае мурашак, якія паўзуць па паверхні стужкі Мёбіуса.

Стужка Мёбіуса пастаянна сустракаецца ў навуковай фантастыцы, напрыклад, у апавяданні Артура Кларка «Сцяна Цемры». У апавяданні «Метро пад назвай Мёбіус» аўтара Арміна Дэйча, бостанскае метро будуе новую лінію, маршрут якой становіцца настолькі заблытаным, што пераўтвараецца ў стужку Мёбіуса, пасля чаго на гэтай лініі пачынаюць знікаць цягнікі. Па матывах апавядання быў зняты фантастычны фільм «Мёбіус» рэжысёра Густава Мэскера.

Стужка Мёбіуса выкарытоўваецца як спосаб перамяшчэння ў прасторы і часе Гары Кіфа, галоўнага героя рамана Браяна Ламлі «Некраскоп».

Стужка Мёбіуса таксама сустракаецца ў эсэ Харукі Муракамі «Аблады Аблада», дзе Стужка Мёбіуса вобразна параўноўваецца з бясконцасцю.

У 1987 годзе савецкі джазавы піяніст Леанід Чыжык запісаў Альбом «Стужка Мёбіуса».

Гоначны трэк у адным з эпізодаў мульсерыяла "Футурама" ўяўляе стужку Мёбіуса.

Існуюць варыянты тэхнічнага выкарыстання стужкі Мёбіуса. Стужка стужкавага канвеера выконваецца ў выглядзе стужкі Мёбіуса, што дазваляе яму працаваць даўжэй, таму што ўся паверхня стужкі зношваецца раўнамерна. Таксама ў сістэмах запісу на на бесперапынную стужку выкарыстоўваюцца стужкі Мёбіуса каб падвоіць час запісу. У многіх матрычных прынтарах фарбаносная стужка мае від стужкі Мёбіуса для павелічэння яго рэсурсу.

Гл. таксама

Крыніцы

↑ http://www.mcescher.com/Gallery/recogn-bmp/LW441.jpg Архівавана 29 кастрычніка 2005.

Спасылкі

На Вікісховішчы ёсць медыяфайлы па тэме Стужка Мёбіуса

[1] ttp://www.mcescher.com/Gallery/recogn-bmp/LW441.jpg Архівавана 29 кастрычніка 2005.

[1]