Фундаментальная паслядоўнасць

Фундамента́льная паслядо́ўнасць, або паслядо́ўнасць Кашы́ — паслядоўнасць пунктаў метрычнай прасторы, такая што для любой зададзенай адлегласці існуе элемент паслядоўнасці, пачынаючы з якога ўсе элементы паслядоўнасці знаходзяцца адзін ад аднаго на адлегласці, меншай чым зададзеная.

Азначэнне

Паслядоўнасць пунктаў $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ метрычнае прасторы $(X,\rho )$ называецца фундаментальнаю, калі яна задавальняе ўмову Кашы:

для любога $\varepsilon >0$ існуе такі натуральны лік $N_{\varepsilon }$, што $\rho (x_{n},x_{m})<\varepsilon \$ для ўсіх $n,m>N_{\varepsilon }$.

Звязаныя азначэнні

• Прастора, ў якой кожная фундаментальная паслядоўнасць збягаецца да элемента гэтай жа прасторы, называецца поўнаю.

Уласцівасці

• Кожная збежная паслядоўнасць з'яўляецца фундаментальнай, але не кожная фундаментальная паслядоўнасць збягаецца да элемента са сваёй прасторы.
• Метрычная прастора з'яўляецца поўнаю тады і толькі тады, калі ўсякая сістэма ўкладзеных замкнутых шароў з неабмежавана ўбываючым радыусам мае непустое перасячэнне, якое складаецца з аднаго пункта.
• Калі паслядоўнасць фундаментальная і ўтрымлівае збежную падпаслядоўнасць, то сама паслядоўнасць таксама збягаецца.
• Калі паслядоўнасць фундаментальная, то яна абмежавана.

Літаратура

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, — М.: Наука, 2004. — 7-е изд.
• Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Ч.3, — М.:Наука, 1970.