Функцыя размеркавання

Прыклады непарыўных справа функцый размеркавання. У выпадку вызначэння функцый як непарыўных злева, выкалатыя і зафарбаваныя пункты ў месцах разрыву будуць памяняныя месцамі.

Функцыя размеркавання выпадковай велічыні — гэта функцыя, якая апісвае імавернасць таго, што выпадковая велічыня прыме значэнне, меншае за некаторы рэчаісны лік. Функцыя размеркавання задае размеркаванне выпадковай велічыні.

Азначэнне

Функцыяй размеркавання выпадковай велічыні завецца функцыя $F_{\xi }:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, якая вызначаецца праз роўнасць^:70

$$F_{\xi }(x):=P(\xi <x),\forall x\in \mathbb {R} .$$

У некаторых крыніцах функцыя размеркавання вызначаецца з іншым знакам:

$$F_{\xi }(x):=P(\xi \leq x),\forall x\in \mathbb {R} .$$

Такое вызначэнне ўплывае на ўласцівасць непарыўнасці, робячы функцыю непарыўнай справа, а не злева (гл. § Уласцівасці).

Існуе таксама абагульненне гэтага азначэння на многавымерныя выпадковыя велічыні.

Уласцівасці

Для функцыі размеркавання $F$ кожнай выпадковай велічыні $\xi$ справядлівыя наступныя ўласцівасці^:71-74:

1. Манатоннасць. Калі $x_{1}\leq x_{2}$, то $F(x_{1})\leq F(x_{2})$.
2. Абмежаванасць. Маюць месца няроўнасці $0\leq F(x)\leq 1$, прычым
   $$\lim _{x\to -\infty }F(x)=0,$$
   $$\lim _{x\to +\infty }F(x)=1;$$
3. Непарыўнасць злева. Для кожнага $x_{0}\in \mathbb {R}$ выконваецца
   $$\lim _{x\to x_{0}^{-}}F(x)=F(x_{0}).$$

Для кожнай функцыі $F:\mathbb {R} \to [0,1]$, якая адпавядае ўмовам манатоннасці, абмежаванасці і непарыўнасці злева, існуюць імавернасная прастора $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ і выпадковая велічыня $\xi :\Omega \to \mathbb {R}$, у якой функцыя размеркавання $F_{\xi }$ супадае з $F$. Іншымі словамі, кожная такая функцыя і ёсць функцыяй размеркавання для некаторай выпадковай велічыні.

Часта функцыя размеркавання задаецца праз роўнасць $F_{\xi }(x):=P(\xi \leq x),\forall x\in \mathbb {R}$. У такім выпадку для яе характэрна ўласцівасць непарыўнасці справа, а не злева.

Доказы ўласцівасцей

Доказ манатоннасці

Няхай $x_{1}\leq x_{2}$. Тады $(-\infty ,x_{1})\subset (-\infty ,x_{2})$, і таму

$$\xi ^{-1}(-\infty ,x_{1})\subset \xi ^{-1}(-\infty ,x_{2}),$$

гэта значыць $(\xi <x_{1})\subset (\xi <x_{2})$.

Карыстаючыся манатоннасцю імавернасці, атрымліваем

$$F(x_{1})=P(\xi <x_{1})\leq P(\xi <x_{2})=F(x_{2}).$$

Доказ абмежаванасці

Няроўнасць $0\leq F(x)\leq 1$ відавочна вынікае з $0\leq P(\xi <x)\leq 1$.

Разгледзім улучэнні $(-\infty ,-1)\supset (-\infty ,-2)\supset \dots \,$. Заўважым, што $\bigcap _{n=1}^{\infty }(-\infty ,-n)=\varnothing$. Акрамя таго,

$$\xi ^{-1}(-\infty ,-1)\supset \xi ^{-1}(-\infty ,-2)\supset \dots ,$$

$$\bigcap _{n=1}^{\infty }\xi ^{-1}(-\infty ,-n)=\xi ^{-1}\left(\bigcap _{n=1}^{\infty }(-\infty ,-n)\right)=\xi ^{-1}(\varnothing )=\varnothing .$$

Па аксіёме непарыўнасці імавернасці атрымліваем

$$\lim _{n\to -\infty }F(n)=\lim _{n\to +\infty }P(\xi ^{-1}(-\infty ,-n))=0$$

для $n\in \mathbb {Z}$. Няхай цяпер $x\in \mathbb {R}$ імкнецца да $-\infty$. З манатоннасці функцыі размеркавання вынікае $F([x])\leq F(x)\leq F([x]+1).$ Калі $x\to -\infty$, абедзве крайнія часткі няроўнасці імкнуцца да нуля. Карыстаючыся тэарэмай аб заціснутай функцыі, атрымліваем

$$\lim _{x\to -\infty }F(x)=0.$$

Прадставім $\mathbb {R}$ як суму $(-\infty ,0)+[0,1)+[1,2)+\dots$ і, скарыстаўшы злічоную адытыўнасць, атрымаем

$$1=P_{\xi }(\mathbb {R} )=P_{\xi }((-\infty ,0))+\sum _{k=0}^{+\infty }P_{\xi }([k,k+1))=$$

$$=\lim _{n\to +\infty }\left(P_{\xi }((-\infty ,0))+\sum _{k=0}^{n-1}P_{\xi }([k,k+1))\right)=$$

$$=\lim _{n\to +\infty }P_{\xi }((-\infty ,0)+[0,1)+[1,2)+\dots +[n-1,n))=$$

$$=\lim _{n\to +\infty }P_{\xi }((-\infty ,n))=\lim _{n\to +\infty }F(n)$$

для $n\in \mathbb {Z}$. Доказ для $x\in \mathbb {R}$ праводзіцца аналагічна папярэдняму выпадку праз тэарэму аб заціснутай функцыі.

Доказ непарыўнасці злева

Возьмем адвольную нарастальную паслядоўнасць рэчаісных лікаў $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$, якая збягаецца да $x_{0}$. Існаванне ліміту $\lim _{x\to x_{0}^{-}}F(x)$ вынікае з манатоннасці $F$. Пакажам, што гэты ліміт роўны $F(x_{0})$.

Заўважым, што $\varnothing =\bigcup _{n=1}^{\infty }[x_{n},x_{0})$ і $[x_{n},x_{0})\supset [x_{n+1},x_{0})\,\forall n\in \mathbb {N}$. Карыстаючыся аксіёмамі непарыўнасці і адытыўнасцю імавернасці, атрымліваем

$0=\lim _{n\to +\infty }P_{\xi }([x_{n},x_{0}))=\lim _{n\to +\infty }P_{\xi }((-\infty ,x_{0})\setminus ((-\infty ,x_{n}))=$
$=\lim _{n\to +\infty }(P_{\xi }((-\infty ,x_{0}))-P_{\xi }((-\infty ,x_{n})))=$
$=F(x_{0})-\lim _{x_{n}\to x_{0}}F(x_{n}).$
Адсюль вынікае $\lim _{x\to x_{0}^{-}}F(x)=F(x_{0})$.

Гл. таксама

• Умоўная функцыя размеркавання
• Функцыя імавернасці
• Шчыльнасць імавернасці