Выпадковая велічыня

Выпадковая велічыня — гэта велічыня, якая прымае ў выніку эксперымента адно з мноства значэнняў, прычым з'яўленне таго ці іншага значэння гэтай велічыні да яе вымярэння нельга дакладна прадказаць.

Фармальнае матэматычнае азначэнне наступнае: няхай $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ — імавернасная прастора, тады выпадковай велічынёю называецца функцыя $X:\Omega \to \mathbb {R}$, вымерная адносна ${\mathcal {F}}$ і барэлеўскай σ-алгебры на $\mathbb {R}$. Імавернасныя паводзіны асобнай (незалежна ад іншых) выпадковай велічыні поўнасцю апісваецца яе размеркаваннем.

Азначэнне

Прастора элементарных падзей

Асноўны артыкул: Прастора элементарных падзей

Прастора элементарных падзей — гэта мноства $\Omega$ ўсіх магчымых зыходаў выпадковага эксперымента. Неабходна падкрэсліць, што зыходы несумяшчальныя, г.зн. у выніку эксперымента адбудзецца адна і толькі адна элементарная падзея.

Прастора элементарных падзей $\Omega$ у выпадку кідання ігральнай косці

Напрыклад, калі кідаецца ігральная косць, то ў выніку верхняй гранню можа аказацца адна з шасці граней з колькасцю кропак ад аднае да шасці. Выпадзенне якой-небудзь грані ў дадзеным выпадку ў тэорыі імавернасцей называецца элементарнаю падзеяй $~\omega _{k}$, гэта значыць

• $~\omega _{1}$ — грань з адною кропкаю;
• $~\omega _{2}$ — грань з дзвюма кропкамі;
• ...
• $~\omega _{6}$ — грань з шасцю кропкамі.

Мноства ўсіх граней $~\{\omega _{1},\ldots ,\omega _{6}\}$ утварае прастору элементарных падзей $~\Omega$, падмноствы якога называюцца выпадковымі падзеямі $~A_{n}$. У выпадку аднаразовага падкідвання ігральнае косці прыкладамі падзей з'яўляюцца:

• няхай падзея A — гэта выпадзенне грані з няцотнай колькасцю кропак (г. зн. падзея A заключаецца ў выпадзенні грані ці з адною, ці з трыма, ці з пяццю кропкамі). Матэматычна падзея A запісваецца як:

  $A=\{\omega _{1},\omega _{3},\omega _{5}\};$

• няхай падзея B — гэта выпадзенне грані з цотным лікам кропак, г.зн. падзея B — гэта выпадзенне грані з двума ці з чатырма, ці з шасцю кропкамі. Матэматычна падзея B запісваецца як:

  $B=\{\omega _{2},\omega _{4},\omega _{6}\}.$

Алгебра падзей

Асноўны артыкул: Алгебра мностваў

Мноства выпадковых падзей утварае алгебру падзей ${\mathfrak {A}}$, калі выконваюцца наступныя ўмовы:

1. ${\mathfrak {A}}$ утрымлівае пустое мноства $~\varnothing$.
2. Калі падзея $A$ належыць ${\mathfrak {A}}$, то і яго дапаўненне належыць ${\mathfrak {A}}$:

   $\forall A\in {\mathfrak {A}}\,:\,\Omega \setminus A\in {\mathfrak {A}}.$

3. Калі $A_{1}$ і $A_{2}$ належаць ${\mathfrak {A}}$, то іх аб'яднанне таксама належыць $~{\mathfrak {A}}$:

   $\forall A_{1},A_{2}\in {\mathfrak {A}}\,:\,(A_{1}\cup A_{2})\in {\mathfrak {A}}.$

Калі трэцяя ўмова для ${\mathfrak {A}}$ выконваецца ў мацнейшай форме: аб'яднанне злічальнага падсямейства з ${\mathfrak {A}}$ таксама належыць $~{\mathfrak {A}}$:

$\forall A_{1},A_{2},\ldots ,A_{k},\ldots \in {\mathfrak {A}}\,:\,\bigcup _{k=1}^{\infty }A_{k}\in {\mathfrak {A}},$

то мноства выпадковых падзей ${\mathfrak {A}}$ утварае σ-алгебру падзей.

σ-алгебра падзей з'яўляецца асобным выпадкам σ-алгебры мностваў.

Самая маленькая сярод усіх магчымых σ-алгебр, элементамі якой з'яўляюцца ўсе прамежкі на рэчаіснай восі, называецца барэлеўскаю σ-алгебрай $~{\mathcal {B}}$ на мностве рэчаісных лікаў $~\mathbb {R}$.

Імавернасць

Асноўны артыкул: Імавернасць

Для кожнай падзеі A вызначым лік $P(A)\in [0,1]$, які будзем называць імавернасцю падзеі A, так, што:

1. Імавернасць верагоднай падзеі $\Omega$ раўняецца адзінцы:

   $P(\Omega )=1.$

2. Імавернасць аб'яднання несумяшчальных падзей раўняецца суме імавернасцей гэтых падзей:

   $A_{1}\cap A_{2}=\varnothing \,\Rightarrow \,P(A_{1}\cup A_{2})=P(A_{1})+P(A_{2}).$

З гэтых умоў вынікае, што імавернасць немагчымай падзеі (г.зн. пустога мноства) роўная нулю:

$P(\varnothing )=0.$

А імавернасць адвольнай падзеі (г.зн. некаторага падмноства прасторы элементарных падзей) роўная суме імавернасцей тых элементарных падзей, аб'яднаннем якіх яна з'яўляецца.

Азначэнне выпадковай велічыні

Выпадковай велічынёй называецца функцыя $~\xi \colon \Omega \to \mathbb {R}$, вымерная адносна ${\mathcal {F}}$ і барэлеўскай σ-алгебры на $\mathbb {R}$.

Выпадковую велічыню можна вызначыць і іншым раўназначным спосабам. Функцыя $\xi :\Omega \to \mathbb {R}$ называецца выпадковай велічынёй, калі для любых рэчаісных лікаў $a$ і $b$ мноства падзей $\omega$, такіх што $\xi (\omega )\in (a,b)$, належыць ${\mathcal {F}}$.

Прыклады

• Няхай выпадковая велічыня мае дыскрэтнае раўнамернае размеркаванне, г.зн.

  $\mathbb {P} (X=x_{i})={\frac {1}{n}},\;i=1,\ldots ,n.$

Тады яе матэматычнае спадзяванне

$M[X]={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}$

раўняецца сярэдняму арыфметычнаму ўсіх прымаемых значэнняў.

• Няхай выпадковая велічыня мае непарыўнае раўнамернае размеркаванне на прамежку $[a,b]$, дзе $a<b$. Тады яе шчыльнасць мае выгляд

  $f_{X}(x)={\frac {1}{b-a}}\mathbf {1} _{[a,b]}(x),$

а матэматычнае спадзяванне роўнае

$M[X]=\int \limits _{a}^{b}\!{\frac {x}{b-a}}\,dx={\frac {a+b}{2}}.$

Заўвага: матэматычнае спадзяванне вызначана не для ўсякай выпадковай велічыні.

Класіфікацыя

Выпадковыя велічыні могуць прымаць дыскрэтныя, непарыўныя і дыскрэтна-непарыўныя значэнні. Адпаведна выпадковыя велічыні бываюць:

• дыскрэтныя,
• непарыўныя,
• дыскрэтна-непарыўныя (змешаныя).

На схеме выпрабаванняў можа быць вызначана як асобная выпадковая велічыня (аднамерная/скалярная), так і цэлая сістэма аднамерных узаемазвязаных велічынь (мнагамерная/вектарная).

• Прыклад змешанай выпадковай велічыні — час чакання пры пераходе цераз аўтамабільную дарогу ў горадзе на нерэгулюемым скрыжаванні.
• У бесканечных схемах (дыскрэтных ці непарыўных) ужо з самага пачатку элементарныя зыходы зручна апісваць колькасна. Напрыклад, нумары градацый тыпаў няшчасных выпадкаў пры аналізе ДТЗ; час спраўнай работы прыбора пры кантролі якасці і г.д.
• Лікавыя значэнні, якія апісваюць вынікі эксперыментаў, могуць характарызаваць не абавязкова асобныя элементарныя зыходы ў схеме выпрабаванняў, але і адпавядаць нейкім больш складаным падзеям.

З адною схемай выпрабаванняў і з асобнымі падзеямі ў ёй адначасова можа быць звязана адразу некалькі лікавых велічынь, якія аналізуюцца сумесна.

• Напрыклад, каардынаты (абсцыса, ардыната) разрыву снарада пры стральбе па наземнай цэлі; метрычныя памеры (даўжыня, шырыня і г. д.) дэталі пры кантролі якасці; вынікі медабследавання (тэмпература, ціск, пульс і інш.) пры дыягностыцы хворага; дадзеныя перапісу насельніцтва (па ўзросту, полу, дастатку і інш.).

Метады апісання

Часткова задаць выпадковую велічыню, апісаўшы пры гэтым яе імавернасныя ўласцівасці як асобнай выпадковай велічыні, можна з дапамогай функцыі размеркавання, шчыльнасці імавернасці і характарыстычнай функцыі, а таксама вызначаючы імавернасці яе магчымых значэнняў.

• Функцыя размеркавання F(x) ёсць імавернасць таго, што значэнне выпадковай велічыні меншае за рэчаісны лік x. З гэтага азначэння вынікае, што імавернасць пападання значэння выпадковай велічыні ў прамежак [a, b) роўная F(b) - F(a). Перавагі выкарыстання функцыі размеркавання заключаюцца ў том, што з яе дапамогаю ўдаецца дасягнуць агульнага матэматычнага апісання дыскрэтных, непарыўных і дыскрэтна-непарыўных выпадковых велічынь.

Калі выпадковая велічыня дыскрэтная, то поўнае і адназначнае матэматычнае апісанне яе размеркавання задаецца імавернасцямі $p_{k}=P(\xi =x_{k})$ усіх магчымых значэнняў гэтай выпадковай велічыні. У якасці прыкладу разгледзім біномны і пуасонаўскі законы размеркавання.

Біномны закон размеркавання апісвае выпадковыя велічыні, значэнні якіх вызначаюць колькасць «поспехаў» і «няўдач» пры паўтарэнні выпрабавання N разоў. У кожным выпрабаванні «поспех» можа наступіць з імавернасцю p, «няўдача» — з імавернасцю q = 1 - p. Закон размеркавання ў гэтым выпадку задаецца формулай Бернулі:

$P_{k,n}=C_{n}^{k}\cdot p^{k}\cdot q^{n-k}.$

Калі пры імкненні $n$ к бесканечнасці здабытак $np$ застаецца роўным пастаяннай $\lambda >0$, то біномны закон размеркавання збягаецца к закону Пуасона, які апісваецца наступнаю формулай:

$p(k):=\mathbb {P} (Y=k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,e^{-\lambda },$

дзе

• сімвал "$!$" абазначае фактарыял,
• $e=2.718281828\ldots$ — аснова натуральнага лагарыфма.

Найпрасцейшыя абагульненні

Выпадковая велічыня, увогуле кажучы, можа прымаць значэнні ў любой вымернай прасторы. Тады яе часцей называюць выпадковым вектарам ці выпадковым элементам. Напрыклад,

• Вымерная функцыя $X:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ называецца n-мерным выпадковым вектарам (адносна барэлеўскай $\sigma$-алгебры на $\mathbb {R} ^{n}$).
• Вымерная функцыя $X:\Omega \to \mathbb {C} ^{n}$ называецца n-мерным камплексным выпадковым вектарам (таксама адносна адпаведнай барэлеўскай $\sigma$-алгебры).
• Вымерная функцыя, якая адлюстроўвае імавернасную прастору ў прастору падмностваў некаторага (канечнага) мноства, называецца (канечным) выпадковым мноствам.

Гл. таксама

• Выпадковы працэс
• Функцыя размеркавання
• Матэматычнае спадзяванне

Літаратура

• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятности. — 8-е изд. доп. и испр. — М.: Едиториал УРСС, 2005. — 448 с. — ISBN 5-354-01091-8.
• Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Прохоров Ю. В.. — 2-е изд. — М.: «Советская энциклопедия», 1998. — 847 с.
• Чернова Н. И. Теория вероятностей. — Учебное пособие. — Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2007. — 160 с.

Спасылкі

• Многомерные случайные величины (руск.)