Аксіяматыка Калмагорава

Аксіёмы Калмагорава — асноўныя палажэнні тэорыі імавернасцей, прапанаваныя савецкім матэматыкам Андрэем Калмагоравым у 1933 г. Гэтыя аксіёмы сталі класічнымі і дагэтуль застаюцца найбольш распаўсюджанай аксіяматыкай у сучаснай тэорыі імавернасцей.

Аксіёмы

Для задання аксіём уводзіцца паняцце імавернаснай прасторы — тройкі $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$, дзе $\Omega$ — прастора элементарных падзей, ${\mathcal {A}}$ — σ-алгебра падмностваў мноства $\Omega$, якія называюцца выпадковымі падзеямі, $P:{\mathcal {A}}\rightarrow \mathbb {R}$ — рэчаісназначная функцыя, якая называецца імавернаснай мерай.

Аксіёмы Калмагорава для тэорыі імавернасцей^:12-13:

1. Неадмоўнасць. $P(A)\geq 0$ для адвольнай падзеі $A\in {\mathcal {A}}$.
2. Нармаванасць. $P(\Omega )=1$, г.зн. імавернасць верагоднай падзеі роўна 1.
3. Адытыўнасць. $P(A+B)=P(A)+P(B)$ для якіх-кольвек несумесных падзей $A,B\in {\mathcal {A}}$.
4. Непарыўнасць. Калі паслядоўнасць $(A_{n})_{n=1}^{\infty }$ падзей $A_{n}\in {\mathcal {A}}$ такая, што $A_{1}\supset A_{2}\supset \dots \supset A_{n}\supset \dots$ і $\bigcap \limits _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=\varnothing$, то $\lim _{n\to \infty }P(A_{n})=0$.

Аксіёма злічонай адытыўнасці

Часам замест чатырох аксіём Калмагорава прыводзяцца тры, дзе аксіёмы адытыўнасці і непарыўнасці замяняюцца эквівалентнай ім аксіёмай злічонай адытыўнасці^:16-17:

Для адвольнай злічонай сям'і дыз'юнктных (то бок несумесных) падзей $\{B_{k}|k\in \mathbb {N} \}$ справядліва роўнасць

$$P\left(\sum _{k=1}^{\infty }B_{k}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }P(B_{k}).$$

З пункту гледжання праўдзівасці сцверджанняў, якія грунтуюцца на аксіёмах Калмагорава, няма розніцы паміж класічным наборам з чатырох аксіём і наборам, дзе аксіёмы адытыўнасці і непарыўнасці замененыя на аксіёму злічонай адытыўнасці, бо гэтыя наборы аксіём эквівалентныя паміж сабой.

Доказ эквівалентнасці

Дапусцім спачатку, што выконваюцца аксіёмы адытыўнасці і непарыўнасці. Зададзім злічоную сям'ю дыз'юнктных мностваў $A_{n}:=\sum _{k=n+1}^{\infty }B_{k}$ і атрымаем, што $A_{1}\supset A_{2}\supset \dots \supset A_{n}\supset \dots$. Пазначым $B:=\sum _{k=1}^{\infty }B_{k}$ і запішам

$$\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n+1}^{\infty }B_{k}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\left(B\setminus \bigcup _{k=1}^{n}B_{k}\right)=$$

$$=B\setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=1}^{n}B_{k}=B\setminus B=\varnothing .$$

Такім чынам, $\bigcap \limits _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=\varnothing$ і паводле аксіёмы непарыўнасці $\lim _{n\to \infty }P(A_{n})=0$. З вызначэння $A_{n}$ і аксіёмы адытыўнасці вынікае

$$P\left(\sum _{k=1}^{\infty }B_{k}\right)=P\left(\sum _{k=1}^{n}B_{k}+A_{n}\right)=\sum _{k=1}^{n}P(B_{k})+P(A_{n}).$$

Пераходзячы ў апошняй роўнасці да ліміту $n\to \infty$ атрымліваем роўнасць з аксіёмы злічонай адытыўнасці.

Цяпер дакажам што выканання аксіёмы злічонай адытыўнасці дастаткова для выканання адытыўнасці і непарыўнасці.

Для доказу спатрэбіцца факт таго, што $P(\varnothing )=0$. Сапраўды, прымаючы $B_{k}=\varnothing$ (што можна зрабіць, бо пустое мноства не перасякаецца з самім сабой) атрымліваем

$$P(\varnothing )=P\left(\sum _{k=1}^{\infty }\varnothing \right)=\sum _{k=1}^{\infty }P(\varnothing ).$$

Успомнім, што паводле азначэння $P$ можа прымаць толькі рэчаісныя значэнні, а з усіх рэчаісных лікаў выкананне прыведзенай вышэй роўнасці магчыма толькі для $P(\varnothing )=0$.

Для адвольных несумесных падзей $A,B$ прымем $B_{1}=A,B_{2}=B,B_{3}=B_{4}=\dots =\varnothing$. Улічваючы аксіёму злічонай адытыўнасці і тое, што $P(\varnothing )=0$, маем

$$P(A+B)=P(B_{1}+B_{2}+\varnothing +\varnothing +\dots )=$$

$$=P(B_{1})+P(B_{2})+P(\varnothing )+\dots =P(A)+P(B).$$

Гэта значыць, што праўдзіцца аксіёма адытыўнасці.

Возьмем цяпер адвольны набор падзей $A_{1}\supset A_{2}\supset \dots \supset A_{n}\supset \dots$, для якіх $\bigcap \limits _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=\varnothing$. Пазначым $B_{n}:=A_{n}\setminus A_{n+1}$ для ўсіх $n\in \mathbb {N}$ і атрымаем дыз'юнктнае мноства падзей $\{B_{1},B_{2},\dots ,B_{n},\dots \}$. Паводле аксіёмы злічонай адытыўнасці, шэраг $\sum _{k=1}^{\infty }P(B_{k})$ збягаецца і таму паслядоўнасць ягоных астачаў імкнецца да нуля, г.зн.:

$$0=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=n}^{\infty }P(B_{k})=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=n}^{\infty }P(A_{k}\setminus A_{k+1})=\lim _{n\to \infty }P(A_{n}).$$

Такім чынам мы паказалі, што аксіём адытыўнасці і непарыўнасці дастаткова для выканання аксіёмы злічонай адытыўнасці, а таксама што аксіёмы злічонай адытыўнасці дастаткова для выканання аксіём адытыўнасці і непарыўнасці. Гэта значыць, што аксіёма злічонай адытыўнасці эквівалентная аксіёмам адытыўнасці і непарыўнасці, узятым разам.

Высновы з першых трох аксіём

Грунтуючыся на аксіёмах Калмагорава, можна даказаць шэраг сцверджанняў, карысных для вывучэння тэорыі імавернасцей.

Адытыўнасць для канечнага мноства падзей

Калі падзеі $A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {A}}$ парамі несумесныя, то

$$P\left(\sum _{k=1}^{n}A_{k}\right)=\sum _{k=1}^{n}P(A_{k}).$$

Доказ^:13-14

Доказ будуецца метадам матэматычнай індукцыі з аксіёмы адытыўнасці. Паводле аксіёмы, роўнасць слушная для $n=2$. Для $n>2$ дапусцім, што праўдзіцца роўнасць

$$P\left(\sum _{k=1}^{n-1}A_{k}\right)=\sum _{k=1}^{n-1}P(A_{k}).$$

Выкарыстоўваючы яе і аксіёму адытыўнасці, маем

$$P\left(\sum _{k=1}^{n}A_{k}\right)=P\left(\sum _{k=1}^{n-1}A_{k}+A_{n}\right)=P\left(\sum _{k=1}^{n-1}A_{k}\right)+P(A_{n})=\sum _{k=1}^{n-1}P(A_{k})+P(A_{n})=\sum _{k=1}^{n}P(A_{k}).$$

Правіла сумы

Для адвольных дзвюх падзей $A,B\in {\mathcal {A}}$ справядліва роўнасць

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$$

Доказ^:14

Заўважым, што $P(A\cup B)=A\setminus B+B\setminus A+A\cap B$, дзе ўсе тры падзеі парамі несумесныя. З адытыўнасці для канечнага мноства падзей вынікае

$$P(A\cup B)=P(A\setminus B)+P(B\setminus A)+P(A\cap B)=$$

$$=(P(A\setminus B)+P(A\cap B))+(P(B\setminus A)+P(A\cap B))-P(A\cap B)=$$

$$=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$$

Імавернасць надмноства

Калі $A\subset B$, то $P(B)=P(A)+P(B\setminus A)$.

Доказ^:15

З $A\subset B$ вынікае $B=A+B\setminus A$. Тады паводле аксіёмы адытыўнасці маем $P(B)=P(A)+P(B\setminus A)$.

Імавернасць немагчымай падзеі

$P(\varnothing )=0$.

Доказ^:15

У формуле імавернасці надмноства прымем $B=A$. Атрымаем

$$P(A)=P(A)+P(A\setminus A)=P(A)+P(\varnothing ).$$

Адсюль вынікае, што $P(\varnothing )=0$.

Імавернасць процілеглай падзеі

$P({\bar {A}})=1-P(A)$, дзе ${\bar {A}}$ — падзея, процілеглая да $A$.

Доказ^:15

Сыходзячы з таго, што $\Omega =A+{\bar {A}}$, а таксама з аксіём адытыўнасці і нармаванасці, атрымліваем $1=P(\Omega )=P(A+{\bar {A}})=P(A)+P({\bar {A}})$.

Манатоннасць

Калі $A\subset B$, то $P(A)\leq P(B)$.

Доказ^:15

З формулы імавернасці надмноства і аксіёмы неадмоўнасці маем

$$P(A)=P(B)-P(B\setminus A)\leq P(B).$$

Лікавыя межы імавернасці

Для кожнай падзеі $A\in {\mathcal {A}}$ праўдзіцца $0\leq P(A)\leq 1$.

Доказ^:15

З таго, што $\varnothing \subset A\subset \Omega$ вынікае

$$0=P(\varnothing )\leq P(A)\leq P(\Omega )=1.$$

Няроўнасць для імавернасці аб'яднання

Для якіх-кольвек падзей $A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}$ справядліва няроўнасць

$$P(A_{1}\cup A_{2}\cup \dots \cup A_{n})\leq P(A_{1})+P(A_{2})+\dots +P(A_{n}).$$

Доказ^:15-16

Для $n=2$, з правіла сумы і аксіёмы неадмоўнасці вынікае

$$P(A_{1}\cup A_{2})=P(A_{1})+P(A_{2})-P(A_{1}\cap A_{2})\leq P(A_{1})+P(A_{2}).$$

Дапусцім, што для $n-1$ выконваецца

$$P(A_{1}\cup A_{2}\cup \dots \cup A_{n-1})\leq P(A_{1})+P(A_{2})+\dots +P(A_{n-1}).$$

Сумяшчаючы гэтыя няроўнасці, атрымоўваем

$$P(A_{1}\cup A_{2}\cup \dots \cup A_{n})=P((A_{1}\cup A_{2}\cup \dots \cup A_{n-1})\cup A_{n})\leq$$

$$\leq P(A_{1}\cup A_{2}\cup \dots \cup A_{n-1})+P(A_{n})\leq P(A_{1})+P(A_{2})+\dots +P(A_{n}).$$