Прагляд зыходнага тэксту старонкі Аб’яднанне мностваў

[[Файл:Venn_A_union_B.svg|справа|міні|250x250пкс|Аб’яднанне ''A'' і ''B'']]
'''Аб’ядна́нне мно́стваў'''<ref name="МЭ">{{Крыніцы/Матэматычная энцыклапедыя|Аб’яднанне мностваў|12}}</ref> — [[бінарная аперацыя]] над мноствамі, вынікам якой ёсць [[мноства]], якое складаецца з [[Элемент (тэорыя мностваў)|элементаў]], што ўваходзяць хаця б у адно з гэтых мностваў. Аб’яднаннем мностваў называюць як саму аперацыю, так і мноства, што з’яўляецца яе вынікам.

Аперацыя аб’яднання мностваў абазначаецца знакам <math>\cup</math>.

== Вызначэнні ==

=== Аб’яднанне двух мностваў ===
Няхай даны два [[мноства|мноствы]] <math>A</math> і <math>B</math>. Тады іх аб’яднаннем называецца мноства, якое складаецца з элементаў, якія знаходзяцца ў <math>A</math>, у <math>B</math>, або ў абодвух мноствах адначасова<ref name=":3">{{Cite web|title=Set Operations {{!}} Union {{!}} Intersection {{!}} Complement {{!}} Difference {{!}} Mutually Exclusive {{!}} Partitions {{!}} De Morgan's Law {{!}} Distributive Law {{!}} Cartesian Product|url=https://www.probabilitycourse.com/chapter1/1_2_2_set_operations.php|access-date=2020-09-05|website=www.probabilitycourse.com}}</ref>:

: <math>A \cup B = \{ x \mid x\in A \vee x\in B\}.</math>

=== Аб’яднанне сямейства мностваў ===
Няхай дано сямейства мностваў <math>\{M_{\alpha}\}_{\alpha \in A}.</math> Тады яго аб’яднаннем называецца мноства, якое складаецца з усіх элементаў усіх мностваў сямейства:

: <math>\bigcup\limits_{\alpha \in A} M_{\alpha} = \{x \mid \exists \alpha \in A,\; x \in M_{\alpha}\}.</math>

== Уласцівасці аб’яднання мностваў ==

* [[камутатыўная аперацыя|камутатыўнасць]]: <math>\forall A, B: A \cup B = B \cup A</math>
* [[асацыятыўная аперацыя|асацыятыўнасць]]: <math>\forall A, B:(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)</math>
* аб’яднаннем мноства са сваім [[падмноства]]м ёсць гэтае мноства: <math>B \subseteq A \Leftrightarrow A \cup B = A</math>.
У прыватнасці,
:* аб’яднаннем мноства з самім сабой ёсць самое гэтае мноства: <math>\forall A: A \cup A = A</math>
:* аб’яднаннем мноства з [[пустое мноства|пустым мноствам]] ёсць самое гэтае мноства: <math>\forall A: A \cup \varnothing = A</math>
:* аб’яднаннем мноства з [[універсальнае мноства|універсальным мноствам]] ёсць самое ўніверсальнае мноства: <math>\forall A: A \cup U = U</math>

Асацыятыўнасць аперацыі аб’яднання мностваў дае магчымасць разглядаць аб’яднанне больш чым двух мностваў як адзіную аперацыю:

<math>\bigcup \limits_{i = 1}^n A_i = A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n</math>

{{Зноскі}}

== Спасылкі ==
{{commons category}}
* [http://www.apronus.com/provenmath/sum.htm Infinite Union and Intersection at ProvenMath] Правілы Дэ Моргана, якія фармальна даказаны з аксіом тэорыі мностваў.

[[Катэгорыя:Тэорыя мностваў]]