Падмноства

Падмно́ства — мноства, якое з’яўляецца часткай іншага, большага мноства. Больш фармальна, мноства B з’яўляецца падмноствам мноства A, калі любы элемент B з’яўляецца адначасова элементам A:

$~B\subseteq A\quad \Leftrightarrow \quad \forall b\ (b\in B\to b\in A)$

Уласцівасці падмностваў

Падмноства мае наступныя ўласцівасці, якія вынікаюць непасрэдна з яго вызначэння:

• любое мноства з’яўляецца падмноствам сябе самога: $\forall A,A\subseteq A$
• пустое мноства з’яўляецца падмноствам любога мноства: $\forall A,\varnothing \subseteq A$
• любое мноства з’яўляецца падмноствам універсальнага мноства: $\forall A,A\subseteq U$
• аб’яднанне любога мноства са сваім падмноствам складае гэтае мноства: $B\subseteq A\ \Leftrightarrow \ A\cup B=A$
• перасячэнне любога мноства са сваім падмноствам складае гэтае падмноства: $B\subseteq A\ \Leftrightarrow \ A\cap B=B$.

Уласнае падмноства

Мноства B з’яўляецца ўласным падмноствам мноства A, калі:

• любы элемент B з’яўляецца адначасова элементам A
• у A існуе прынамсі адзін элемент, які не ўваходзіць у B.

Калі мноства B з’яўляецца ўласным падмноствам A, гэта абазначаецца так: $B\subset A$

$~B\subset A\quad \Leftrightarrow \quad \forall b\ (b\in B\to b\in A)\ \land \ \exists a\ (a\in A\ \land \ a\notin B)$

Відавочна, што

• калі B з’яўляецца ўласным падмноствам A, то яно з’яўляецца адначасова і яго звычайным падмноствам: $B\subset A\Rightarrow B\subseteq A$
• ніводнае мноства не з’яўляецца ўласным падмноствам сябе самога (гэта галоўная асаблівасць уласнага падмноства, якая адрознівае яго ад звычайнага падмноства)

Усе астатнія ўласцівасці ўласных падмностваў аналагічныя да адпаведных уласцівасцяў падмностваў.