Рэчаісны лік

Шаблон:Вызнч – матэматычная абстракцыя, якая служыць, у прыватнасці, для падання і параўнання значэнняў фізічных велічынь. Такі лік можа быць інтуітыўна пададзены як апісальнае становішча кропкі на прамой.

Мноства рэчаісных лікаў пазначаецца $\mathbb {R}$ (Unicode: ℝ) і часта завецца рэчаіснай прамой.

Адносна аперацый складання і множання рэчаісныя лікі ўтвараюць поле. Поле рэчаісных лікаў з'яўляецца найважным аб'ектам матэматычнага аналізу.

Вызначэнні

Рэчаісныя лікі падзяляюцца на рацыянальныя і ірацыянальныя. Першыя могуць быць як у выглядзе рацыянальнага дробу, г.зн. дробу p/q, дзе р і q - цэлыя, q ≠ 0, гэтак і ў выглядзе абмежаванага ці бясконцага перыядычнага дзесятковага дробу, а другія - толькі ў выглядзе бясконцага неперыядычнага дзесятковага дробу.

Строгая тэорыя рэчаісных лікаў, якая дазваляе вызначаць ірацыянальныя лікі, зыходзячы з рацыянальных, была распрацавана толькі ў 2-й палове 19 ст. працамі К. Веерштраса, Р. Дэдэкінда і Г. Кантара. Мноства рацыянальных лікаў усюды шчыльнае ў мностве рэчаісных лікаў $\mathbb {R}$, і $\mathbb {R}$ ёсць яго папаўненне. Лікавая прамая $\mathbb {R}$ падобная геаметрычнай прамой, г.зн. паміж лікамі з $\mathbb {R}$ і кропкамі на прамой можна ўсталяваць узаемна адназначную адпаведнасць з захаваннем спарадкаванасці. Найважная ўласцівасць лікавай прамой складаецца ў яе бесперапыннасці. Прынцып бесперапыннасці лікавай прамой мае некалькі розных фармулёвак. Прынцып Веерштраса: усякае непустое абмежаванае зверху лікавае мноства мае (адзіную) верхнюю грань. Прынцып Дэдэкінда: усякі перасек у вобласці рэчаісных лікаў мае мяжу. Прынцып Кантара (прынцып сцяжных адрэзкаў): усякая сцяжная сістэма адрэзкаў {[a_n, b_n]} лікавай прамой мае адзіны лік, які належыць усім адрэзкам.

Прыклады

• Рацыянальныя лікі - 32, 36/29.
• Ірацыянальныя лікі - $\pi$, ${\sqrt {2}}$.

Літаратура

• С. Б. Стечкин. Большая Советская энциклопедия, ст. «Действительное число»

Спасылкі

• Кириллов, А. А. Что такое число? // Выпуск 4-й серии «Современная математика для студентов». — М.: Физматлит, 1993.
• Понтрягин, Л. С. Обобщения чисел // Серия «Математическая библиотечка». — М.: Наука, 1965.

Гл. таксама

• Камплексныя лікі