Ірацыянальны лік

З пляцоўкі Вікіпедыя
Лік з’яўляецца ірацыянальным.

Ірацыяна́льны лік (ад лац.: irrationalis — неразумны) — усе рэчаісныя лікі, якія не з’яўляюца рацыянальнымі (адніманне мностваў рэчаісных і рацыянальных лікаў), — то бок, іх нельга запісаць у выглядзе , дзе  — цэлы лік, а  — натуральны, .[1] Ірацыянальны лік раскладваецца ў бясконцы неперыядычны дзесятковы дроб, і гэтая яго ўласцівасць можа быць прынятая за азначэнне ірацыянальнага ліку.

Пра існаванне ірацыянальных лікаў (дакладней адрэзкаў, несувымерных з адрэзкам адзінкавай даўжыні), ведалі ўжо старажытныя матэматыкі: ім была вядомая, напрыклад, несувымернасць дыяганалі і бока квадрата, што раўнасільна ірацыянальнасці ліку [2].

Ірацыянальнымі з’яўляюцца, сярод іншых, адносіны даўжыні акружнасці да дыяметра круга (лік π), аснова натуральнага лагарыфма e, залатое сячэнне φ, квадратны корань з двух[3][4][5]. Усе квадратныя карані натуральных лікаў, акрамя поўных квадратаў, ірацыянальны.

Ірацыянальныя лікі таксама могуць разглядацца праз бясконцыя непарыўныя дробы. Следствам доказу Кантара з’яўляецца тое, што рэчаісныя лікі не злічальны, а рацыянальныя — злічальны, адсюль вынікае, што амаль усе рэчаісныя лікі ірацыянальны[6].

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

  • Сума двух дадатных ірацыянальных лікаў можа быць рацыянальным лікам.
  • Ірацыянальныя лікі вызначаюць дэдэкіндава сячэнне ў мностве рацыянальных лікаў, у якіх у ніжнім (левым) класе няма найбольшага, а ў верхнім (правым) — найменшага ліку.
  • Мноства ірацыянальных лікаў усюды шчыльна на лікавай прамой: паміж любымі двума рознымі лікамі маецца ірацыянальны лік.

Алгебраічныя і трэнсцэндэнтныя лікі[правіць | правіць зыходнік]

Кожны ірацыянальны лік з’яўляецца або алгебраічным лікам, або трансцэндэнтным лікам (неалгебраічным). Мноства алгебраічных лікаў з’яўляецца злічальным мноствам. Паколькі мноства рэчыўных лікаў незлічальна, то мноства ірацыянальных лікаў таксама незлічальна.

Кожны рэчаісны трансцэндэнтны лік з’яўляецца ірацыянальным; алгебраічны лік можа быць як рацыянальным, так і ірацыянальным.

Мноства ірацыянальных лікаў з’яўляецца мноствам другой катэгорыі[7].

Ірацыянальныя лікі і непарыўныя дробы[правіць | правіць зыходнік]

Ірацыянальныя лікі прадстаўляюцца бясконцым непарыўным дробам. Прыклад, лік e:

Квадратычным ірацыянальнасцям адпавядаюць перыядычныя бесперапынныя дробы.

Прыклады[правіць | правіць зыходнік]

Ірацыянальнымі з’яўляюцца:

  • для любога натуральнага , які не з’яўляецца дакладным квадратам.
  • Лік , а таксама для любога рацыянальнага .
  • для любога дадатнага рацыянальнага .
  • Лік , а таксама для любога рацыянальнага .

Зноскі

  1. Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая Российская энциклопедия, 2004—.
  2. История, 1970, Том 1, ст. 73.
  3. The 15 Most Famous Transcendental Numbers Архіўная копія на Wayback Machine. by Clifford A. Pickover. URL retrieved 24 October 2007.
  4. Irrational Numbers Архівавана 29 жніўня 2010. // mathsisfun.com; URL retrieved 24 October 2007.
  5. Weisstein, Eric W. Irrational Number (англ.)  на старонцы Wolfram MathWorld. URL retrieved 26 October 2007.
  6. Cantor, Georg. Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers (англ.)  / Philip Jourdain(англ.) бел.. — New York: Dover, 1955. — ISBN 978-0-486-60045-1.
  7. Ильин, Садовничий, Сендов, 2006, ст. 64.

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]