Транспанаваная матрыца

Транспанаваная матрыца — матрыца $A^{T}$, атрыманая з зыходнай матрыцы $A$ заменай радкоў на слупкі.

Фармальна, транспанаваны матрыца для матрыцы $A$ памераў $m\times n$ — матрыца $A^{T}$ памераў $n\times m$, вызначаная як AA^T[i, j] = A[j, i].

Напрыклад,

${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}$      таксама      ${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}\;$

Уласцівасці транспанаванай матрыцы

• $~(A^{T})^{T}=A$

Двойчы транспанаваная матрыца А роўная зыходнай матрыцы А.

• $~(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$

Транспанаваная сума матрыц роўная суме транспанаваны матрыц.

• $~(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$

Транспанаваны здабытак матрыц роўны здабытку транспанаваных матрыц, узятых у зваротным парадку.

• $~(\lambda A)^{T}=\lambda A^{T}$

Пры транспанаванні можна выносіць скаляр.

• $~\det A=\det A^{T}$

Вызначнік транспанаванай матрыцы роўны вызначніку зыходнай матрыцы.

Звязаныя вызначэнні

Сіметрычная матрыца — матрыца , якая задавальняе суадносінам $A^{T}=A$. Для таго, каб матрыца А была сіметрычнай, неабходна і дастаткова, каб:

• матрыца А была квадратнай,
• элементы, сіметрычныя адносна галоўнай дыяганалі, былі роўныя.

Антысіметрычная (косасіметрычная) матрыца — матрыца, якая задавальняе суадносінам $A^{T}=-A$. Для таго, каб матрыца А была антысіметрычнай, неабходна і дастаткова, каб:

• матрыца А была квадратнай,
• элементы, сіметрычныя адносна галоўнай дыяганалі, былі роўныя па модулі і розныя па знаку,

Адсюль вынікае, што элементы галоўнай дыяганалі такой матрыцы (могуць) раўняюцца нулю.