Сіметрычная матрыца

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Сіметрычнай лічыцца квадратная матрыца, элементы якой сіметрычныя адносна галоўнай дыяганалі. Больш фармальна, сіметрычнай называюць такую матрыцу , што .

Гэта азначае, што яна роўная яе транспанаванай матрыцы:

Прыклады[правіць | правіць зыходнік]

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

Сіметрычная матрыца заўсёды квадратная .

Для любой сіметрычнай матрыцы A з рэчаіснымі элементамі справядліва наступнае:

  • яна мае рэчаісныя ўласныя значэнні.
  • яе ўласныя вектары, адпаведныя розным уласным значэнням, артаганальныя адзін аднаму:
  • з яе ўласных вектараў заўсёды можна скласці ортанармальны базіс.
  • матрыцу A можна прывесці да дыяганальнага выгляду: , дзе артаганальная матрыца, слупкі якой ўтрымліваюць базіс з уласных вектараў, а D — дыяганальная матрыца з уласнымі значэннямі матрыцы A на дыяганалі.
  • Калі ў сіметрычнай матрыцы A адзінае ўласнае значэнне , то яна мае дыяганальны выгляд: , дзе адзінкавая матрыца, у любым базісе .

Станоўча (адмоўна) вызначаныя матрыцы[правіць | правіць зыходнік]

Сіметрычная матрыца памерам з'яўляецца станоўча вызначанай, калі .
Умова адмоўна, нестаноўча і неадмоўна вызначанай матрыцы фармулюецца аналагічна з змяненнем аператара параўнання ў апошняй няроўнасці.
Для высвятлення характару пэўнасці матрыцы можа выкарыстоўвацца крытэрый Сільвестра.