Сюр’екцыя

Сюр’ектыўная функцыя.

Сюр’е́кцыя (ад фр. sur «на, над» + лац. jactio «кідаю»), сюр’ектыўнае адлюстраванне — адлюстраванне мноства $X$ на мноства $Y$ $(f\colon X\to Y)$, пры якім кожны элемент мноства $Y$ з’яўляецца вобразам прынамсі аднаго элемента мноства $X$, гэта значыць, $\forall y\in Y\exists x\in X:y=f(x)$, іначай кажучы — гэта функцыя, якая прымае ўсе мажлівыя значэнні. Часам кажуць, што сюр’ектыўнае адлюстраванне $f\colon X\to Y$ адлюстроўвае $X$ на $Y$ (у супрацьлегласць ін’ектыўнаму адлюстраванню, якое адлюстроўвае $X$ у $Y$).

Паняцце сюр’екцыі (разам з ін’екцыяй і біекцыяй) уведзена ва ўжытак у працах Бурбакі і атрымала ўсеагульнае распаўсюджванне амаль ва ўсіх раздзелах матэматыкі.

Уласцівасці

Адлюстраванне $f\colon X\to Y$ сюр’ектыўнае тады і толькі тады, калі вобраз мноства $X$ пры адлюстраванні $f$ супадае з $Y$: $f(X)=Y$. Таксама сюр’ектыўнасць функцыі $f$ эквівалентная існаванню правага адваротнага адлюстравання, гэта значыць, адлюстравання $g\colon Y\to X$ такога, што $f(g(y))=y$ для кожнага $y\in Y$ (у функцыянальных абазначэннях — $f\circ g=\mathbf {Id} _{Y}$).

Прыклады

• $f\colon \mathbb {R} \to [-1;\;1],\;f(x)=\sin x$ — сюр’ектыўнае.
• $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+},\;f(x)=x^{2}$ — сюр’ектыўнае.
• $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f(x)=x^{2}$ — не з’яўляецца сюр’ектыўным (напрыклад, не існуе такога $x\in \mathbb {R}$, што $f(x)=-9$).

Літаратура

• Н. К. Верещагин, А. Шень. Начала теории множеств // Лекции по математической логике и теории алгоритмов.