Арыфметыка

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Арыфме́тыка (стар.-грэч.: ἀριθμητική ад ἀριθμός «арыфмос» — лік) — найстарэйшая з галін матэматыкі, якая вывучае найпрасцейшыя тыпы лікаў (натуральныя, цэлыя і рацыянальныя) і найпрасцейшыя аперацыі над імі — складанне, адніманне, множанне і дзяленне. Гэтыя аперацыі называюцца арыфметычнымі. Некаторыя сучасныя навукоўцы ўслед за Гаусам адносяць да арыфметыкі больш складаныя аспекты[1], у тым ліку камплексныя лікі і лагарыфмаванне. Вывучэннем індывідуальных уласцівасцей цэлых лікаў займаецца вышэйшая арыфметыка, або тэорыя лікаў. Тэарэтычная арыфметыка займаецца на вызначэнні і аналізе паняцця ліку[2], у той час як фармальная арыфметыка аперуе лагічнымі пабудовамі прэдыкатаў і аксіём арыфметыкі[3]. Арыфметыка з'яўляецца адной з асноўных матэматычных навук, яна цесна звязана з алгебрай і тэорыяй лікаў.

Прычынай узнікнення арыфметыкі стала практычная патрэба ў падліку, прасцейшых вымярэннях і вылічэннях. Навука развівалася разам з ускладненнем задач і патрабаванняў. Вялікі ўклад у развіццё арыфметыкі зрабілі старажытнагрэчаскія матэматыкі, у прыватнасці піфагарэйцы, якія спрабавалі з дапамогай лікаў вызначыць усе заканамернасці свету. У Індыі з'явілася дзесятковая пазіцыйная сістэма злічэння, якая дзякуючы матэматыкам Усходу распаўсюдзілася па свеце, у прыватнасці ў Еўропе і Паўночнай Афрыцы. З'яўленнем дзесятковых дробаў свет абавязаны арабскаму навукоўцу Джамшыду аль-Кашы, які даў вызначэнне дробам і правілы аперацый на імі ў пачатку XV стагоддзя. Многія пакаленні вучоных спрабавалі пабудаваць тэарэтычнае абгрунтаванне арыфметыкі, сістэму аксіём і правіл арыфметычных дзеянняў. Сучасную аксіяматычную пабудову прывёў Джузэпэ Пеана ў XIX стагоддзі. Несупярэчлівасць дадзенай фармальнай пабудовы арыфметыкі была паказана Герхардам Генцэнам ў 1936 годзе.

Арыфметыка з'яўляецца адным з сямі вольных мастацтваў, гэта значыць навучальных навук, якія вартыя вольнага чалавека і не патрабуюць фізічнай працы.

Гісторыя[правіць | правіць зыходнік]

На думку Іосіфа Флавія Аўраам быў першы, хто навучыў егіпцян арыфметыцы і астраноміі. На думку Платона і Дыягена Лаэрцкага вылічальнае мастацтва было паслана егіпцянам ад бога Тота. Першыя дакладныя звесткі аб узроўні арыфметыкі былі атрыманы з Вавілона і Старажытнага Егіпта і адносяцца да II—III тысячагоддзя да н.э.

Старажытныя тэксты і сістэмы злічэння[правіць | правіць зыходнік]

Частка папіруса Райнда

Матэматычныя папірусы Старажытнага Егіпта састаўляліся ў навучальных мэтах, яны ўтрымлівалі задачы з рашэннямі, дапаможныя табліцы і правілы дзеянняў над цэлымі лікамі і дробамі, сустракаюцца арыфметычныя і геаметрычныя прагрэсіі, а таксама ураўненні. Егіпцяне карысталіся дзесятковай сістэмай злічэння. Егіпецкія матэматычныя тэксты асаблівую ўвагу надавалі вылічэнням і ўзнікаючым пры гэтым цяжкасцям, ад якіх у многім залежаць метады рашэння задач. Егіпцяне выкарыстоўвалі такія арыфметычныя аперацыі як складанне, падваенне і дабаўленне дробу да адзінкі. Любое множанне на цэлы лік і дзяленне без астатку праводзілася з дапамогай шматразовага паўтарэння аперацыі падваення, што прыводзіла да грувасткіх вылічэнняў, у якіх удзельнічалі пэўныя члены паслядоўнасці  1,2,4,8,16,... . У Старажытным Егіпце знайшлі прымяненне толькі аліквотныя дробы, або долі адзінкі (1/n), а ўсе астатнія дробы раскладаліся на суму аліквотных. Пры вызначэнні плошчы квадрата, аб'ёма куба, або знаходжанні боку квадрата па яго плошчы егіпцяне сутыкаліся з узвядзеннем у ступень і здабываннем кораня, хоць назвы гэтых аперацый яшчэ не было.

Вавілонскія клінапісныя матэматычныя тэксты выкарыстоўвалі шасцідзесятковую сістэму злічэння, характэрную яшчэ для шумераў, і ўяўлялі сабой навучальныя дапаможнікі, якія ўключалі табліцы множання для лікаў ад 1 да 59, а таксама табліцы адваротных лікаў, табліцы квадратаў і кубоў лікаў натуральнага рада, табліцы вылічэнняў працэнтаў, дробы з асновай 60. Пры рашэнні арыфметычных задач вавілонцы абапіраліся на прапорцыі і прагрэсіі. Яны ведалі формулу сумы n членаў арыфметычнай прагрэсіі, правілы для падсумоўвання геаметрычнай прагрэсіі, рашалі задачы на працэнты. У Вавілоне ведалі мноства піфагоравых троек, для пошуку якіх, верагодна, карысталіся невядомым агульным прыёмам. У цэлым, задача знаходжання цэлых і рацыянальных рашэнняў ураўнення x^2 + y^2 = z^2 адносіцца да тэорыі лікаў. Геаметрычныя задачы прывялі да неабходнасці прыбліжанага здабывання квадратных каранёў, якое яны выконвалі выкарыстоўваючы правіла \sqrt {a^2+r} \approx a + \frac {r}{2a}.

Старажытныя грэчаскія матэматычныя тэксты адносяцца да XIVVII стагоддзя да н.э. Апалоній Пергскі напісаў кнігу «Акітакнон» аб вылічэннях, якая не дайшла да нашага часу. Першапачаткова грэкі карысталіся атычнай нумарацыяй, якую з часам замяніла кампактная літарная, або іанічная. Развіццё старажытнагрэчаскай арыфметыкі належыць піфагарэйскай школе. Піфагарэйцы лічылі спачатку, што адносіну любых двух адрэзкаў можна выразіць адносінай цэлых лікаў, гэта значыць геаметрыя ўяўляла сабой арыфметыку рацыянальных лікаў. Яны разглядалі толькі цэлыя дадатныя лікі і вызначалі колькасць як збор адзінак. Вывучаючы ўласцівасці лікаў, яны разбілі іх на цотныя і няцотныя, па прыкмеце дзялімасці на 2, простыя і састаўныя, знайшлі бесканечнае мноства піфагоравых троек. У 399 годзе да н.э. з'явілася агульная тэорыя дзялімасці, якая належыць, відаць, Тээтэту Афінскаму, вучню Сакрата. Эўклід прысвяціў ёй кнігу VII і частку кнігі IX сваёй працы «Элементаў». У аснове тэорыі ляжыць алгарытм Эўкліда для знаходжання агульнага найбольшага дзельніка двух лікаў. Вынікам алгарытму з'яўляецца магчымасць раскладання любога ліку на простыя сумножнікі, а таксама адзінасць такога раскладання. Закон адназначнасці раскладання на простыя множнікі з'яўляецца асновай арыфметыкі цэлых лікаў.

Зноскі[правіць | правіць зыходнік]

  1. «Arithmetic». C.C. MacDuffee. Encyclopædia Britannica.
  2. «Арифметика». Большая советская энциклопедия
  3. «Формальная арифметика». Большая советская энциклопедия

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Cunnington, Susan, The Story of Arithmetic: A Short History of Its Origin and Development, Swan Sonnenschein, London, 1904
  • Dickson, Leonard Eugene, History of the Theory of Numbers (3 volumes), reprints: Carnegie Institute of Washington, Washington, 1932; Chelsea, New York, 1952, 1966
  • Euler, Leonhard, Elements of Algebra, Tarquin Press, 2007
  • Fine, Henry Burchard (1858—1928), The Number System of Algebra Treated Theoretically and Historically, Leach, Shewell & Sanborn, Boston, 1891
  • Karpinski, Louis Charles (1878—1956), The History of Arithmetic, Rand McNally, Chicago, 1925; reprint: Russell & Russell, New York, 1965
  • Ore, Øystein, Number Theory and Its History, McGraw—Hill, New York, 1948
  • Weil, André, Number Theory: An Approach through History, Birkhauser, Boston, 1984; reviewed: Mathematical Reviews 85c:01004

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]