Канічныя сячэнні

Канічныя сячэнні. А) парабала В) эліпс і акружнасць С) гіпербала

Канічныя сячэнні — лініі, якія атрымоўваюцца пры перасячэнні прамога кругавога конуса пласкасцямі, якія не праходзяць праз вяршыню гэтага конуса. Канічнымі сячэннямі з'яўляюцца:

• эліпс - атрымоўваецца, калі сякучая плоскасць перасякае ўсе ўтваральная конуса ў пунктах адной яго поласці. Акружнасць ёсць адным з выпадкаў эліпса і атрымоўваецца, калі сякучая плоскасць перпендакулярна восі конуса.

• парабала - сякучая плоскасць паралельна адной з датычных пласкасцей конуса.

• гіпербала - сякучая плоскасць перасякае абедзве поласці конуса.

Вызначэнне праз эксцэнтрысітэт

Эліпс (e=1/2), парабала (e=1) and гіпербала (e=2) з фокусам F і дырэктрысай.

Канічнае сячэнне - геаметрычнае месца пунктаў, для кожнага з якіх адносіна яга адлегласцей да фокуса і да дырэктрысы раўно аднаму ліку e, які называецца эксцэнтрысітэтам. Пры гэтым калі 0 < e < 1 атрымоўваецца эліпс; e = 1 - парабала; e > 1 - гіпербала. (Праз такое вызначэнне нельга атрымаць акружнасць, бо яна не мае дырэктрысы).

Каардынатнае ўяўленне

Канічныя сячэнні з'яўляюцца лініямі другога парадку (але не ўсе лініі другога парадку з'яўляюца канічнымі сячэннямі), і іх можна апісаць мнагачленам:

$Ax^2 + Bxy + Cy^2 +Dx + Ey + F = 0\;$ (пры гэтым $A \$, $B \$, $C \$ не роўны нулю)

калі:

• $B^2 - 4AC < 0 \$, то канічнае сячэнне з'яўляецца эліпсам
  • калі ж яшчэ выконваецца і ўмова $A = C \$ and $B = 0 \$ - акружнасцью
• $B^2 - 4AC = 0 \$ - парабала
• $B^2 - 4AC > 0 \$ - гіпербала