Граніца функцыі

Грані́ца фу́нкцыі, або лімі́т фу́нкцыі – значэнне, да якога набліжаецца (імкнецца) значэнне функцыі, калі яе аргумент імкнецца да некаторага пункта (магчыма, бясконца аддаленага). Гэта адно з першасных паняццяў матэматычнага аналізу, на якім грунтуюцца асноўныя паняцці матэматычнага аналізу: непарыўнасць, вытворная, дыферэнцыял.

Аперацыя знаходжання граніцы функцыі называецца грані́чным перахо́дам.

Калі функцыя f(x) ма́е граніцу A ў пункце a, гэта абазначаецца наступным чынам:

$\lim_{x \to a} f(x) = A.$

Азначэнне граніцы

(ε, δ)-азначэнне (паводле Кашы́)

Калі пункт x знаходзіцца ў δ-акрузе пункта c, значэнне f(x) знаходзіцца ў ε-акрузе L

Лік A называецца грані́цаю функцыі f(x) пры x, накіраваным да a, калі для любога ліку ε > 0 існуе такі лік δ > 0, што для ўсіх x, якія задавальняюць умову

$0 < |x-a| <\delta,$

праўдзіцца няроўнасць

$|f(x) - A| < \varepsilon.$

Або, кажучы словамі, функцыя мае граніцу A ў некаторым пункце, калі і толькі калі для любога ε > 0 можна знайсці такое наваколле гэтага пункта, у межах якога функцыя не адхіляецца ад A больш чым на ε > 0.

Азначэнне праз граніцу паслядоўнасці (паводле Ге́йнэ)

Функцыя f мае ў пункце a концую граніцу A, калі і толькі калі для любой паслядоўнасці $\scriptstyle (x_n)_{n=1}^\infty$, якая ма́е граніцай пункт a:

$\lim\limits_{n\to\infty} x_n = a,$

адпаведная паслядоўнасць $\scriptstyle \left(f(x_n)\right)_{n=1}^\infty$ значэнняў функцыі збягаецца да A:

$\lim\limits_{n\to\infty} f(x_n) = A.$

Крытэрыі і прыкметы існавання концай граніцы

Крытэр Кашы існавання концай граніцы

Функцыя f(x) ма́е ў пункце a концую граніцу, калі і толькі калі для адвольнага ε > 0 існуе такое δ > 0, што для любых x₁ і x₂, узятых з δ-акругі пункта a, праўдзіцца няроўнасць

$|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon.$

Заўвага: Крытэр Кашы адрозніваецца ад азначэння паводле Кашы тым, што ў крытэры ніяк не ўдзельнічае значэнне граніцы. Крытэр толькі сцвярджае існаванне граніцы, але нічога не кажа пра само гранічнае значэнне.

Уласцівасці

Калі існуюць концыя граніцы $\scriptstyle \lim_{x \to a} f(x)$ і $\scriptstyle \lim_{x \to a} g(x)$, тады праўдзяцца сцверджанні:

1) Гранічны пераход ёсць лінейнай аперацыяй. Гэта значыць для адвольных лікаў λ і μ існуе граніца лінейнай камбінацыі

$\lim\limits_{x \to a} (\lambda f(x) + \mu g(x)) = \lambda\lim\limits_{x \to a} f(x) + \mu\lim\limits_{x \to a} g(x).$

Заўвага: з гэтай уласцівасці непасрэдна вынікаюць наступныя роўнасці:

$\begin{matrix} \lim\limits_{x \to a} & (f(x) + g(x)) & = & \lim\limits_{x \to a} f(x) + \lim\limits_{x \to a} g(x), \\ \lim\limits_{x \to a} & (f(x) - g(x)) & = & \lim\limits_{x \to a} f(x) - \lim\limits_{x \to a} g(x). \end{matrix}$

2) Існуе граніца здабытку гэтых функцый, прычым:

$\lim\limits_{x \to a} (f(x)\cdot g(x)) = \lim\limits_{x \to a} f(x) \cdot \lim\limits_{x \to a} g(x).$

3) Калі $\scriptstyle \lim_{x \to a} g(x) \ne 0$, то існуе граніца дзелі, прычым:

$\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim\limits_{x \to a} f(x)}{\lim\limits_{x \to a} g(x)}.$

4) калі f(x) > 0 і $\scriptstyle \lim_{x \to a} f(x) \ne 0$, то існуе граніца ступені, прычым:

$\lim\limits_{x \to a} \left(f(x)^{g(x)}\right) = \left(\lim\limits_{x \to a} f(x)\right)^{\lim\limits_{x \to a} g(x)}.$

Гл. таксама

• Аднабаковая граніца функцыі
• Граніца (матэматыка)
• Граніца паслядоўнасці