Перасячэнне мностваў

Перасячэ́нне мно́стваў — бінарная аперацыя над мноствамі, вынікам якой ёсць мноства, складзенае з элементаў, што ўваходзяць у абодва гэтыя мноствы. Перасячэннем мностваў называюць як саму аперацыю, так і мноства, што з’яўляецца яе вынікам.

Аперацыя перасячэння мностваў абазначаецца знакам $\cap$.

$~ \vdash \quad \forall x \ (x \in A \cap B \ \leftrightarrow \ x \in A \ \land \ x \in B)$

Уласцівасці перасячэння мностваў

• камутатыўнасць: $\forall A, B: A \cap B = B \cap A$
• асацыятыўнасць: $\forall A, B:(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$
• перасячэннем мноства са сваім падмноствам ёсць гэтае падмноства: $B \subseteq A \Leftrightarrow A \cap B = B$

У прыватнасці,

• перасячэннем мноства з самім сабой ёсць самое гэтае мноства: $\forall A: A \cap A = A$
• перасячэннем мноства з пустым мноствам ёсць пустое мноства: $\forall A: A \cap \varnothing = \varnothing$
• перасячэннем мноства з універсальным мноствам ёсць самое гэтае мноства: $\forall A: A \cap U = A$

Асацыятыўнасць аперацыі перасячэння мностваў дае магчымасць разглядаць перасячэнне больш чым двух мностваў як адзіную аперацыю:

$\bigcap \limits_{i = 1}^n A_i = A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_n$