Рад, матэматыка

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Простымі словамі, рад — гэта ўпарадкаваная сума ўсіх элементаў некаторай бесканечнай паслядоўнасці. Упарадкаванасць сумы тут азначае, што складнікі ў суме ідуць у тым жа парадку, што і ў паслядоўнасці.

Няхай (a_n)_{n=1}^\inftyлікавая паслядоўнасць. Фармальна злучыўшы ўсе яе паслядоўныя члены знакам плюс (+), атрымаем выраз выгляду:

\sum_{n=1}^\infty a_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n + \dots,

які і называецца лікавым радам з членамі c_1, c_2, \dots, c_n, \dots.[1]

Будзем казаць, што рад

\sum_{n=1}^\infty a_n

мае суму, калі існуе граніца паслядоўнасці (s_n)_{n=1}^\infty яго частковых сум

s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n.

Гэта граніца

s = \lim_{n\to \infty} s_n

і называецца сумай рада[2].

Калі сума рада ёсць лік, то такі рад называецца збежным, а ва ўсіх астатніх выпадках — разбежным[3].

Варта адзначыць, што ў гэтых азначэннях замест лікаў можна ўзяць элементы адвольнай прасторы, у якой вызначаны аперацыі сумы і гранічнага пераходу.

У матэматычным аналізе часцей за ўсё разглядаюцца:

  • лікавыя рады, элементамі (складнікамі) ў якіх з'яўляюцца лікі (рэчаісныя і камплексныя);
  • функцыянальныя рады, складнікамі ў якіх з'яўляюцца розныя функцыі;

Найважнейшае пытанне даследавання радоў — гэта іх збежнасць.

Адно з галоўных прымяненняў лікавых радоў — прыбліжэнне пэўных лікаў з адвольнай дакладнасцю. Так, напрыклад, прыбліжаныя значэнні такіх ірацыянальных лікаў, як e і π, можна вылічыць з дапамогай адмысловых лікавых радоў.

Азначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Няхай \{a_i\}_{i=1}^{\infty} — лікавая паслядоўнасць; разгледзім нароўні з дадзенай паслядоўнасцю паслядоўнасць

\{s_k\}_{k=1}^{\infty},

кожны элемент якой прадстаўляе сабой суму некаторых членаў зыходнай паслядоўнасці. У найбольш простым выпадку выкарыстоўваюцца звычайныя частковыя сумы выгляду

s_k=\sum_{i=1}^{k}a_i.

Наогул, для абазначэння рада выкарыстоўваецца знак

\sum_{i=1}^{\infty}a_i,

бо тут паказана зыходная паслядоўнасць элементаў рада, а таксама правіла сумавання.

У адпаведнасці з гэтым кажуць аб збежнасці лікавага рада:

  • лікавы рад сыходзіцца, калі сыходзіцца паслядоўнасць яго частковых сум;
  • лікавы рад разыходзіцца, калі разыходзіцца паслядоўнасць яго частковых сум:
  • лікавы рад сыходзіцца абсалютна, калі сыходзіцца рад з модуляў яго членаў.

Калі лікавы рад сыходзіцца, то граніца S паслядоўнасці яго частковых сум носіць назву сумы рада:

S=\sum_{i=1}^{\infty}a_i,

Аперацыі над радамі[правіць | правіць зыходнік]

Няхай зададзены збежныя рады \sum_{n=0}^\infty a_n і \sum_{n=0}^\infty b_n. Тады:

  • Іх сумай называецца рад \sum (a_n + b_n)
  • Іх здабыткам па Кашы называецца рад \sum c_n, дзе  c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}

Калі абодва рады сыходзяцца, то іх сума сыходзіцца, калі абодва рады сыходзяцца абсалютна, то іх сума сыходзіцца абсалютна. Калі хоць адзін з радоў сыходзіцца абсалютна, то здабытак радоў сыходзіцца.

Крытэрый абсалютнай збежнасці[правіць | правіць зыходнік]

Лікавы (рэчаісны ці камплексны) рад \sum_{k=1}^\infty a_k называецца абсалютна збежным, калі сыходзіцца рад \sum_{k=1}^\infty |a_k|.

Рад \,a_k сыходзіцца абсалютна тады і толькі тады, калі сыходзяцца абодва дадатныя рады \,b_k і \,c_k, дзе \,a_k = b_k - c_k, \left|a_k\right| = b_k + c_k, b_k \geqslant 0, c_k \geqslant 0, \forall k.


Доказ. Калі сыходзіцца \\sum \left|a_k\right|,, то па прызнаку параўнання тым больш сыходзяцца \,b_k і \,c_k.. Наадварот, калі сыходзяцца \,b_k і \,c_k,, то сыходзіцца і іх сума \sum \left|a_k\right|.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Зноскі

  1. Зверович Э. И. Вещественный и комплексный анализ. В 6 ч. Ч. 1. — Минск: Выш. шк., 2006. — с. 124.
  2. Зверович Э. И. Вещественный и комплексный анализ. В 6 ч. Ч. 1. — Минск: Выш. шк., 2006. — с. 125.
  3. Зверович Э. И. Вещественный и комплексный анализ. В 6 ч. Ч. 1. — Минск: Выш. шк., 2006. — с. 125.

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Зверович Э. И. Вещественный и комплексный анализ. В 6 ч. Ч. 1. — Минск: Выш. шк., 2006.
  • В. А. Зорич Глава III. Предел. § 1. Предел последовательности // Математический анализ, часть I — М.: Наука, 1981. — 544 с.
  • Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.
  • Математическая энциклопедия. Т. 4 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — стлб. 1063 — 1070.