Сума

Су́ма (лац.: summa – вынік) – вынік аперацыі складання велічынь (лікаў, функцый, вектараў, матрыц і г. д.). Агульнымі для ўсіх выпадкаў з'яўляюцца ўласцівасці камутатыўнасці, асацыятыўнасці для аперацыі складання, а таксама дыстрыбутыўнасці ў адносінах да множання (калі для разгляданых велічынь множанне вызначана), гэта азначае выкананне суадносін:

• перастаўляльны закон

а + b = b + a

• спалучальны закон

а + (b + c) = (а + b) + c

• правы размеркавальны закон

(а + b)с = ас + bc

• левы размеркавальны закон

с(а + b) = ca + cb

У тэорыі мностваў сумай (ці аб'яднаннем) мностваў завецца мноства, элементамі якога з'яўляюцца ўсе элементы складнікаў мностваў, узятыя без паўтораў.

Вызначаная сума

Часта суму n складнікаў a_k, a_k+1, ..., a_N абазначаюць вялікай літарай гречаскай літарай Σ (сігма):

$a_k + a_{k+1} + ... + a_N = \sum_{i=k}^N a_i$

Гэта абазначэнне называюць вызначанай (канечнай) сумай a_i по i от k до N.
Для зручнасці замест $\sum_{i=k}^Na_i$, асабліва калі складваць трэба не ўсе складнікі, а толькі тыя, чый нумар задавальняе пэўную ўмову, часам пішуць $\sum_{P(i)}^{}a_i$, дзе $P(i)\$ - некаторая ўмова для $i\$, такім чынам $\sum_{P(i)}^{}a_i$ гэта концая сума ўсіх $a_i\$, дзе $i\in Z : P(i)\$
Уласцівасці вызначанай сумы:

1. $\left(\sum_{i=k_1}^{k_2}a_i\right)\left(\sum_{j=p_1}^{p_2}b_j\right) = \sum_{i=k_1}^{k_2}\left(\sum_{j=p_1}^{p_2}a_ib_j\right)$
2. $\sum_{i=k_1}^{k_2}\sum_{j=p_1}^{p_2}a_{ij} = \sum_{j=p_1}^{p_2}\sum_{i=k_1}^{k_2}a_{ij}$
3. $\sum_{i=k_1}^{k_2}(a_i + b_i) = \sum_{i=k_1}^{k_2}a_i + \sum_{i=k_1}^{k_2}b_i$
4. $\sum_{i=k_1}^{k_2} {z \cdot a_i} = z \cdot \sum_{i=k_1}^{k_2} a_i$

Прыклады

1. Сума арыфметычнай прагрэсіі:

   $\sum_{i=0}^n(a_0+b\cdot i) = (n+1)\frac{a_0+a_n}{2}$

2. Сума геаметрычнай прагрэсіі:

   $\sum_{i=0}^na_0\cdot b^i = a_0\cdot \frac{1-b^{n+1}}{1-b}$

3. $\sum_{i=0}^n{\left(\frac{1}{p}\right)}^i = \frac{p}{p-1}\left(1-\frac{1}{p^{n+1}}\right), \quad p \neq 1, n \ge 0$

Чаму гэта так  

$\sum_{i=0}^n{\left(\frac{1}{p}\right)}^i = \sum_{i=0}^n{1\cdot {\frac{1}{p^i}}} = 1\cdot \frac{1-{\left(\frac{1}{p}\right)}^{n+1}}{1-\frac{1}{p}} = \frac{\frac{p^{n+1}-1}{p^{n+1}}}{\frac{p-1}{p}} = \frac{p^{n+1}-1}{p^n(p-1)} = \frac{p}{p-1}\left(1-\frac{1}{p^{n+1}}\right)$

1. $\sum_{i=0}^nip^i = \frac{np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(p-1)^2}, \quad p \ne 1$

Чаму гэта так  

Доказ:

$\sum_{i=0}^nip^i = \sum_{i=1}^nip^i = p\cdot \sum_{i=1}^nip^{i-1} = p\cdot \sum_{i=0}^{n-1}(i+1)p^i = p\cdot \left(\sum_{i=0}^{n-1}{ip^i} + \sum_{i=0}^{n-1}p^i\right)=p\cdot \sum_{i=0}^nip^i - p\cdot np^n + p\cdot \frac{1-p^n}{1-p} \Rightarrow$

$\Rightarrow (1-p)\sum_{k=0}^nip^i = \frac{-np^{n-1}(1-p)+p-p^{n+1}}{1-p} \Rightarrow \sum_{i=0}^nip^i = \frac{np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^2}$

1. $\sum_{i=0}^np^i = (p-1)\sum_{i=0}^{n-1}((n-i)p^i) + n + 1, \quad p \ne 1$

Чаму гэта так  

Доказ:

$(p-1)\sum_{i=0}^{n-1}((n-i)p^i)+n+1 = (p-1)\sum_{i=0}^n((n-i)p^i)+n+1 = (p-1)\left(n\cdot\sum_{i=0}^np^i -\sum_{i=0}^nip^i\right)+n+1 =$

$=(p-1)\left(n\cdot\frac{1-p^{n+1}}{1-p}-\frac{np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^2}\right)+n+1 =$

$=\frac{np^{n+2}-np-np^{n+1}+n-np^{n+2}+np^{n+1}+p^{n+1}-p+pn-n+p-1}{p-1}=$

$=\frac{p^{n+1}-1}{p-1}=\sum_{i=0}^np^i$

1. • Пры $p = 10\$ атрымліваем $\sum_{i=0}^n10^i = 9\cdot\sum_{i=0}^{n-1}((n-i)10^i) + n +1$, а гэта паслядоўнасць роўнасцей наступнага выгляду:
     $1 = 9\cdot 0 + 1,\quad 11 = 9\cdot 1 + 2,\quad 111 = 9 \cdot 12 + 3,\quad 1111 = 9 \cdot 123 + 4,\quad 11111 = 9 \cdot 1234 + 5$

Нявызначаная сума

Нявызначанай сумай a_i по i называецца такая функцыя f(i), якая абазначаецца $\sum_{i}^{} a_i$, что $\forall i f(i+1) - f(i) = a_{i+1}$.

Формула Ньютана-Лейбніца

Калі знайдзена нявызначаная сума $\sum_{i}^{} a_i = f(i)$, тады $\sum_{i=k}^N a_i = f(N+1)-f(k)$. 

Паходжанне слова

Лацінскае слова summa перакладаецца як «галоўны пункт», «сутнасць», «вынік». З XV стагоддзя слова пачынае ўжывацца ў сучасным сэнсе, з'яўляецца дзеяслоў «сумаваць» (1489 год).

Гэтае слова пранікла ў многія сучасныя мовы: сума ў рускай, sum ў англійскай, somme ў французскай.

Адмысловы сімвал для абазначэння сумы (S) першым увёў Эйлер у 1755 годзе. У якасці варыянта выкарыстоўвалася грэчаская літара Сігма Σ. Пазней з прычыны сувязі паняццяў сумавання і інтэгравання, S таксама выкарыстоўвалі для абазначэння аперацыі інтэгравання.

Гл. таксама

• Кантрольная сума