Сума

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Су́ма (лац.: summa – вынік) – вынік аперацыі складання велічынь (лікаў, функцый, вектараў, матрыц і г. д.). Агульнымі для ўсіх выпадкаў з'яўляюцца ўласцівасці камутатыўнасці, асацыятыўнасці для аперацыі складання, а таксама дыстрыбутыўнасці ў адносінах да множання (калі для разгляданых велічынь множанне вызначана), гэта азначае выкананне суадносін:

  • перастаўляльны закон
а + b = b + a
  • спалучальны закон
а + (b + c) = (а + b) + c
  • правы размеркавальны закон
(а + b)с = ас + bc
  • левы размеркавальны закон
с(а + b) = ca + cb

У тэорыі мностваў сумай (ці аб'яднаннем) мностваў завецца мноства, элементамі якога з'яўляюцца ўсе элементы складнікаў мностваў, узятыя без паўтораў.

Вызначаная сума[правіць | правіць зыходнік]

Часта суму n складнікаў ak, ak+1, ..., aN абазначаюць вялікай літарай гречаскай літарай Σ (сігма):

a_k + a_{k+1} + ... + a_N = \sum_{i=k}^N a_i

Гэта абазначэнне называюць вызначанай (канечнай) сумай ai по i от k до N.
Для зручнасці замест \sum_{i=k}^Na_i, асабліва калі складваць трэба не ўсе складнікі, а толькі тыя, чый нумар задавальняе пэўную ўмову, часам пішуць \sum_{P(i)}^{}a_i, дзе P(i)\ - некаторая ўмова для i\ , такім чынам \sum_{P(i)}^{}a_i гэта концая сума ўсіх a_i\ , дзе i\in Z : P(i)\
Уласцівасці вызначанай сумы:

  1. \left(\sum_{i=k_1}^{k_2}a_i\right)\left(\sum_{j=p_1}^{p_2}b_j\right) = \sum_{i=k_1}^{k_2}\left(\sum_{j=p_1}^{p_2}a_ib_j\right)
  2. \sum_{i=k_1}^{k_2}\sum_{j=p_1}^{p_2}a_{ij} = \sum_{j=p_1}^{p_2}\sum_{i=k_1}^{k_2}a_{ij}
  3. \sum_{i=k_1}^{k_2}(a_i + b_i) = \sum_{i=k_1}^{k_2}a_i + \sum_{i=k_1}^{k_2}b_i
  4. \sum_{i=k_1}^{k_2} {z \cdot a_i} = z \cdot \sum_{i=k_1}^{k_2} a_i

Прыклады[правіць | правіць зыходнік]

  1. Сума арыфметычнай прагрэсіі:
    \sum_{i=0}^n(a_0+b\cdot i) = (n+1)\frac{a_0+a_n}{2}
  2. Сума геаметрычнай прагрэсіі:
    \sum_{i=0}^na_0\cdot b^i = a_0\cdot \frac{1-b^{n+1}}{1-b}
  3. \sum_{i=0}^n{\left(\frac{1}{p}\right)}^i = \frac{p}{p-1}\left(1-\frac{1}{p^{n+1}}\right), \quad p \neq 1, n \ge 0
  1. \sum_{i=0}^nip^i = \frac{np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(p-1)^2}, \quad p \ne 1
  1. \sum_{i=0}^np^i = (p-1)\sum_{i=0}^{n-1}((n-i)p^i) + n + 1, \quad p \ne 1
    • Пры p = 10\ атрымліваем \sum_{i=0}^n10^i = 9\cdot\sum_{i=0}^{n-1}((n-i)10^i) + n +1, а гэта паслядоўнасць роўнасцей наступнага выгляду:
      1 = 9\cdot 0 + 1,\quad 11 = 9\cdot 1 + 2,\quad 111 = 9 \cdot 12 + 3,\quad 1111 = 9 \cdot 123 + 4,\quad 11111 = 9 \cdot 1234 + 5

Нявызначаная сума[правіць | правіць зыходнік]

Нявызначанай сумай ai по i называецца такая функцыя f(i), якая абазначаецца \sum_{i}^{} a_i, что \forall i f(i+1) - f(i) = a_{i+1}.

Формула Ньютана-Лейбніца[правіць | правіць зыходнік]

Калі знайдзена нявызначаная сума \sum_{i}^{} a_i = f(i), тады \sum_{i=k}^N a_i = f(N+1)-f(k)

Паходжанне слова[правіць | правіць зыходнік]

Лацінскае слова summa перакладаецца як «галоўны пункт», «сутнасць», «вынік». З XV стагоддзя слова пачынае ўжывацца ў сучасным сэнсе, з'яўляецца дзеяслоў «сумаваць» (1489 год).

Гэтае слова пранікла ў многія сучасныя мовы: сума ў рускай, sum ў англійскай, somme ў французскай.

Адмысловы сімвал для абазначэння сумы (S) першым увёў Эйлер у 1755 годзе. У якасці варыянта выкарыстоўвалася грэчаская літара Сігма Σ. Пазней з прычыны сувязі паняццяў сумавання і інтэгравання, S таксама выкарыстоўвалі для абазначэння аперацыі інтэгравання.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]