Лік e

З пляцоўкі Вікіпедыя.
Перайсці да: рух, знайсці
Паказана некалькі функцый выгляду f(x) = ax з рознымі значэннямі асновы a. Лік e — адзіная аснова, пры якой вытворная функцыі f(x) = ax у пункце x = 0 раўняецца 1. Дзеля параўнання паказаны графікі для асноў 2 і 4.
Сіняя крывая: ex;
пункцірная крывая: 2x;
штрыхавая крывая: 4x.
На рысунку відаць, што чырвоная прамая, праведзеная праз пункт (0,1) з нахілам 1, не з'яўляецца датычнай да графікаў апошніх дзвюх функцый.

Лік e (таксама лік Эйлера або пастаянная Непера) — важная матэматычная пастаянная, якая акрамя іншага з'яўляецца асновай натуральнага лагарыфма. Звычайна ў курсах матэматычнага аналізу пастаянную азначаюць як граніцу паслядоўнасці

\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n

пры імкненні n да бесканечнасці. Такі выраз ўзнікае пры вывучэнні складанага працэнта.

Эйлераў лік можна вылічыць і як суму бесканечнага рада[1]

e = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3} + \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+\cdots.

Пастаянную можна вызначыць мноствам спосабаў. Напрыклад, іншы раз за азначэнне бяруць наступны факт: e — адзіны рэчаісны лік, такі што вытворная (нахіл датычнай прамой) функцыі f(x) = ex у пункце x = 0 роўная 1.[2] Функцыя ex, вызначаная такім чынам, называецца экспаненцыяльнай функцыяй (або натуральнай паказчыкавай функцыяй), адваротнай да яе функцыяй з'яўляецца лагарыфм па аснове e — т.зв. натуральны лагарыфм. Натуральны лагарыфм дадатнага ліку k можна таксама вызначыць напрамую, як плошчу пад крывой y = 1/x, якая заключана паміж значэннямі аргумента x = 1 і x = k. Лік e — такі лік, натуральны лагарыфм якога роўны 1. Ёсць і іншыя іншыя азначэнні.

Пастаянную e часам называюць Эйлеравым лікам у гонар швейцарскага матэматыка Леанарда Эйлера (не блытаць з γпастаяннай Эйлера-Маскероні, якую іншы раз называюць проста пастаяннай Эйлера). Лік e таксама вядомы як пастаянная Непера, бо першыя вядомыя ўпамінанні гэтага ліку былі знойдзены ў працах Джона Непера, які выкарыстоўваў гэты лік у якасці асновы лагарыфма[3]. Абазначаць лік літарай e пачаў Эйлер.[4] Лік e мае вялікае значэнне ў матэматыцы[5] і па важнасці стаіць побач с такімі лікамі як 0, 1, π і ўяўная адзінка i. Усе пяць лікаў сустракаюцца, мабыць, ва ўсіх галінах матэматыкі. Цікава, што ўсе яны ўваходзяць у тоеснасць Эйлера:

e^{i\pi}+1 = 0.

Як і пастаянная π, eірацыянальны лік: г.зн. яго нельга запісаць у выглядзе дзелі двух цэлых лікаў. Больш таго, ён трансцэндэнтны: г.зн. не існуе ненулявога мнагачлена з рацыянальнымі каэфіцыентамі, для якога лік e быў бы коранем.

Лікавае значэнне e з дакладнасцю 50 дзесятковых знакаў пасля коскі:

2.71828182845904523536028747135266249775724709369995... (паслядоўнасць A001113 у OEIS).

Гісторыя[правіць | правіць зыходнік]

Першыя ўскосныя ўпамінанні Эйлерава ліку сустракаюцца ў табліцах ў дадатку Неперавай працы па лагарыфмах, апублікаванай у 1618 годзе[6]. Праца ўтрымлівала не саму пастаянную, а проста спіс лагарыфмаў, вылічаных па аснове, прыблізна роўнай 1/e. Мяркуюць, што табліцу напісаў Уільям Оўтрэд. Адкрыццё самой пастаяннай прыпісваецца Якабу Бернуллі, які спрабаваў знайсці значэнне граніцы (якая раўняецца e):

\lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n.

Першыя вядомыя прамыя ўпамінанні пастаяннай Непера былі знойдзены ў пісьмах Лейбніца да Гюйгенса ў 1690 і 1691 гг. Там Лейбніц карыстаецца пастаяннай і абазначае яе літарай b. Леанард Эйлер ужыў літару e для абазначэння асновы натуральных лагарыфмаў у пісьме да Хрысціяна Гольдбаха 25 лістапада 1731 года.[7] Эйлер пачаў абазначаць пастаянную літарай e недзе ў 1727 ці 1728 годзе, у неапублікаванай працы па выбуховых сілах у гарматах,[8], а першым з'яўленнем e ў публікацыі была Эйлерава Mechanica (1736). І хоць у наступныя гады некаторыя даследчыкі абазначалі лік літарай c, абазначэнне e было больш распаўсюджаным і ў выніку стала агульнапрынятым.

Прымяненні[правіць | правіць зыходнік]

Складаны працэнт[правіць | правіць зыходнік]

Даход ад пачатковага укладу $1000 пры 20% гадавых і пры розных частотах налічэння працэнта

Якаб Бернулі адкрыў пастаянную, рашаючы задачу аб складаным працэнце:[6]

Пачатковая сума на рахунку $1.00, працэнтная стаўка па ўкладу складае 100% гадавых. Калі працэнты налічваюцца адзін раз у канцы года, сума на рахунку ў канцы года стане $2.00. Што адбудзецца, калі на працягу года працэнты налічваюцца на рахунак больш часта? (Пры гэтым налічаны на рахунак даход таксама пускаецца ў абарот пад тыя ж працэнты).

Калі працэнты пераводзяцца на рахунак двойчы ў год, сума будзе прырастаць на 50% кожныя 6 месяцаў, і такім чынам пачатковы $1 дамнажаецца на 1.5 двойчы, даючы $1.00×1.52 = $2.25 у канцы года. Паквартальнае накапленне дае $1.00×1.254 = $2.4414..., а штомесячнае накапленне дае $1.00×(1+1/12)12 = $2.613035... Калі ёсць n прамежкаў накаплення, працэнт на кожным прамежку будзе 100%/n і сума ў канцы года складзе $1.00×(1 + 1/n)n.

Бернулі заўважыў, што гэта паслядоўнасць прыбліжаецца да граніцы з ростам n і, адпаведна, са здрабненнем прамежкаў налічэння. Штотыднёвае налічэнне (n = 52) дае $2.692597..., тады як штодзённае налічэнне (n = 365) дае $2.714567..., толькі на два цэнты больш. Граніца пры неабмежаваным нарастанні n і ёсць лік, вядомы цяпер як e; пры непарыўным налічэнні, сума на рахунку дасягне $2.7182818.... У агульным выпадку, пачатковая сума на рахунку $1 і гадавы прырост даходу R долей пасля t гадоў дадуць у выніку eRt долараў пры непарыўным налічэнні. (Тут R — доля, а не працэнт. Так што, для 5% гадавых, R = 5/100 = 0.05.)

Выпрабаванні Бернуллі[правіць | правіць зыходнік]

Лік e ўзнікае і ў тэорыі імавернасцей. Няхай гулец робіць стаўкі ў гульнявым аўтамаце. Імавернасць выйгрышу пры адном запуску аўтамата роўная 1 на n. Ігрок робіць стаўку n разоў. Тады для вялікіх n (напрыклад, мільёна) імавернасць, што гуляка прайграе ўсе стаўкі прыблізна раўняецца 1/e. Так, для n = 20 гэта ўжэ 1/2.72.

Гэта прыклад выпрабаванняў Бернуллі. Кожны раз, калі ігрок кідае манетку ў аўтамат (робіць стаўку), шанц выйграць — адзін на мільён. Запуск аўтамата мільён разоў мадэліруецца бінаміяльным размеркаваннем, якое цесна звязана з біномам Ньютана. Імавернасць k разоў выйграць пры мільёне спроб роўная:

\binom{10^6}{k} \left(10^{-6}\right)^k(1-10^{-6})^{10^6-k}.

У прыватнасці, імавернасць ні разу не выйграць (k = 0) роўная:

\left(1-\frac{1}{10^6}\right)^{10^6}.

Гэта значэнне вельмі блізкае да наступнай граніцы:

\frac{1}{e} = \lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{n}\right)^n.

Беспарадкі[правіць | правіць зыходнік]

Пастаянная e ўзнікае і ў камбінаторыцы. Прыкладам можа служыць т.зв. задача аб беспарадках, таксама вядомая як задача разбору шапак[9], якою займаліся Якаб Бернуллі і П'ер Раймонд дэ Мантмор (фр.: Pierre Rémond de Montmort). Вось як гучыць гэта задача:

На вечарынку запрошана n гасцей. У дзвярах кожны госць аддае сваю шапку дварэцкаму, які затым ложыць яе ў адну з n скрынь, кожная з якіх пазначана іменем аднаго з гасцей. Але дварэцкі не знае гасцей па імёнах (а мо проста чытаць не ўмее) і таму кідае шапкі ў скрыні як папала. Задача дэ Мантмора — знайсці імавернасць таго, што ні адна шапка не трапіла ў патрэбную скрыню. Адказ такі:
p_n = 1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{(-1)^n}{n!} = \sum_{k = 0}^n \frac{(-1)^k}{k!}.

Калі лік гасцей n імкнецца да бесканечнасці, pn прыбліжаецца к 1/e. Больш таго, колькасць спосабаў раскідаць шапкі па каробках так, каб ні адна не папала куды трэба, для любога n раўняецца ліку n!/e, акругленаму да найбліжэйшага цэлага.[10]

Асімптотыкі[правіць | правіць зыходнік]

Лік e натуральным чынам узнікае ў сувязі з мноствам задач, якія закранаюць асімтотыку. Выдатным прыкладам з'яўляецца формула Сцірлінга для асімптотыкі фактарыяла, куды ўваходзяць і e, і π:

n! \sim \sqrt{2\pi n}\, \left(\frac{n}{e}\right)^n.

Адсюль можна атрымаць:

e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}.

Лік e ў аналізе[правіць | правіць зыходнік]

Натуральны лагарыфм у пункце e, ln(e), роўны 1

Важнасць ліку e ў аналізе тлумачыцца найперш патрэбай ажыццяўляць дыферэнцаванне і інтэграванне паказчыкавых функцый і лагарыфмаў.[11] Паказчыкавая функцыя агульнага выгляду y = ax мае вытворную, якая задаецца як граніца:

\frac{d}{dx}a^x=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x}a^{h}-a^x}{h}=a^x\left(\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}\right).

Самая правая граніца ў выразе не залежыць ад зменнай x: яна залежыць толькі ад асновы a. Калі аснова роўная e, граніца раўняецца адзінцы, і такім чынам e вызначаецца з ураўнення:

\frac{d}{dx}e^x = e^x.

Адсюль відаць, што паказчыкавая функцыя з асновай e асабліва зручная пры ажыццяўленні розных аперацый у аналізе. Выбар ліку e ў якасці асновы паказчыкавай функцыі значна спрашчае разлікі, у якіх неабходна знаходзіць вытворную.

Выкарыстанне ліку e ў якасці асновы таксама спрашчае інтэграванне і дыферэнцаванне лагарыфмічных функцый.[12] Вылічым вытворную функцыі loga x па азначэнню, г.зн. як граніцу:

\frac{d}{dx}\log_a x = \lim_{h\to 0}\frac{\log_a(x+h)-\log_a(x)}{h}=\frac{1}{x}\left(\lim_{u\to 0}\frac{1}{u}\log_a(1+u)\right),

дзе на апошнім кроку зроблена падстаноўка u = h/x. Апошняя граніца ў гэтым ланцужку роўнасцей ізноў залежыць толькі ад асновы a, і калі аснова — e, граніца раўняецца адзінцы. Такім чынам,

\frac{d}{dx}\log_e x=\frac{1}{x}.

У гэтым выпадку лагарыфм называецца натуральным і абазначаецца як ln. Ён зручнейшы за лагарыфмы па іншых асновах, бо пры аперацыях дыферэнцавання і інтэгравання не прыходзіцца ўсюды цягаць нязручныя множнікі выгляду ln a.

Такім чынам, лік a = e з дапамогай паняцця вытворнай можна вызначыць двума спосабамі. Першы з іх — прыняць, што вытворная паказчыкавай функцыі ax роўная ax, і адсюль знайсці a. Другі — сказаць, што вытворная лагарыфма з асновай a раўняецца 1/x і адтуль знайсці a. Абодва спосабы раўназначныя і даюць аднолькавы вынік.

Іншыя азначэнні[правіць | правіць зыходнік]

Плошча паміж воссю x і графікам y = 1/x ад x = 1 да x = e роўная 1.

Лік e можна вызначыць і іначай: як граніцу паслядоўнасці, ці як суму бесканечнага рада, ці праз нейкія інтэгралы. Вышэй было прыведзена толькі два раўназначныя азначэнні (уласцівасці) ліку e, а іменна:

1. Лік e — гэта адзіны дадатны рэчаісны лік, такі што

\frac{d}{dt}e^t = e^t.

2. Лік e — гэта адзіны дадатны рэчаісны лік, такі што

\frac{d}{dt} \log_e t = \frac{1}{t}.

Можна паказаць, што наступныя тры азначэнні раўназначныя дадзеным раней:

3. Лік e — гэта граніца паслядоўнасці:

e = \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n

Ці граніца функцыі:

e = \lim_{x\to 0} \left( 1 + x \right)^{\frac{1}{x}}

4. Лік e — гэта сума бесканечнага рада

e = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots,

дзе n!фактарыял ліку n.

5. Лік e — адзіны дадатны рэчаісны лік, такі што

\int_1^e \frac{dt}{t} = 1.

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

Аналіз[правіць | правіць зыходнік]

Паказчыкавая функцыя ex мае важнае значэнне яшчэ і таму, што гэта адзіная не роўная тоесна нулю функцыя (з дакладнасцю да пастаяннага множніка), якая супадае са сваёй вытворнай

\frac{d}{dx}e^x=e^x

і такім чынам, яе першаісная таксама роўная:


\begin{align}
e^x & = \int_{-\infty}^x e^t\,dt \\[8pt]
& = \int_{-\infty}^0 e^t\,dt + \int_0^x e^t\,dt \\[8pt]
& = 1 + \int_{0}^x e^t\,dt.
\end{align}

Ступенна-паказчыкавыя функцыі[правіць | правіць зыходнік]

Глабальны максімум функцыі \sqrt[x]{x} дасягаецца ў пункце x = e.

Глабальны максімум функцыі

 f(x) = \sqrt[x]{x}

дасягаецца ў x = e. Гэтак жа, x = 1/e — пункт, дзе дасягаецца глабальны мінімум функцыі

 f(x) = x^x\,

вызначанай для дадатных x.

Больш агульна, x = e−1/n будзе пунктам глабальнага мінімума функцыі

 f(x) = x^{x^n}

для любога n > 0.

Па тэарэме Леанарда Эйлера, бесканечная ступенная вежа

 x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}} або x

збягаецца, калі і толькі калі eexe1/e (або прыблізна паміж 0.0660 і 1.4447).

Тэорыя лікаў[правіць | правіць зыходнік]

Лік e ірацыянальны. Эйлер даказаў гэта, паказаўшы, што яго раскладанне ў просты непарыўны дроб бесканечнае.[13] (Гл. таксама доказ ірацыянальнасці ліку e, які даў Жан Фур'е.)

Больш таго, па тэарэме Ліндэмана — Веерштраса eтрансцэндэнтны лік, г.зн. ён не з'яўляецца коранем ніякага ненулявога мнагачлена з рацыянальнымі каэфіцыентамі. Гэта быў першы лік, чыя трансцэндэнтнасць была даказана, і які пры гэтым не быў адмыслова пабудаваны для гэтае мэты (як напрыклад лікі Ліувіля). Трансцэндэнтнасць ліку e даказаў Шарль Эрміт у 1873 годзе.

Была выказана здагадка, што лік e нармальны, г.зн. калі запісаць лік e ў сістэме злічэння для адвольнай асновы, магчымыя лічбы будуць раўнамерна размеркаваны (сустракаюцца з аднолькавай імавернасцю ў любой паслядоўнасці дадзенай даўжыні).

Камплексныя лікі[правіць | правіць зыходнік]

Паказчыкавую функцыю ex можна запісаць у выглядзе рада Тэйлара:

 e^{x} = 1 + {x \over 1!} + {x^{2} \over 2!} + {x^{3} \over 3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}

Гэты рад дазваляе выявіць мноства важных уласцівасцей функцыі ex, нават калі x прымае камплексныя значэнні, яго звычайна выкарыстоўваюць, каб пашырыць азначэнне ex на ўсе камплексныя лікі. Рад для паказчыкавай функцыі разам з радамі Тэйлара для сінуса і косінуса, дазваляе вывесці формулу Эйлера:

e^{ix} = \cos x + i\sin x,

справядлівую для ўсіх x. Асобны выпадак пры x = πтоеснасць Эйлера:

e^{i\pi} =-1,

з якой вынікае, што на галоўнай галіне лагарыфма,

\log_e (-1) = i\pi.

Больш таго, карыстаючыся правіламі ступенявання, атрымліваем тоеснасць

(\cos x + i\sin x)^n = \left(e^{ix}\right)^n = e^{inx} = \cos (nx) + i \sin (nx),

якая называецца формулай Муаўра.

Дыферэнцыяльныя ўраўненні[правіць | правіць зыходнік]

Функцыя агульнага выгляду

y(x) = Ce^x

ёсць рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення:

y' = y.

Прадстаўленні[правіць | правіць зыходнік]

Vista-xmag.png Асноўны артыкул: Формулы для ліку e

Лік e можна задаць рознымі спосабамі: як бесканечны рад, бесканечны здабытак, непарыўны дроб, ці граніцу паслядоўнасці. Як правіла, асабліва ў курсах матэматычнага аналізу, пастаянную азначаюць як граніцу

\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n,

ці як суму рада

e=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!},

якая атрымліваецца з вышэйзгаданага ступеннага рада для ex у x = 1.

Менш вядома прадстаўленне ліку e непарыўным дробам (паслядоўнасць A003417 у OEIS), якое атрымаў Леанард Эйлер:


e = [2;1,\mathbf 2,1,1,\mathbf 4,1,1,\mathbf 6,1,1,...,\mathbf {2n},1,1,...] = [1;\mathbf 0,1,1,\mathbf 2,1,1,\mathbf 4,1,1,...,\mathbf {2n},1,1,...],
[14]

што ў звычайным запісе выглядае як:

e = 2+
\cfrac{1}
   {1+\cfrac{1}
      {\mathbf 2 +\cfrac{1}
         {1+\cfrac{1}
            {1+\cfrac{1}
               {\mathbf 4 +\cfrac{1}
            {1+\cfrac{1}
               {1+\ddots}
                  }
               }
            }
         }
      }
   }
= 1+
\cfrac{1}
  {\mathbf 0 + \cfrac{1}
    {1 + \cfrac{1}
      {1 + \cfrac{1}
        {\mathbf 2 + \cfrac{1}
          {1 + \cfrac{1}
            {1 + \cfrac{1}
              {\mathbf 4 + \cfrac{1}
            {1 + \cfrac{1}
              {1 + \ddots}
                }
              }
            }
          }
        }
      }
    }
  }.

А гэты ланцуговы дроб e збягаецца ў тры разы хутчэй:

 e = [ 1 ; 0.5 , 12 , 5 , 28 , 9 , 44 , 13 , \ldots , 4(4n-1) , (4n+1) , \ldots ],

або ў разгорнутым запісе:

 e = 1+\cfrac{2}{1+\cfrac{1}{6+\cfrac{1}{10+\cfrac{1}{14+\cfrac{1}{18+\cfrac{1}{22+\cfrac{1}{26+\ddots\,}}}}}}}.

Вядома таксама многа іншых прадстаўленняў ліку e ў выглядзе непарыўных дробаў, радоў, граніц паслядоўнасцей, бесканечных здабыткаў.

Стахастычныя прадстаўленні[правіць | правіць зыходнік]

Акрамя дакладных аналітычных выразаў для ліку e, ёсць і імавернасныя метады ацэнкі ліку e. Вось адзін з іх: няхай ёсць бесканечная паслядоўнасць незалежных выпадковых велічынь X1, X2..., кожная з якіх раўнамерна размеркавана на адрэзку [0, 1]. Няхай V — найменшы лік n, для якога сума першых n членаў паслядоўнасці большая за 1:

V = \min { \left \{ n \mid X_1+X_2+\cdots+X_n > 1 \right \} }.

Тады матэматычнае спадзяванне велічыні V раўняецца e:[15][16]

\mathbb{E}[V] = e.

Колькасць вядомых дзесятковых разрадаў[правіць | правіць зыходнік]

За апошнія дзесяцігоддзі колькасць вядомых лічбаў ліку e рэзка ўзрасла. Гэта стала магчыма як дзякуючы росту вылічальных магутнасцей, так і дзякуючы ўдасканаленню алгарытмаў.[17][18]

Колькасць вядомых дзесятковых разрадаў ліку e
Дата Колькасць лічбаў Аўтар разлікаў
1748 23 Леанард Эйлер[19]
1853 137 Уільям Шэнкс
(англ.: William Shanks)
1871 205 Уільям Шэнкс
1884 346 Дж. Маркус Бурмэн
(англ.: J. Marcus Boorman)
1949 2,010 Джон фон Нейман (на ЭНІАКу)
1961 100,265 Daniel Shanks & John Wrench [20]
1978 116,000 Стыў Возняк (на Apple II[21])
1994 (1 красавіка) 1,000,000 Robert Nemiroff & Jerry Bonnell [22]
1999 (21 лістапада) 1,250,000,000 Xavier Gourdon [23]
2000 (16 ліпеня) 3,221,225,472 Colin Martin & Xavier Gourdon [24]
2003 (18 верасня) 50,100,000,000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon [25]
2007 (27 красавіка) 100,000,000,000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo [26]
2009 (6 траўня) 200,000,000,000 Rajesh Bohara & Steve Pagliarulo [26]
2010 (5 ліпеня) 1,000,000,000,000 Shigeru Kondo & Alexander J. Yee [27]

У камп'ютарнай культуры[правіць | правіць зыходнік]

У сучаснай інтэрнэт-культуры як асобы, так і арганізацыі часта аддаюць даніну павагі ліку e.

У IPO кампаніі Google у 2004 годзе было аб'яўлена, што кампанія мае намер павялічыць свой прыбытак на $2,718,281,828, што ўяўляе сабой першыя 10 лічбаў ліку e. Google таксама прафінансавала рэкламныя шчыты[28], якія з'явіліся ў цэнтры Крэмніевай даліны, а пазней у Кембрыджы (штат Масачусетс); Сіэтле (штат Вашынгтон) і Осціне (штат Тэхас). На шчытах было напісана

{first 10-digit prime found in consecutive digits of e}.com

Па-беларуску гэта гучала б як:

{першы 10-разрадны просты лік, знойдзены ў паслядоўных лічбах ліку e}.com

Рашэнне гэтай задачы і наведванне рэкламуемага сайта (цяпер не існуе) вяло да яшчэ больш складанай задачы, рашыўшы якую можна было трапіць на сайт Google Labs, дзе наведвальніку прапаноўвалася пакінуць сваё рэзюме.[29] Першы 10-разрадны просты лік у дзесятковым запісе e — 7427466391, і пачынаецца ён на 99-й лічбе.[30]

Яшчэ цікавы прыклад, Дональд Кнут прысвойвае сваёй праграме Metafont нумары версій, якія прыбліжаюцца к ліку e. Паслядоўныя версіі пры гэтым выглядаюць так: 2, 2.7, 2.71, 2.718 і гэтак далей. Падобным жа чынам назначаюцца і нумары версій яго TeXа, якія пачынаючы з версіі 3.0 прыбліжаюцца к ліку π[31]: 3.0, 3.1, 3.14, 3.141 і г.д.

Зноскі[правіць | правіць зыходнік]

  1. Encyclopedic Dictionary of Mathematics 142.D
  2. Jerrold E. Marsden, Alan Weinstein (1985). Calculus. Springer. ISBN 0-387-90974-5. http://books.google.com/?id=KVnbZ0osbAkC&printsec=frontcover. 
  3. Дакладней кажучы, Непер у сваіх табліцах лагарыфмаў у якасці асновы няяўна карыстаўся лікам, прыблізна роўным 1/e. Падрабязней гл. кнігу Eli Maor. e: The Story of a Number. pp. 8-10.
  4. Sondow, Jonathan e. Wolfram Mathworld. Wolfram Research. Праверана 10 мая 2011.
  5. Howard Whitley Eves (1969). An Introduction to the History of Mathematics. Holt, Rinehart & Winston. ISBN 0-03-029558-0. 
  6. 6,0 6,1 The number e. MacTutor History of Mathematics.
  7. Remmert, Reinhold (1991). Theory of Complex Functions. Springer-Verlag. p. 136. ISBN 0-387-97195-5. 
  8. Euler, Meditatio in experimenta explosione tormentorum nuper instituta.
  9. Grinstead, C.M. and Snell, J.L.Introduction to probability theory (published online under the GFDL), p. 85.
  10. Knuth (1997) The Art of Computer Programming Volume I, Addison-Wesley, p. 183 ISBN 0-201-03801-3.
  11. Kline, M. (1998) Calculus: An intuitive and physical approach, section 12.3 "The Derived Functions of Logarithmic Functions.", pp. 337 ff, Courier Dover Publications, 1998, ISBN 0-486-40453-6
  12. Kline, M. (1998) Calculus: An intuitive and physical approach.
  13. Sandifer, Ed How Euler Did It: Who proved e is Irrational?. MAA Online (Feb. 2006). Праверана 18 чэрвеня 2010.
  14. Hofstadter, D. R., "Fluid Concepts and Creative Analogies: Computer Models of the Fundamental Mechanisms of Thought" Basic Books (1995) ISBN 0-7139-9155-0
  15. Russell, K. G. (1991) Estimating the Value of e by Simulation The American Statistician, Vol. 45, No. 1. (Feb., 1991), pp. 66–68.
  16. Dinov, ID (2007) Estimating e using SOCR simulation, SOCR Hands-on Activities (retrieved December 26, 2007).
  17. Sebah, P. and Gourdon, X.; The constant e and its computation
  18. Gourdon, X.; Reported large computations with PiFast
  19. Introductio in analysin infinitorum p. 90
  20. Daniel Shanks and John W Wrench (1962). "Calculation of Pi to 100,000 Decimals". Mathematics of Computation 16 (77): 76–99 (78). http://www.ams.org/journals/mcom/1962-16-077/S0025-5718-1962-0136051-9/S0025-5718-1962-0136051-9.pdf. "We have computed e on a 7090 to 100,265D by the obvious program". 
  21. Byte Magazine Vol 6, Issue 6 (June 1981) p.392) "The Impossible Dream: Computing e to 116,000 places with a Personal Computer"
  22. Email from Robert Nemiroff and Jerry Bonnell – The Number e to 1 Million Digits. None. Retrieved on 2012-02-24.
  23. Email from Xavier Gourdon to Simon Plouffe – I have made a new e computation (with verification): 1,250,000,000 digits. None. Retrieved on 2012-02-24.
  24. PiHacks message 177 – E to 3,221,225,472 D. Groups.yahoo.com. Retrieved on 2012-02-24.
  25. PiHacks message 1071 – Two new records: 50 billions for E and 25 billions for pi. Groups.yahoo.com. Retrieved on 2012-02-24.
  26. 26,0 26,1 English Version of PI WORLD. Ja0hxv.calico.jp. Retrieved on 2012-02-24.
  27. A list of notable large computations of e. Numberworld.org. Last updated: March 7, 2011. Retrieved on 2012-02-24.
  28. First 10-digit prime found in consecutive digits of e}. Brain Tags. Retrieved on 2012-02-24.
  29. Shea, Andrea. Google Entices Job-Searchers with Math Puzzle , NPR . Праверана 9 чэрвеня 2007.
  30. Kazmierczak, Marcus Google Billboard. mkaz.com (2004-07-29). Праверана 9 чэрвеня 2007.
  31. Knuth, Donald. "The Future of TeX and Metafont". TeX Mag 5 (1). http://www.tex.ac.uk/tex-archive/digests/tex-mag/v5.n1. 

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Eli Maor. e: The Story of a Number. — Princeton: Princeton University Press, 1994. — ISBN 0-691-05854-7.
  • Brian J. McCartin. e: The Master of All (англ.)  // The Mathematical Intelligencer. — 2006. — Т. 28. — № 2. — С. 10-21.

Вонкавыя спасылкі[правіць | правіць зыходнік]

Commons