Размеркаванне Фішэра — Снедэкора

Размеркаванне Фішэра — Снедэкора

Шчыльнасць імавернасці
Функцыя размеркавання
Параметры	d1, d2 > 0 ступені свабоды
Носьбіт функцыі	$x\in (0,+\infty )\;$ калі $d_{1}=1$, інакш $x\in [0,+\infty )\;$
Шчыльнасць імавернасці	${\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\!$
Функцыя размеркавання	$I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)$
Матэматычнае спадзяванне	${\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\!$ для d2 > 2
Мода	${\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}$ для d1 > 2
Дысперсія	${\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\!$ для d2 > 4
Каэфіцыент асіметрыі	${\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}}\!$ для d2 > 6
Энтрапія	$\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)+\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)-\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)+\!$ $\left(1-{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)-\left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\!$ $+\left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)\psi \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)+\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}\!$

Размеркаванне Фішэра — Снедэкора або F-размеркаванне — абсалютна непарыўнае размеркаванне імавернасцей, якое часта паўстае ў якасці нулявога размеркавання статыстычнага крытэрыю, асабліва ў дысперсійным аналізе (ANOVA) і іншых F-крытэрыях. Названае ў гонар Рональда Фішэра і Джорджа Снедэкора.

Азначэнне

Размеркаванне Фішэра — Снедэкора з d₁ і d₂ ступенямі свабоды мае выпадковая велічыня

$X={\frac {S_{1}/d_{1}}{S_{2}/d_{2}}}$

дзе ${\textstyle S_{1}}$ і ${\textstyle S_{2}}$ — незалежныя хі-квадрат размеркаваныя выпадковыя велічыні з ступенямі свабоды, адпаведна, ${\textstyle d_{1}}$ і ${\textstyle d_{2}}$.

Можна паказаць, што шчыльнасць імавернасці X мае выгляд

${\begin{aligned}f(x;d_{1},d_{2})&={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\[5pt]&={\frac {1}{\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\right)^{d_{1}/2}x^{d_{1}/2-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\right)^{-(d_{1}+d_{2})/2}\end{aligned}}$

для рэчаісных x > 0, дзе $\mathrm {B}$ — бэта-функцыя. У многіх прымяненнях параметры d₁ і d₂ цэлыя, але размеркаванне існуе і з рэчаіснымі дадатнымі значэннямі параметраў.

Функцыя імавернасці мае выгляд

$F(x;d_{1},d_{2})=I_{d_{1}x/(d_{1}x+d_{2})}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right),$

дзе I — рэгулярызаваная няпоўная бэта-функцыя.