Выпадковая велічыня

З пляцоўкі Вікіпедыя.
Перайсці да: рух, знайсці

Выпадковая велічыня — гэта велічыня, якая прымае ў выніку эксперымента адно з мноства значэнняў, прычым з'яўленне таго ці іншага значэння гэтай велічыні да яе вымярэння нельга дакладна прадказаць.

Фармальнае матэматычнае азначэнне наступнае: няхай (\Omega,\mathcal{F}, \mathbb{P})імавернасная прастора, тады выпадковай велічынёю называецца функцыя X : \Omega \to \mathbb{R}, вымерная адносна \mathcal{F} і барэлеўскай σ-алгебры на \mathbb{R}. Імавернасныя паводзіны асобнай (незалежна ад іншых) выпадковай велічыні поўнасцю апісваецца яе размеркаваннем.

Азначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Прастора элементарных падзей[правіць | правіць зыходнік]

Vista-xmag.png Асноўны артыкул: Прастора элементарных падзей

Прастора элементарных падзей — гэта мноства \Omega ўсіх магчымых зыходаў выпадковага эксперымента. Неабходна падкрэсліць, што зыходы несумяшчальныя, г.зн. у выніку эксперымента адбудзецца адна і толькі адна элементарная падзея.

Прастора элементарных падзей \Omega у выпадку кідання ігральнай косці

Напрыклад, калі кідаецца ігральная косць, то ў выніку верхняй гранню можа аказацца адна з шасці граней з колькасцю кропак ад аднае да шасці. Выпадзенне якой-небудзь грані ў дадзеным выпадку ў тэорыі імавернасцей называецца элементарнаю падзеяй ~\omega_k[1], гэта значыць

  • ~\omega_1 — грань з адною кропкаю;
  • ~\omega_2 — грань з дзвюма кропкамі;
  • ...
  • ~\omega_6 — грань з шасцю кропкамі.

Мноства ўсіх граней ~\{\omega_1, \ldots, \omega_6\} утварае прастору элементарных падзей ~\Omega, падмноствы якога называюцца выпадковымі падзеямі ~A_n[1]. У выпадку аднаразовага падкідвання ігральнае косці прыкладамі падзей з'яўляюцца:

  • няхай падзея A — гэта выпадзенне грані з няцотнай колькасцю кропак (г. зн. падзея A заключаецца ў выпадзенні грані ці з адною, ці з трыма, ці з пяццю кропкамі). Матэматычна падзея A запісваецца як:
    A = \{\omega_1, \omega_3, \omega_5 \};
  • няхай падзея B — гэта выпадзенне грані з цотным лікам кропак, г.зн. падзея B — гэта выпадзенне грані з двума ці з чатырма, ці з шасцю кропкамі. Матэматычна падзея B запісваецца як:
    B = \{\omega_2, \omega_4, \omega_6 \}.

Алгебра падзей[правіць | правіць зыходнік]

Vista-xmag.png Асноўны артыкул: Алгебра мностваў

Мноства выпадковых падзей утварае алгебру падзей \mathfrak{A}[2], калі выконваюцца наступныя ўмовы:

  1. \mathfrak{A} утрымлівае пустое мноства ~\varnothing.
  2. Калі падзея A належыць \mathfrak{A}, то і яго дапаўненне належыць \mathfrak{A}:
    \forall A \in \mathfrak{A} \, : \, \Omega \setminus A \in \mathfrak{A}.
  3. Калі A_1 і A_2 належаць \mathfrak{A}, то іх аб'яднанне таксама належыць ~\mathfrak{A}:
    \forall A_1, A_2 \in \mathfrak{A} \, : \, (A_1 \cup A_2) \in \mathfrak{A}.

Калі трэцяя ўмова для \mathfrak{A} выконваецца ў мацнейшай форме: аб'яднанне злічальнага падсямейства з \mathfrak{A} таксама належыць ~\mathfrak{A}:

\forall A_1, A_2, \ldots, A_k, \ldots \in \mathfrak{A} \, : \, \bigcup_{k=1}^\infty A_k \in \mathfrak{A},

то мноства выпадковых падзей \mathfrak{A} утварае σ-алгебру падзей.

σ-алгебра падзей з'яўляецца асобным выпадкам σ-алгебры мностваў.

Самая маленькая сярод усіх магчымых σ-алгебр, элементамі якой з'яўляюцца ўсе прамежкі на рэчаіснай восі, называецца барэлеўскаю σ-алгебрай ~\mathcal{B} на мностве рэчаісных лікаў ~\mathbb{R}.

Імавернасць[правіць | правіць зыходнік]

Vista-xmag.png Асноўны артыкул: Імавернасць

Для кожнай падзеі A вызначым лік P(A)\in[0,1], які будзем называць імавернасцю падзеі A, так, што:

  1. Імавернасць верагоднай падзеі \Omega раўняецца адзінцы:
    P(\Omega) = 1.
  2. Імавернасць аб'яднання несумяшчальных падзей раўняецца суме імавернасцей гэтых падзей:
    A_1 \cap A_2 = \varnothing \, \Rightarrow \, P(A_1 \cup A_2) = P(A_1) + P(A_2).

З гэтых умоў вынікае, што імавернасць немагчымай падзеі (г.зн. пустога мноства) роўная нулю[3]:

P(\varnothing)=0.

А імавернасць адвольнай падзеі (г.зн. некаторага падмноства прасторы элементарных падзей) роўная суме імавернасцей тых элементарных падзей, аб'яднаннем якіх яна з'яўляецца.

Азначэнне выпадковай велічыні[правіць | правіць зыходнік]

Выпадковай велічынёй называецца функцыя ~\xi\colon\Omega \to \mathbb{R}, вымерная адносна \mathcal{F} і барэлеўскай σ-алгебры на \mathbb{R}[4].

Выпадковую велічыню можна вызначыць і іншым раўназначным спосабам[4]. Функцыя \xi : \Omega \to \mathbb{R} называецца выпадковай велічынёй, калі для любых рэчаісных лікаў a і b мноства падзей \omega, такіх што \xi(\omega)\in(a,b), належыць \mathcal{F}.

Прыклады[правіць | правіць зыходнік]

Тады яе матэматычнае спадзяванне
M[X] = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n x_i
раўняецца сярэдняму арыфметычнаму ўсіх прымаемых значэнняў.
а матэматычнае спадзяванне роўнае
M[X] = \int\limits_{a}^b \! \frac{x}{b-a} \, dx = \frac{a+b}{2}.

Заўвага: матэматычнае спадзяванне вызначана не для ўсякай выпадковай велічыні.

Класіфікацыя[правіць | правіць зыходнік]

Выпадковыя велічыні могуць прымаць дыскрэтныя, непарыўныя і дыскрэтна-непарыўныя значэнні. Адпаведна выпадковыя велічыні бываюць:

  • дыскрэтныя,
  • непарыўныя,
  • дыскрэтна-непарыўныя (змешаныя).

На схеме выпрабаванняў можа быць вызначана як асобная выпадковая велічыня (аднамерная/скалярная), так і цэлая сістэма аднамерных узаемазвязаных велічынь (мнагамерная/вектарная).

  • Прыклад змешанай выпадковай велічыні — час чакання пры пераходе цераз аўтамабільную дарогу ў горадзе на нерэгулюемым скрыжаванні.
  • У бесканечных схемах (дыскрэтных ці непарыўных) ужо з самага пачатку элементарныя зыходы зручна апісваць колькасна. Напрыклад, нумары градацый тыпаў няшчасных выпадкаў пры аналізе ДТЗ; час спраўнай работы прыбора пры кантролі якасці і г.д.
  • Лікавыя значэнні, якія апісваюць вынікі эксперыментаў, могуць характарызаваць не абавязкова асобныя элементарныя зыходы ў схеме выпрабаванняў, але і адпавядаць нейкім больш складаным падзеям.

З адною схемай выпрабаванняў і з асобнымі падзеямі ў ёй адначасова можа быць звязана адразу некалькі лікавых велічынь, якія аналізуюцца сумесна.

  • Напрыклад, каардынаты (абсцыса, ардыната) разрыву снарада пры стральбе па наземнай цэлі; метрычныя памеры (даўжыня, шырыня і г. д.) дэталі пры кантролі якасці; вынікі медабследавання (тэмпература, ціск, пульс і інш.) пры дыягностыцы хворага; дадзеныя перапісу насельніцтва (па ўзросту, полу, дастатку і інш.).

Метады апісання[правіць | правіць зыходнік]

Часткова задаць выпадковую велічыню, апісаўшы пры гэтым яе імавернасныя ўласцівасці як асобнай выпадковай велічыні, можна з дапамогай функцыі размеркавання, шчыльнасці імавернасці і характарыстычнай функцыі, а таксама вызначаючы імавернасці яе магчымых значэнняў.

  • Функцыя размеркавання F(x) ёсць імавернасць таго, што значэнне выпадковай велічыні меншае за рэчаісны лік x. З гэтага азначэння вынікае, што імавернасць пападання значэння выпадковай велічыні ў прамежак [a, b) роўная F(b) - F(a). Перавагі выкарыстання функцыі размеркавання заключаюцца ў том, што з яе дапамогаю ўдаецца дасягнуць агульнага матэматычнага апісання дыскрэтных, непарыўных і дыскрэтна-непарыўных выпадковых велічынь.

Калі выпадковая велічыня дыскрэтная, то поўнае і адназначнае матэматычнае апісанне яе размеркавання задаецца імавернасцямі p_k = P( \xi = x_k ) усіх магчымых значэнняў гэтай выпадковай велічыні. У якасці прыкладу разгледзім біномны і пуасонаўскі законы размеркавання.

Біномны закон размеркавання апісвае выпадковыя велічыні, значэнні якіх вызначаюць колькасць «поспехаў» і «няўдач» пры паўтарэнні выпрабавання N разоў. У кожным выпрабаванні «поспех» можа наступіць з імавернасцю p, «няўдача» — з імавернасцю q = 1 - p. Закон размеркавання ў гэтым выпадку задаецца формулай Бернулі:

P_{k,n} = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}.

Калі пры імкненні n к бесканечнасці здабытак np застаецца роўным пастаяннай  \lambda >0, то біномны закон размеркавання збягаецца к закону Пуасона, які апісваецца наступнаю формулай:

p(k) := \mathbb{P}(Y = k) = \frac{\lambda^k}{k!} \, e^{-\lambda},

дзе

Найпрасцейшыя абагульненні[правіць | правіць зыходнік]

Выпадковая велічыня, увогуле кажучы, можа прымаць значэнні ў любой вымернай прасторы. Тады яе часцей называюць выпадковым вектарам ці выпадковым элементам. Напрыклад,

  • Вымерная функцыя X : \Omega \to \mathbb{R}^n называецца n-мерным выпадковым вектарам (адносна барэлеўскай \sigma-алгебры на \mathbb{R}^n).
  • Вымерная функцыя X : \Omega \to \mathbb{C}^n называецца n-мерным камплексным выпадковым вектарам (таксама адносна адпаведнай барэлеўскай \sigma-алгебры).
  • Вымерная функцыя, якая адлюстроўвае імавернасную прастору ў прастору падмностваў некаторага (канечнага) мноства, называецца (канечным) выпадковым мноствам.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Зноскі

  1. 1,0 1,1 Чернова Н. И. Глава 1. § 2. Элементарная теория вероятностей // Теория вероятностей — Учебное пособие. — Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2007. — 160 с.
  2. Чернова Н. И. Глава 3. § 1. Алгебра и сигма-алгебра событий // Теория вероятностей — Учебное пособие. — Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2007. — 160 с.
  3. Чернова Н. И. ГЛАВА 1 § 2. Элементарная теория вероятностей // Теория вероятностей — Учебное пособие. — Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2007. — 160 с.
  4. 4,0 4,1 Чернова Н. И. Глава 6. Случайные величины и их распределения § 1. Случайные величины // Теория вероятностей — Учебное пособие. — Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2007. — 160 с.

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Гнеденко Б. В. Курс теории вероятности — 8-е изд. доп. и испр. — М.: Едиториал УРСС, 2005. — 448 с.
  • Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Прохоров Ю. В. — 2-е изд. — М.: «Советская энциклопедия», 1998. — 847 с.
  • Чернова Н. И. Теория вероятностей — Учебное пособие. — Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2007. — 160 с.

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]