Сіметрычная матрыца

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Сіметрычнай лічыцца квадратная матрыца, элементы якой сіметрычныя адносна галоўнай дыяганалі. Больш фармальна, сіметрычнай называюць такую матрыцу A, што  \forall i,j: a_{ij}=a_{ji}.

Гэта азначае, што яна роўная яе транспанаванай матрыцы:

A = A^T

Прыклады[правіць | правіць зыходнік]


\begin{pmatrix} 
a & b & c \\
b & d & e \\
c & e & f 
\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix} 
1 & 3 & 0 \\
3 & 2 & 6 \\
0 & 6 & 5 
\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix} 
1 & 5 \\
5 & 7
\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix} 
2
\end{pmatrix}

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

Сіметрычная матрыца заўсёды квадратная .

Для любой сіметрычнай матрыцы A з рэчаіснымі элементамі справядліва наступнае:

  • яна мае рэчаісныя ўласныя значэнні.
  • яе ўласныя вектары, адпаведныя розным уласным значэнням, артаганальныя адзін аднаму:
Av = \lambda_1 v,\ Aw = \lambda_2 w,\ \lambda_1 \ne \lambda_2 \implies v^T w = 0
  • з яе ўласных вектараў заўсёды можна скласці ортанармальны базіс.
  • матрыцу A можна прывесці да дыяганальнага выгляду: A = QDQ^{T}, дзе Qартаганальная матрыца, слупкі якой ўтрымліваюць базіс з уласных вектараў, а D — дыяганальная матрыца з уласнымі значэннямі матрыцы A на дыяганалі.
  • Калі ў сіметрычнай матрыцы A адзінае ўласнае значэнне \lambda, то яна мае дыяганальны выгляд: A = \lambda E, дзе Eадзінкавая матрыца, у любым базісе .

Станоўча (адмоўна) вызначаныя матрыцы[правіць | правіць зыходнік]

Сіметрычная матрыца A памерам k \times k з'яўляецца станоўча вызначанай, калі \forall z \in R^{k}: z^{T}Az>0.
Умова адмоўна, нестаноўча і неадмоўна вызначанай матрыцы фармулюецца аналагічна з змяненнем аператара параўнання ў апошняй няроўнасці.
Для высвятлення характару пэўнасці матрыцы можа выкарыстоўвацца крытэрый Сільвестра.