Сіметрычная матрыца
Сіметрычнай лічыцца квадратная матрыца, элементы якой сіметрычныя адносна галоўнай дыяганалі. Больш фармальна, сіметрычнай называюць такую матрыцу , што .
Гэта азначае, што яна роўная яе транспанаванай матрыцы:
Прыклады[правіць | правіць зыходнік]
Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]
Сіметрычная матрыца заўсёды квадратная .
Для любой сіметрычнай матрыцы A з рэчаіснымі элементамі справядліва наступнае:
- яна мае рэчаісныя ўласныя значэнні.
- яе ўласныя вектары, адпаведныя розным уласным значэнням, артаганальныя адзін аднаму:
- з яе ўласных вектараў заўсёды можна скласці ортанармальны базіс.
- матрыцу A можна прывесці да дыяганальнага выгляду: , дзе — артаганальная матрыца, слупкі якой ўтрымліваюць базіс з уласных вектараў, а D — дыяганальная матрыца з уласнымі значэннямі матрыцы A на дыяганалі.
- Калі ў сіметрычнай матрыцы A адзінае ўласнае значэнне , то яна мае дыяганальны выгляд: , дзе — адзінкавая матрыца, у любым базісе .
Станоўча (адмоўна) вызначаныя матрыцы[правіць | правіць зыходнік]
Сіметрычная матрыца памерам з’яўляецца станоўча вызначанай, калі .
Умова адмоўна, нестаноўча і неадмоўна вызначанай матрыцы фармулюецца аналагічна з змяненнем аператара параўнання ў апошняй няроўнасці.
Для высвятлення характару пэўнасці матрыцы можа выкарыстоўвацца крытэрый Сільвестра.