Сігма-алгебра

σ-алгебра — алгебра мностваў, замкнутая адносна аперацыі злічальнага аб’яднання. Паняцце σ-алгебры мае важнае значэнне для тэорыі імавернасцей, дзе выступае адным з элементаў імавернаснай прасторы.

Азначэнне

Алгебра ${\mathcal {A}}$ падмностваў мноства $\Omega$ называецца σ-алгебрай, калі для кожнай злічонай сям’і $\{A_{n}|n\in \mathbb {N} \},A_{n}\in {\mathcal {A}}$ справядлівае адно з судачыненняў^:11:

$\bigcup \limits _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in {\mathcal {A}}$ або $\bigcap \limits _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in {\mathcal {A}}$.

Карыстаючыся законамі дэ Моргана, можна паказаць, што са злічонага аб’яднання вынікае перасячэнне, і наадварот, з перасячэння вынікае аб’яднанне. Таму толькі аднаго з гэтых судачыненняў дастаткова патрабаваць для задання σ-алгебры.

Самая маленькая сярод усіх магчымых σ-алгебраў, што змяшчаюць усе адкрытыя мноствы тапалагічнай прасторы, называецца сігма-алгебрай барэлеўскіх мностваў ${\mathcal {B}}$^:69.

Неэквівалентнасць азначэнню алгебры мностваў

Не ўсе алгебры мностваў адпавядаюць азначэнню σ-алгебры^:11-12. Для доказу дастаткова прывесці прыклад такой алгебры.

Няхай $\Omega =\mathbb {R}$ мноства рэчаісных лікаў. Праз ${\mathcal {A}}$ пазначым мноства ўсіх тых падмностваў $\mathbb {R}$, якія з’яўляюцца канечнымі аб’яднаннямі звязных падмностваў $\mathbb {R}$ (у тым ліку аднапунктавых і $\varnothing$). Можна паказаць, што калі $A\in {\mathcal {A}}$, то і яго дадатак ${\overline {A}}\in {\mathcal {A}}$ (дадатак канечнага аб’яднання звязных мностваў з’яўляецца канечным аб’яданнем звязных мностваў). Відавочна, што калі $A\in {\mathcal {A}}$ і $B\in {\mathcal {A}}$, то $A\cup B\in {\mathcal {A}}$. Такім чынам, ${\mathcal {A}}$ — алгебра мностваў.

Цяпер пакажам, што ${\mathcal {A}}$ — не σ-алгебра. Мноства рацыянальных лікаў $\mathbb {Q}$ не належыць ${\mathcal {A}}$, бо яго немагчыма запісаць у выглядзе канечнага аб’яднання звязаных мностваў. Пры гэтым кожнаму рацыянальнаму ліку $q$ адпавядае аднаэлементнае звязнае мноства $\{q\}\in {\mathcal {A}}$. Вядома, што $\mathbb {Q}$ — злічальнае мноства, то бок яго можна прадставіць як $\bigcup \limits _{i\in \mathbb {N} }\{q_{i}\}$, дзе кожнае $\{q_{i}\}\in {\mathcal {A}}$, але само аб’яднанне не належыць ${\mathcal {A}}$. Такім чынам, парушаецца ўласцівасць σ-алгебры быць замкнутай адносна злічальнага аб’яднання, а значыць ${\mathcal {A}}$ — не σ-алгебра.