Трыганаметрыя

Трыганаметрыя (грэч. "трыганон" трохвугольнік + "мятрэзіс" вымярэнне), раздзел матэматыкі пра суадносіны бакоў і вуглоў у трохвугольніку. Асноўная задача трыганаметрыі - "рашэнне трохвугольніка", г.зн., вылічэнне невядомых велічынь паводле вядомых.

Гісторыя

Вытокі трыганаметрыі бяруць пачатак у старажытным Егіпце, Вавілоне і даліне Інда больш 3000 гадоў назад. Індыйскія матэматыкі былі першапраходцамі ва ўжыванні алгебры і трыганаметрыі да астранамічных вылічэнняў. Лагадха — адзіны з самых старажытных вядомых сёння матэматык, які карыстаўся геаметрыяй і трыганаметрыяй у сваёй кнізе «Дж'етыша-веданга» («Jyotisa Vedanga»), бо́льшая частка прац якога была знішчаная замежнымі захопнікамі.

Грэчаскі матэматык Клаўдзій Пталамей таксама ўнёс вялікі ўклад у развіццё трыганаметрыі.

Трыганаметрычныя функцыі

Асноўны артыкул: Уласцівасці трыганаметрычных функцый

Адзінкавая акружнасць

Возьмем адзінкавую акружнасць на плоскасці (цэнтр у пачатку адліку, радыус 1). Правядзем прамень $l$ з пачатка адліку і будзем адлічваць велічыню вугла $\alpha$ ад дадатнага праменя восі $Ox$ супраць гадзіннікавай стрэлкі. Велічыню можна лічыць у градусах, радыянах ці градах. Мы будзем разглядваць у градусах. Няхай пунктам скрыжавання $l$ з адзінкавай акружнасцю будзе $M$. Тады па азначэнні:

Лікавыя значэнні трыганаметрычных функцый вугла $\alpha$ у трыганаметрычнай акружнасці з радыусам, раўным адзінке

• функцыя косінус $cos(\alpha )$ будзе абсцысай $M$,
• функцыя сінус $sin(\alpha )$ будзе ардынатай $M$
• функцыя тангенс $tg(\alpha )$ будзе дзеллю ардынаты $M$ і яе абсцысы: $tg(\alpha )={\frac {sin(\alpha )}{cos(\alpha )}}$
• функцыя катангенс $ctg(\alpha )$ будзе дзеллю абсцысы $M$ і яе ардынаты: $ctg(\alpha )={\frac {cos(\alpha )}{sin(\alpha )}}$
• функцыя секанс $sec(\alpha )$ будзе дзеллю ${\frac {1}{sin(\alpha )}}$
• функцыя касеканс $cosec(\alpha )$ будзе дзеллю ${\frac {1}{cos(\alpha )}}$

Графік функцыі y = sin(x)

Графік функцыі y = cos(x)

Функцыі $sin(\alpha )$ і $cos(\alpha )$ вызначаныя на ўсём $\mathbb {R}$, вобласць значэнняў [-1,1] і перыяд $2\pi$. Функцыя $tg(\alpha )$ не вызначана на ${\pi *n}$, $n\in \mathbb {Z}$, а функцыя $ctg(\alpha )$ не вызначана на ${\pi *n+\pi /2}$, $n\in \mathbb {Z}$, і абедзве маюць вобласць значэнняў $\mathbb {R}$ і перыяд $\pi$.

Зваротныя трыганаметрычныя функцыі

Функцыя, зваротная да

• $sin(\alpha )$ завецца арксінус $arcsin(\alpha )$
• $cos(\alpha )$ завецца арккосінус $arccos(\alpha )$
• $tg(\alpha )$ завецца арктангенс $arctg(\alpha )$
• $ctg(\alpha )$ завецца арккатангенс $arcctg(\alpha )$

Асноўныя трыганаметрычныя тоеснасці

Асноўны артыкул: Трыганаметрычныя формулы

Асноўная трыганаметрычная тоеснасць $sin^{2}(\alpha )+cos^{2}(\alpha )=1$.

Формула косінуса сумы: $cos(\alpha +\beta )=cos(\alpha )cos(beta)-sin(\alpha )sin(\beta )$

Формула косінуса рознасці: $cos(\alpha -\beta )=cos(\alpha )cos(beta)+sin(\alpha )sin(\beta )$

Формула сінуса сумы: $sin(\alpha +\beta )=sin(\alpha )cos(beta)+sin(\beta )cos(\alpha )$

Формула сінуса рознасці: $sin(\alpha -\beta )=sin(\alpha )cos(beta)-sin(\beta )cos(\alpha )$

Трыганаметрычныя функцыі комплекснай зменнай

y = sin(x) на комплекснай плоскасці

Раскладзем функцыі $sin(x)$ і $cos(x)$ ў рад Тэйлара:

$sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-...+(-1)^{k}{\frac {x^{2k-1}}{(2k-1)!}}$

$cos(x)=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-...+(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}$

- і вызначым трыганаметрычныя функцыі комплекснай зменнай $z$:

$sin(z)=z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-...+(-1)^{k}{\frac {z^{2k-1}}{(2k-1)!}}$

$cos(z)=1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-...+(-1)^{k}{\frac {z^{2k}}{(2k)!}}$

Большасць уласцівасцей гэтых функцыяў для сапраўднай зменнай распаўсюджваецца і на комплексную зменную. Але на комплекснай плоскасці іх вобласць значэнняў - усё $\mathbb {C}$.

Ужыванне

Трыганаметрычныя вылічэнні ўжываюцца практычна ва ўсіх абласцях геаметрыі, фізікі і інжынерыі.

Глядзі таксама

Сферычная трыганаметрыя

Эліптычная трыганаметрыя

Гіпербалічная трыганаметрыя

Літаратура

Я.Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике»

Ю.Ю. Громов, Н.А. Земской, О.Г. Иванова и др. «Тригонометрия»

И.И. Привалов «Введение в теорию функций комплексного переменного»