Трыганаметрыя

Трыганаметрыя (ад грэч. τρίγωνον «трохвугольнік» і грэч. μετρειν «вымяраць», г. зн. «вымярэнне трохвугольнікаў») — раздзел матэматыкі пра суадносіны старон і вуглоў у трохвугольніку. Асноўная задача трыганаметрыі — «рашэнне трохвугольніка», г.зн. вылічэнне невядомых велічынь па вядомых.

Гісторыя

Вытокі трыганаметрыі бяруць пачатак у старажытным Егіпце, Вавілоне і даліне Інда больш за 3000 гадоў назад. Індыйскія матэматыкі былі першапраходцамі ва ўжыванні алгебры і трыганаметрыі ў астранамічных разліках. Лагадха — адзіны з самых старажытных вядомых сёння матэматыкаў, які карыстаўся геаметрыяй і трыганаметрыяй у сваёй кнізе «Дж'етыша-веданга» («Jyotisa Vedanga»). Большая частка яго прац якога была знішчана замежнымі захопнікамі.

Грэчаскі матэматык Клаўдзій Пталамей таксама ўнёс вялікі ўклад у развіццё трыганаметрыі.

Трыганаметрычныя функцыі

Возьмем адзінкавую акружнасць на плоскасці (цэнтр у пачатку адліку, радыус 1). Правядзём прамень $l$ з пачатку адліку і будзем адлічваць велічыню вугла $\alpha$ ад дадатнага праменя восі $Ox$ супраць гадзіннікавай стрэлкі. Велічыню вугла можна выражаць у градусах, радыянах ці градах. Мы будзем разглядаць у градусах. Няхай пунктам перасячэння $l$ з адзінкавай акружнасцю будзе $M$ . Тады па азначэнню:

функцыя косінус $\cos(\alpha )$ будзе абсцысай $M$ ,
функцыя сінус $\sin(\alpha )$ будзе ардынатай $M$
функцыя тангенс $\operatorname {tg} (\alpha )$ будзе дзеллю ардынаты $M$ і яе абсцысы: $\operatorname {tg} (\alpha )={\frac {\sin(\alpha )}{\cos(\alpha )}}$
функцыя катангенс $\operatorname {ctg} (\alpha )$ будзе дзеллю абсцысы $M$ і яе ардынаты: $\operatorname {ctg} (\alpha )={\frac {\cos(\alpha )}{\sin(\alpha )}}$
функцыя секанс $\sec(\alpha )$ будзе дзеллю ${\frac {1}{\sin(\alpha )}}$
функцыя касеканс $\operatorname {cosec} (\alpha )$ будзе дзеллю ${\frac {1}{\cos(\alpha )}}$

Функцыі $\sin(\alpha )$ і $\cos(\alpha )$ вызначаныя на ўсём $\mathbb {R}$ , вобласць значэнняў [-1,1] і перыяд $2\pi$ . Функцыя $\operatorname {tg} (\alpha )$ не вызначана ў пунктах $\pi n$ , $n\in \mathbb {Z}$ , а функцыя $\operatorname {ctg} (\alpha )$ не вызначана ў пунктах $\pi n+\pi /2$ , $n\in \mathbb {Z}$ , і абедзве маюць вобласць значэнняў $\mathbb {R}$ і перыяд $\pi$ .

Адваротныя трыганаметрычныя функцыі

Функцыя, адваротная да

$\sin(\alpha )$ называецца арксінус $\arcsin(\alpha )$
$\cos(\alpha )$ называецца арккосінус $\arccos(\alpha )$
$\operatorname {tg} (\alpha )$ называецца арктангенс $\operatorname {arctg} (\alpha )$
$\operatorname {ctg} (\alpha )$ называецца арккатангенс $\operatorname {arcctg} (\alpha )$

Асноўныя трыганаметрычныя тоеснасці

Асноўная трыганаметрычная тоеснасць $\sin ^{2}(\alpha )+\cos ^{2}(\alpha )=1$ .

Формула косінуса сумы: $\cos(\alpha +\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\alpha )\sin(\beta )$

Формула косінуса рознасці: $\cos(\alpha -\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\alpha )\sin(\beta )$

Формула сінуса сумы: $\sin(\alpha +\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\beta )\cos(\alpha )$

Формула сінуса рознасці: $\sin(\alpha -\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\beta )\cos(\alpha )$

Трыганаметрычныя функцыі комплекснай зменнай

Раскладзём функцыі $\sin(x)$ і $\cos(x)$ ў рад Тэйлара:

$\sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\dots +(-1)^{k}{\frac {x^{2k-1}}{(2k-1)!}}+\dots ,$

$\cos(x)=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\dots +(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}+\dots$

і вызначым трыганаметрычныя функцыі камплекснай зменнай $z$ :

$\sin(z)=z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-\dots +(-1)^{k}{\frac {z^{2k-1}}{(2k-1)!}}+\dots ,$

$\cos(z)=1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-\dots +(-1)^{k}{\frac {z^{2k}}{(2k)!}}+\dots .$

Большасць уласцівасцей гэтых функцый для рэчаіснай зменнай распаўсюджваецца і на камплексную зменную. Але на камплекснай плоскасці іх вобласць значэнняў — усё $\mathbb {C}$ .

Значэнні трыганаметрычных функцый для некаторых вуглоў

Значэнні сінуса, косінуса, тангенса, котангенса, секанса і косеканса для некаторых вуглоў прыведзены ў табліцы. («∞» азначае, што функцыя ў таком пункце не вызначана і ў яго наваколлі імкнецца да бесканечнасці).

$\alpha \,\!$	0°(0 рад)	30° (π/6)	45° (π/4)	60° (π/3)	90° (π/2)	180° (π)	270° (3π/2)	360° (2π)
$\sin \alpha \,\!$	${0}\,\!$	${\frac {1}{2}}\,\!$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}\,\!$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\!$	${1}\,\!$	${0}\,\!$	${-1}\,\!$	${0}\,\!$
$\cos \alpha \,\!$	${1}\,\!$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\!$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}\,\!$	${\frac {1}{2}}\,\!$	${0}\,\!$	${-1}\,\!$	${0}\,\!$	${1}\,\!$
$\operatorname {tg} \alpha \,\!$	${0}\,\!$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}\,\!$	${1}\,\!$	${\sqrt {3}}\,\!$	${\infty }\,\!$	${0}\,\!$	${\infty }\,\!$	${0}\,\!$
$\operatorname {ctg} \alpha \,\!$	${\infty }\,\!$	${\sqrt {3}}\,\!$	${1}\,\!$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}\,\!$	${0}\,\!$	${\infty }\,\!$	${0}\,\!$	${\infty }\,\!$
$\sec \alpha \,\!$	${1}\,\!$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}\,\!$	${\sqrt {2}}\,\!$	${2}\,\!$	${\infty }\,\!$	${-1}\,\!$	${\infty }\,\!$	${1}\,\!$
$\operatorname {cosec} \alpha \,\!$	${\infty }\,\!$	${2}\,\!$	${\sqrt {2}}\,\!$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}\,\!$	${1}\,\!$	${\infty }\,\!$	${-1}\,\!$	${\infty }\,\!$