Трыганаметрыя

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Трыганаметрыя (ад грэч.: τρίγωνον «трохвугольнік» і грэч.: μετρειν «вымяраць», г. зн. «вымярэнне трохвугольнікаў») — раздзел матэматыкі пра суадносіны старон і вуглоў у трохвугольніку. Асноўная задача трыганаметрыі — «рашэнне трохвугольніка», г.зн. вылічэнне невядомых велічынь па вядомых.

Гісторыя[правіць | правіць зыходнік]

Vista-xmag.png Асноўны артыкул: Гісторыя трыганаметрыі

Вытокі трыганаметрыі бяруць пачатак у старажытным Егіпце, Вавілоне і даліне Інда больш за 3000 гадоў назад. Індыйскія матэматыкі былі першапраходцамі ва ўжыванні алгебры і трыганаметрыі ў астранамічных разліках. Лагадха — адзіны з самых старажытных вядомых сёння матэматыкаў, які карыстаўся геаметрыяй і трыганаметрыяй у сваёй кнізе «Дж'етыша-веданга» («Jyotisa Vedanga»). Большая частка яго прац якога была знішчана замежнымі захопнікамі.

Грэчаскі матэматык Клаўдзій Пталамей таксама ўнёс вялікі ўклад у развіццё трыганаметрыі.

Трыганаметрычныя функцыі[правіць | правіць зыходнік]

Vista-xmag.png Асноўны артыкул: Трыганаметрычныя функцыі
Адзінкавая акружнасць
Лікавыя значэнні трыганаметрычных функцый вугла на трыганаметрычнай акружнасці з адзінкавым радыусам

Возьмем адзінкавую акружнасць на плоскасці (цэнтр у пачатку адліку, радыус 1). Правядзём прамень з пачатку адліку і будзем адлічваць велічыню вугла ад дадатнага праменя восі супраць гадзіннікавай стрэлкі. Велічыню вугла можна выражаць у градусах, радыянах ці градах. Мы будзем разглядаць у градусах. Няхай пунктам перасячэння з адзінкавай акружнасцю будзе . Тады па азначэнню:

  • функцыя косінус будзе абсцысай ,
  • функцыя сінус будзе ардынатай
  • функцыя тангенс будзе дзеллю ардынаты і яе абсцысы:
  • функцыя катангенс будзе дзеллю абсцысы і яе ардынаты:
  • функцыя секанс будзе дзеллю
  • функцыя касеканс будзе дзеллю

Функцыі і вызначаныя на ўсём , вобласць значэнняў [-1,1] і перыяд . Функцыя не вызначана ў пунктах , , а функцыя не вызначана ў пунктах , , і абедзве маюць вобласць значэнняў і перыяд .

Адваротныя трыганаметрычныя функцыі[правіць | правіць зыходнік]

Функцыя, адваротная да

  • называецца арксінус
  • называецца арккосінус
  • называецца арктангенс
  • называецца арккатангенс

Асноўныя трыганаметрычныя тоеснасці[правіць | правіць зыходнік]

Vista-xmag.png Асноўны артыкул: Трыганаметрычныя формулы

Асноўная трыганаметрычная тоеснасць .

Формула косінуса сумы:

Формула косінуса рознасці:

Формула сінуса сумы:

Формула сінуса рознасці:

Трыганаметрычныя функцыі комплекснай зменнай[правіць | правіць зыходнік]

y = sin(x) на комплекснай плоскасці

Раскладзём функцыі і ў рад Тэйлара:

і вызначым трыганаметрычныя функцыі камплекснай зменнай :

Большасць уласцівасцей гэтых функцый для рэчаіснай зменнай распаўсюджваецца і на камплексную зменную. Але на камплекснай плоскасці іх вобласць значэнняў — усё .

Значэнні трыганаметрычных функцый для некаторых вуглоў[правіць | правіць зыходнік]

Vista-xmag.png Асноўны артыкул: Спіс дакладных трыганаметрычных пастаянных

Значэнні сінуса, косінуса, тангенса, котангенса, секанса і косеканса для некаторых вуглоў прыведзены ў табліцы. («∞» азначае, што функцыя ў таком пункце не вызначана і ў яго наваколлі імкнецца да бесканечнасці).

0°(0 рад) 30° (π/6) 45° (π/4) 60° (π/3) 90° (π/2) 180° (π) 270° (3π/2) 360° (2π)
Значэнні косінуса і сінуса на акружнасці.


Ужыванне[правіць | правіць зыходнік]

Трыганаметрычныя вылічэнні ўжываюцца практычна ва ўсіх абласцях геаметрыі, фізікі і інжынерыі.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Я. Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике»
  • Ю. Ю. Громов, Н. А. Земской, О. Г. Иванова и др. «Тригонометрия»
  • И. И. Привалов «Введение в теорию функций комплексного переменного»