Мера Жардана

З пляцоўкі Вікіпедыя
Jump to navigation Jump to search

Ме́ра Жарда́на (або Ме́ра Пеа́на-Жарда́на) — адзін са спосабаў фармалізацыі паняцця памеру (даўжыні, плошчы і n-мернага аб'ёму) у n-мернай еўклідавай прасторы.

Пабудова[правіць | правіць зыходнік]

Мноства вымернае па Жардану, калі ўнутраная мера Жардана раўняецца вонкавай меры Жардана.

Мера Жардана паралелепіпеда у вызначаецца як здабытак

Для абмежаванага мноства вызначаюцца:

  • вонкавая (знешняя) мера Жардана
  • унутраная мера Жардана
     калі 

дзе — паралелепіпеды апісанага вышэй выгляду.

Мноства называецца вымерным па Жардану (квадравальным пры n = 2, кубавальным пры n ≥ 3), калі У гэтым выпадку мера Жардана роўная

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

  • Мера Жардана застаецца нязменнаю адносна рухаў еўклідавай прасторы.
  • Абмежаванае мноства вымернае па Жардану тады і толькі тады, калі яго мяжа мае нулявую меру Жардана .
    • У прыватнасці, усе мноствы, чыя мяжа складаецца з канечнага ліку гладкіх крывых і пунктаў, вымерныя па Жардану. Тым не менш, існуюць мноствы, абмежаваныя простай замкнутай крывой Жардана, не вымерныя па Жардану.
  • Вонкавая мера Жардана адна і тая ж для і (замыкання мноства ) і раўняецца меры Барэля .
  • Вымерныя па Жардану мноствы ўтвараюць колца, на яком мера Жардана канечная адытыўная функцыя.

Гісторыя[правіць | правіць зыходнік]

Такое паняцце меры ўвялі Пеана (1887) і Жардан (1892). Пазней паняцце было абагульнена Лебегам на шырэйшы клас мностваў.

Прыклад мноства, невымернага па Жардану[правіць | правіць зыходнік]

Разглядзім меру Жардана вызначаную на і няхай — мноства пунктаў адзінкавага квадрата. Няхай — мноства ўсіх пунктаў мноства з рацыянальнымі каардынатамі, тады — невымернае па Жардану мноства, бо

г. зн. вонкавая і ўнутраная мера Жардана не супадаюць.

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
  • Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д. Сборник задач по математическому анализу, глава 2;
  • Peano, G. Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale. — Torino, 1887;
  • Jordan, C. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1892. — t. 8. — p. 69—99;

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]