Тэарэма Гюйгенса-Штэйнера

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
Ілюстрацыя тэарэмы для моманту плошчы.

Тэарэма Гюйгенса — Штэйнера, ці проста тэарэма Штэйнера (названа па імі швейцарскага матэматыка Якаба Штэйнера і галандскага матэматыка, фізіка і астранома Хрысціяна Гюйгенса): момант інерцыі цела адносна адвольнай восі роўны суме моманту інерцыі гэтага цела адносна паралельнай ёй восі, якая праходзіць праз цэнтр мас цела, і здабытку масы цела на квадрат адлегласці паміж восямі:

дзе

— вядомы момант інерцыі адносна восі, якая праходзіць праз цэнтр мас цела,
— шуканы момант інерцыі адносна паралельнай восі,
 — маса цела,
 — адлегласць паміж указанымі восямі.

Выснова[правіць | правіць зыходнік]

Момант інерцыі, паводле азначэння:

Радыус-вектар можна распісаць як суму двух вектараў:

,

дзе — радыус-вектар адлегласці паміж старой і новай воссю вярчэння. Тады выраз для моманту інерцыі прыме від:

Выносячы за суму , атрымаем:

Паколькі старая вось праходзіць праз цэнтр мас, то сумарны імпульс цела будзе роўны нулю:

Тады:

Адкуль і вынікае шуканая формула:

,

дзе — вядомы момант інерцыі адносна восі, якая праходзіць праз цэнтр мас цела.

Прыклад[правіць | правіць зыходнік]

Момант інерцыі стрыжня адносна восі, якая праходзіць праз яго цэнтр і перпендыкулярна стрыжню, (назавём яе воссю ) роўны

Тады паводле тэарэмы Штэйнера яго момант адносна адвольнай паралельнай восі будзе роўны

дзе  — адлегласць паміж шуканай воссю і воссю . У прыватнасці, момант інерцыі стрыжня адносна восі, якая праходзіць праз яго канец і перпендыкулярна стрыжню, можна знайсці паклаўшы ў апошняй формуле :

Пералік тэнзара інерцыі[правіць | правіць зыходнік]

Тэарэма Гюйнеса — Штэйнера дапушчае абагульненне на тэнзар моманту інерцыі, што дазваляе атрымліваць тэнзар адносна адвольнага пункта з тэнзара адносна цэнтра мас. Няхай  — зрушэнне ад цэнтра мас, тады

дзе

 — вектар зрушэння ад цэнтра мас, а  — сімвал Кронекера.

Як бачна, для дыяганальных элементаў тэнзара (пры ) формула мае від тэарэмы Гюйгенса — Штэйнера для моманту адносна новай восі.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]