Тэарэма Нётэр

Тэарэма Эмі Нётэр сцвярджае, што кожнай неперарыўнай сіметрыі фізічнай сістэмы адпавядае некаторы закон захавання.

Так, закон захавання энергіі адпавядае аднароднасці часу,

закон захавання імпульсу — аднароднасці прасторы,

закон захавання моманту імпульсу — ізатрапіі прасторы,

закон захавання электрычнага зараду — калібровачнай сіметрыі і г. д.

Тэарэма звычайна фармулюецца для сістэм, якія валодаюць функцыяналам дзеяння, і выражае сабой інварыянтнасць лагранжыяна адносна некаторай неперарыўнай групы пераўтварэнняў.

Тэарэма ўстаноўлена ў працах навукоўцаў Гётынгенскай школы Д. Гільберта, Ф. Клейна і Э. Нётэр. У найбольш распаўсюджанай фармулёўцы была даказана Эмі Нётэр ў 1918 годзе.

Фармулёўка

Класічная механіка

Кожнай аднапараметрычнай групе дыфеамарфізмаў $g^{s}(q_{i})$, якія захоўваюць функцыю Лагранжа, адпавядае першы інтэграл сістэмы, роўны

$I=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {d}{ds}}g^{s}(q_{i})\right){\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$

У тэрмінах інфінітэзімальных пераўтварэнняў, хай інфінітэзімальнае пераўтварэнне каардынат мае выгляд

$g^{s}({\vec {q}})={\vec {q}}_{0}+s{\vec {\psi }}({\vec {q}},t)$

і функцыя Лагранжа $L(q,{\dot {q}},t)$ інварыянтная адносна гэтых пераўтварэнняў, гэта значыць

${\frac {d}{ds}}L({\vec {q}}_{0}+s{\vec {\psi }}({\vec {q}},t),{\dot {{\vec {q}}_{0}}}+s{\dot {\vec {\psi }}}({\vec {q}},t),t)=0$

Тады ў сістэмы існуе першы інтэграл, роўны

$I=\left({\vec {\psi }}({\vec {q}},t);{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\vec {q}}}}}\right)=\sum _{i=1}^{n}\psi _{i}({\vec {q}},t){\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.$

Тэарэму можна абагульніць на выпадак пераўтварэнняў, якія закранаюць таксама і час, калі прадставіць яе рух як працэс, што залежыць ад некаторага параметра $\tau$, прычым у працэсе руху $t=\tau$. Тады з пераўтварэнняў

$g^{s}({\vec {q}})={\vec {q}}_{0}+s{\vec {\psi }}({\vec {q}},t)$

$g^{s}(t)=t_{0}+s\xi ({\vec {q}},t)$

вынікае першы інтэграл

$I=\xi L+\left({\vec {\psi }}-\xi {\dot {\vec {q}}};{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\vec {q}}}}}\right)$

Тэорыя поля

Тэарэма Нётэр дапускае прамое абагульненне на выпадкі сістэм з бесканечным лікам ступеней свабоды, прыкладам якіх з’яўляюцца гравітацыйнае і электрамагнітнае поле. А менавіта, няхай функцыя Лагранжа сістэмы залежыць ад $n$ патэнцыялаў, якія залежаць, у сваю чаргу, ад $k$ каардынат. Функцыянал дзеяння будзе мець выгляд

$S=\int L(A^{i},\;\partial _{\mu }A^{i},\;x^{\mu })\,d\Omega ,\quad i=1,\ldots ,\;n,\quad \mu =1,\;\ldots ,\;k,\quad d\Omega =dx^{1}\ldots dx^{k}.$

Няхай аднапараметрычная група $g^{s}$ дыфеамарфізмаў прасторы патэнцыялаў захоўвае функцыю Лагранжа, тады захоўваецца вектар

$J^{\mu }=\left({\frac {d}{ds}}g^{s}A^{i}\right){\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }A^{i})}},$

званы вектарам патоку Нётэр. Па індэксах, якія паўтараюцца, падразумяваецца падсумоўванне, $\partial _{\mu }={\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}$. Сэнс захавання вектара патоку Нётэр ў тым, што

$\ \partial _{\mu }J^{\mu }=0,$

таму паток $J$ праз любую замкнёную паверхню ў прасторы каардынат роўны 0. У прыватнасці, калі вылучыць сярод каардынат адну, званую часам, і разгледзець гіперплоскасці пастаяннага часу, то паток $J$ праз такую гіперплоскасць пастаянны ў часе, пры ўмове досыць хуткага змяншэння поля на бесканечнасці і некампактнай гіперпаверхні, каб паток вектара праз бакавую мяжу вобласці прасторы паміж дзвюма гіперпаверхнямі быў роўны 0. У класічнай тэорыі поля такой уласцівасцю валодае, напрыклад, тэнзар энергіі-імпульсу для электрамагнітнага поля. У вакууме лагранжыян поля не залежыць яўна ад каардынат, таму паяўляецца велічыня, якая захоўваецца і звязваецца з патокам энергіі-імпульсу.

Дыферэнцыяльныя ўраўненні

Хай маецца варыяцыйная задача з функцыяналам дзеяння $S=\int L({\vec {u}},{\vec {x}},\dots )\,d{\boldsymbol {x}}$. Тут $L$ — лагранжыян, $x$ — незалежныя зменныя, $u$ — залежныя зменныя, гэта значыць функцыі ад $x$. $L$ можа залежаць таксама і ад вытворных $u$ па $x$, не абавязкова толькі першага парадку.

Варыяцыйная задача для такога функцыянала прыводзіць да дыферэнцыяльных ураўненняў Эйлера — Лагранжа, якія можна запісаць у выглядзе

$\mathrm {E_{\alpha }} (L)=0~,~\alpha =1\dots q,$

дзе $\mathrm {E}$ — аператары Эйлера-Лагранжа:

$\mathrm {E_{\alpha }} ={\frac {\partial }{\partial u_{\alpha }}}-\sum _{i=1}^{p}{\frac {d}{dx_{i}}}{\frac {\partial }{\partial u_{x_{i}}^{\alpha }}}+\dots ,$

$u_{x_{i}}^{\alpha }$ — вытворная функцыі $u^{\alpha }$ па зменнай $x_{i}$. Шматкроп’е азначае, што калі $L$ залежыць ад вытворных парадку вышэй першага, то трэба дадаць адпаведныя складнікі ў $\mathrm {E}$. У кампактным запісе $\mathrm {E_{\alpha }} =\sum _{J}(-D)_{J}{\frac {\partial }{\partial u_{J}^{\alpha }}}$, дзе $J$ — мультыіндэкс. Сумаванне вядзецца па ўсіх складніках такіх, што вытворная $u_{J}^{\alpha }$ ўваходзіць у $L$.

Тэарэма Нётэр звязвае так званыя варыяцыйныя сіметрыі функцыянала $S$ з законамі захавання, якія будуць выконвацца на рашэннях ураўненняў Эйлера — Лагранжа.

Законы захавання

Закон захавання для сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў — гэта выраз выгляду

$\mathrm {Div} {\vec {P}}=0,$

які справядліў на рашэннях гэтай сістэмы, г. зн. такі, што калі падставіць у яго гэтыя дыферэнцыяльныя ўраўненні, атрымаецца тоеснасць. У дадзеным выпадку разглядаюцца дыферэнцыяльныя ўраўненні Эйлера — Лагранжа. Тут $\mathrm {Div}$ — поўная дывергенцыя (дывергенцыя з поўнымі вытворнымі) па $x$. ${\vec {P}}$ — гладкія функцыі $u$, $x$ і вытворных $u$ па $x$.

Трывіяльнымі законамі захавання называюцца законы захавання,

• для якіх $\mathrm {Div} {\vec {P}}=0$ само па сабе з’яўляецца тоеснасцю без уліку якіх-небудзь дыферэнцыяльных ураўненняў;
• або для якіх ${\vec {P}}$ ператвараецца ў 0 адразу пры падстаноўцы дыферэнцыяльных ураўненняў, без вылічэння дывергенцыі (захоўваецца тоесны нуль на рашэннях);
• або для якіх ${\vec {P}}$ ёсць лінейная камбінацыя папярэдніх тыпаў.

Калі для двух законаў захавання з функцыямі ${\vec {P}}$ і ${\vec {R}}$ рознасць ${\vec {P}}-{\vec {R}}$ дае трывіяльны закон захавання, такія два закона захавання называюцца эквівалентнымі.

Кожны закон захавання эквівалентны закону захавання ў характарыстычнай форме — гэта значыць такому, для якога

$\mathrm {Div} {\vec {P}}={\vec {Q}}\cdot {\vec {\Delta }},$

дзе $\Delta$ — выразы, якія ўваходзяць у вызначэнне сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў: ${\vec {\Delta }}=0$. Для апісанага выпадку $\Delta _{\alpha }=E_{\alpha }(L)$ і

$\mathrm {Div} {\vec {P}}=\sum _{\alpha }Q_{\alpha }E_{\alpha }(L).$

$Q_{\alpha }$ залежаць ад $u$, $x$ і вытворных $u$ па $x$ і называюцца характарыстыкамі закона захавання.

Варыяцыйныя сіметрыі

Хай маецца абагульненае вектарная поле

${\vec {v}}=\sum _{i=1}^{p}\xi ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\sum _{\alpha =1}^{q}\varphi _{\alpha }{\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}.$

«Абагульненае» разумеецца ў тым сэнсе, што $\xi$ і $\varphi$ могуць залежаць не толькі ад $u$ і $x$, але і ад вытворных $u$ па $x$.

Азначэнне: ${\vec {v}}$ называецца варыяцыйнай сіметрыяй функцыянала $S$, калі існуе набор функцый ${\vec {\mathrm {B} }}({\vec {u}},{\vec {x}},\dots )$ такі, што

$\mathrm {pr} \,{\vec {v}}(L)+L\,\mathrm {Div} {\vec {\xi }}=\mathrm {Div} \,{\vec {\mathrm {B} }}.$

$\mathrm {pr} \,{\vec {v}}$ — працяг ${\vec {v}}$. Працяг ўлічвае, што дзеянне ${\vec {v}}$ на $u$ і $x$ выклікае таксама інфінітэзімальную змену вытворных, і задаецца формуламі

$\mathrm {pr} \,{\vec {v}}={\vec {v}}+\sum _{\alpha ,J}\varphi _{\alpha }^{J}{\frac {\partial }{\partial u_{J}^{\alpha }}}~,~\varphi _{\alpha }^{J}=D_{J}{\bigl (}\varphi _{\alpha }-\sum _{i}\xi ^{i}u_{i}^{\alpha }{\bigr )}.$

У формуле для працягу неабходна браць, акрамя ${\vec {v}}$, складнікі з такімі $\partial /\partial u_{J}^{\alpha }$, для якіх $u_{J}^{\alpha }$ ўваходзяць у $L$ або, у агульным выпадку, у той выраз, на які працяг дзейнічае.

Сэнс вызначэння варыяцыйнай сіметрыі заключаецца ў тым, што ${\vec {v}}$ — гэта інфінітэзімальныя пераўтварэнні, якія ў першым парадку мяняюць функцыянал $S$ такім чынам, што ўраўненні Эйлера — Лагранжа пераўтвараюцца ў эквівалентныя. Справядлівая

тэарэма: калі ${\vec {v}}$ з’яўляецца варыяцыйнай сіметрыяй, то ${\vec {v}}$ з’яўляецца (абагульненай) сіметрыяй ураўненняў Эйлера — Лагранжа:

$\mathrm {pr} \,{\vec {v}}\,\mathrm {E} _{\alpha }(L)\vert _{{\vec {\mathrm {E} }}(L)=0}=0.$

Гэта формула азначае, што інфінітэзімальныя змены выразаў $\mathrm {E} _{\alpha }(L)$, запісаныя тут у выглядзе $\mathrm {pr} \,{\vec {v}}\,\mathrm {E} _{\alpha }(L)$, ператвараюцца ў 0 на рашэннях.

Характарыстыкі вектарных палёў

Набор функцый $Q_{\alpha }=\varphi _{\alpha }-\sum _{i}\xi ^{i}u_{i}^{\alpha }$ (у абазначэннях, дадзеных вышэй) завецца характарыстыкай вектарнага поля ${\vec {v}}$. Замест ${\vec {v}}$ можна браць вектарнае поле

${\vec {v}}_{Q}=\sum _{\alpha }Q_{\alpha }{\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}},$

якое называецца эвалюцыйным прадстаўніком ${\vec {v}}$.

${\vec {v}}$ і ${\vec {v}}_{Q}$ вызначаюць па сутнасці адну і тую ж сіметрыю, таму, калі вядомыя характарыстыкі $Q_{\alpha }$, можна лічыць, што тым самым зададзена і сіметрыя. Працяг ${\vec {v}}_{Q}$ вызначаецца аналагічна працягу ${\vec {v}}$, але фармальна прасцей, бо не трэба асобна ўлічваць ўклад ад $\xi$.

Тэарэма Нётэр ўстанаўлівае сувязь паміж характарыстыкамі законаў захавання і характарыстыкамі вектарных палёў.

Тэарэма Нётэр

Абагульненае вектарнае поле ${\vec {v}}$ вызначае групу сіметрыі функцыянала $S$ у тым і толькі ў тым выпадку, калі яго характарыстыка ${\vec {Q}}$ з’яўляецца характарыстыкай закона захавання $\mathrm {Div} {\vec {P}}=0$ для адпаведных ураўненняў Эйлера — Лагранжа.

Законы захавання

У класічнай механіцы законы захавання энергіі, імпульсу і моманту імпульсу выводзяцца з аднароднасці/ізатропнасці лагранжыяна сістэмы — лагранжыян (функцыя Лагранжа) не мяняецца з часам сам па сабе і не змяняецца пераносам або паваротам сістэмы ў прасторы. Па сутнасці, гэта азначае тое, што пры разглядзе нейкай замкнёнай у лабараторыі сістэмы будуць атрыманы адны і тыя ж вынікі незалежна ад размяшчэння лабараторыі і часу правядзення эксперыменту. Іншыя сіметрыі лагранжыяна сістэмы, калі яны ёсць, ці адпавядаюць іншым велічыням, што захоўваюцца ў дадзенай сістэме (інтэграле руху); напрыклад, сіметрыя лагранжыяна гравітацыйнай і кулонаўскай задачы двух цел прыводзіць да захавання не толькі энергіі, імпульсу і моманту імпульсу, але і вектара Лапласа — Рунге — Ленца.

Літаратура

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики, изд. 5-ое, — М.: Едиториал УРСС, 2003, ISBN 5-354-00341-5
• Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. — М.: Наука, 280 с., 1983 г.

Спасылкі

• Пераклад артыкула Нётэр на англійскую
• Артыкул пра Тэарэму Нётэр, by John Baez (англ.)
• E. Noether’s Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws by Nina Byers
• Тэарэма Нётэр на MathPages. (англ.)
• Symmetric energy-momentum tensor in Maxwell, Yang-Mills, and Proca theories obtained using only Noether’s theorem. (англ.)
• Giachetta G., Mangiarotti L., Sardanashvily G. On the notion of gauge symmetries of generic Lagrangian field theory. — J. Math. Phys. 50 (2009) 012903; arXiv 0807.3003.