Тэарэма Нётэр

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Тэарэма Эмі Нётэр сцвярджае, што кожнай бесперапыннай сіметрыі фізічнай сістэмы адпавядае некаторы закон захавання.

Так, закон захавання энергіі адпавядае аднастайнасці часу,

закон захавання імпульсу - аднастайнасці прасторы,

закон захавання моманту імпульсу - ізатрапіі прасторы,

закон захавання электрычнага зараду - калібравальнай сіметрыі і г. д.

Тэарэма звычайна фармулюецца для сістэм, якія валодаюць функцыяналам дзеяння, і выказвае сабой інварыянтнай лагранжыяна ў адносінах да некаторай бесперапыннай групы пераўтварэнняў.

Тэарэма ўстаноўлена ў працах навукоўцаў Гётынгенскай школы Д. Гілберта, Ф. Клейна і Э. Нётэр. У найбольш распаўсюджанай фармулёўцы была даказаная Эмі Нётэр ў 1918 годзе.

Фармулёўка[правіць | правіць зыходнік]

Класічная механіка[правіць | правіць зыходнік]

Кожнай аднапараметрычнай групе дыфеамарфізмаў , якія захоўваюць функцыю Лагранжа, адпавядае першы інтэграл сістэмы, роўны

У тэрмінах інфінітэзімальных пераўтварэнняў, хай інфінітэзімальнае пераўтварэнне каардынат мае выгляд

і функцыя Лагранжа інварыянтная адносна гэтых пераўтварэнняў, гэта значыць

Тады ў сістэмы існуе першы інтэграл, роўны

Тэарэму можна абагульніць на выпадак пераўтварэнняў, якія закранаюць таксама і час, калі ўявіць яе рух як працэс, што залежыць ад некаторага параметру , прычым у працэсе руху . Тады з пераўтварэнняў

вынікае першы інтэграл

Тэорыя поля[правіць | правіць зыходнік]

Тэарэма Нётэр дапускае прамое абагульненне на выпадкі сістэм з бясконцым лікам ступеняў свабоды, прыкладам якіх з'яўляюцца гравітацыйнае і электрамагнітнае поле. А менавіта, няхай функцыя Лагранжа сістэмы залежыць ад патэнцыялаў, якія залежаць, у сваю чаргу, ад каардынат. Функцыянал дзеяння будзе мець выгляд

Няхай аднапараметрычная група дыфеамарфізмаў прасторы патэнцыялаў захоўвае функцыю Лагранжа, тады захоўваецца вектар

званы вектарам патоку Нётэр. Пад паўтаральным індэксам маецца на ўвазе сумаванне, . Сэнс захавання вектара патоку Нётэр ў тым, што

таму паток праз любую замкнёную паверхню ў прасторы каардынат роўны 0. У прыватнасці, калі вылучыць сярод каардынат адну, званую часам, і разгледзець гіперплоскасці пастаяннага часу, то паток праз такую ​​гіперплоскасць сталая ў часе, пры ўмове досыць хуткага змяншэння поля на бясконцасці і некампактнай гіперпаверхні, каб паток вектару праз бакавую мяжу вобласці прасторы паміж двума гіперпаверхнямі быў роўны 0. У класічнай тэорыі поля такой уласцівасцю валодае, напрыклад, тэнзар энергіі-імпульсу для электрамагнітнага поля. У вакууме лагранжыян поля не залежыць відавочна ад каардынат, таму маецца захоўваецца велічыня, якая параўноўвалася з патокам энергіі-імпульсу.

Дыферэнцыяльныя ураўненні[правіць | правіць зыходнік]

Хай маецца варыяцыйная задача з функцыяналам дзеяння . Тут лагранжыян, — незалежныя зменныя, — залежныя зменныя, гэта значыць функцыі ад . можа залежаць таксама і ад вытворных па , не абавязкова толькі першага парадку.

Варыяцыйная задача для такога функцыяналу прыводзіць да дыферэнцыяльных ураўненняў Эйлера — Лагранжа, якія можна запісаць у выглядзе

,

дзе math>\mathrm{E}</math> — аператары Эйлера-Лагранжа:


,

— вытворная функцыі па зменнай . Шматкроп'е азначае, што калі залежыць ад вытворных парадку вышэй першага, то трэба дадаць адпаведныя складнікі ў . У кампактным запісу , дзе — мультыіндэкс. Сумаванне вядзецца па ўсіх складнікам такім, што вытворная ўваходзіць у .

Тэарэма Нётэр звязвае так званыя варыяцыйныя сіметрыі функцыяналу з законамі захавання, якія будуць выконвацца на рашэннях ураўненняў Эйлера — Лагранжа.

Законы захавання[правіць | правіць зыходнік]

Закон захавання для сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў — гэта выраз выгляду

якое справядліва на рашэннях гэтай сістэмы, г. зн. такое, што калі падставіць у яго гэтыя дыферэнцыяльныя ураўненні, атрымаецца тоеснасць. У дадзеным выпадку разглядаюцца дыферэнцыяльныя ураўненні Эйлера — Лагранжа. Тут — поўная дывергенцыя (дывергенцыя з поўнымі вытворнымі) па . — гладкія функцыі , і вытворных па .

Трывіяльнымі законамі захавання называюцца законы захавання

  • для якіх само па сабе з'яўляецца тоеснасцю без уліку якіх-небудзь дыферэнцыяльных ураўненняў;
  • або для якіх звяртаецца ў 0 адразу пры падстаноўцы дыферэнцыяльных ураўненняў, без вылічэння дывергенцыі (захоўваецца тоесны нуль на рашэннях);
  • або для якіх ёсць лінейная камбінацыя папярэдніх тыпаў.

Калі для двух законаў захавання з функцыямі і рознасць дае трывіяльны закон захавання, такія два закона захавання завуцца эквівалентнымі.

Кожны закон захавання эквівалентны закону захавання ў характарыстычнай форме — гэта значыць такой, для якога

,

дзе — выразы, якія ўваходзяць у вызначэнне сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў: . Для апісванага выпадку и

.

залежаць ад , і вытворных па і называюцца характарыстыкамі закона захавання.

Варыяцыйныя сіметрыі[правіць | правіць зыходнік]

Хай маецца абагульненае вэктарная поле

.

«Абагульненае» разумеецца ў тым сэнсе, што і могуць залежаць не толькі ад і , але і ад вытворных па .

Вызначэнне: называецца варыяцыйнай сіметрыяй функцыяналу , калі існуе набор функцый такі, што

.

— працяг . Працяг ўлічвае, што дзеянне на і выклікае таксама інфінетызімальную змену вытворных, і задаецца формуламі

.

У формуле для працягу неабходна браць, акрамя , складнікі з такімі , для якіх ўваходзяць у або, у агульным выпадку, у той выраз, на які працяг дзейнічае.

Сэнс вызначэння варыяцыйнай сіметрыі складаецца ў тым, што — гэта інфінетызімальныя пераўтварэнні, якія ў першым парадку мяняюць функцыянал такім чынам, што ураўненні Эйлера — Лагранжа пераўтворацца ў эквівалентныя. Справядлівая

тэарэма: калі з'яўляецца варыяцыйнай сіметрыяй, то з'яўляецца (абагульненай) сіметрыяй ураўненняў Эйлера — Лагранжа:

.

Гэтая формула азначае, што інфінетызімальныя змены выразаў , запісаныя тут у выглядзе , звяртаюцца ў 0 на рашэннях.

Характарыстыкі вектарных палёў[правіць | правіць зыходнік]

Набор функцый (у пазначэннях, дадзеных вышэй) завецца характарыстыкай вектарнага поля . Замест можна браць вектарнае поле

,

якое называецца эвалюцыйным прадстаўніком .

. і вызначаюць па сутнасці адну і тую ж сіметрыю, таму, калі вядомыя характарыстыкі , можна лічыць, што тым самым зададзена і сіметрыя. Працяг вызначаецца аналагічна працягу , але фармальна прасцей, паколькі не трэба асобна ўлічваць ўклад ад .

Тэарэма Нётэр ўсталёўвае сувязь паміж характарыстыкамі законаў захавання і характарыстыкамі вектарных палёў.

Тэарэма Нётэр[правіць | правіць зыходнік]

Абагульненае вектарнае поле вызначае групу сіметрыі функцыяналу у тым і толькі ў тым выпадку, калі яго характарыстыка з'яўляецца характарыстыкай закона захавання для адпаведных ураўненняў Эйлера — Лагранжа.

Законы захавання[правіць | правіць зыходнік]

У класічнай механіцы законы захавання энергіі, імпульсу і моманту імпульсу выводзяцца з аднастайнасці/ізатропнасці лагранжыяна сістэмы — лагранжыян (функцыя Лагранжа) не мяняецца з часам сам па сабе і не змяняецца пераносам або паваротам сістэмы ў прасторы. Па сутнасці гэта азначае тое, што пры разглядзе нейкай замкнёнай ў лабараторыі сістэмы будуць атрыманы адны і тыя ж вынікі — па-за залежнасці ад размяшчэння лабараторыі і час правядзення эксперыменту. Іншыя сіметрыі лагранжыяна сістэмы, калі яны ёсць, ці адпавядаюць іншым велічыням, што захоўваюцца ў дадзенай сістэме (інтэграле руху); напрыклад, сіметрыя лагранжыяна гравітацыйнай і кулонаўскай задачы двух цел прыводзіць да захавання не толькі энергіі, імпульсу і моманту імпульсу, але і вектара Лапласа — Рунге — Ленца.

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Арнольд В. И. Математические методы классической механики, изд. 5-ое, — м: Едиториал УРСС, 2003, ISBN 5-354-00341-5
  • Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. — м: Наука, 280 с., 1983 г.

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]