Тэарэма Нётэр

З пляцоўкі Вікіпедыя.
Перайсці да: рух, знайсці

Тэарэма Эмі Нётэр сцвярджае, што кожнай бесперапыннай сіметрыі фізічнай сістэмы адпавядае некаторы закон захавання.

Так, закон захавання энергіі адпавядае аднастайнасці часу,

закон захавання імпульсу - аднастайнасці прасторы,

закон захавання моманту імпульсу - ізатрапіі прасторы,

закон захавання электрычнага зараду - калібравальнай сіметрыі і г. д.

Тэарэма звычайна фармулюецца для сістэм, якія валодаюць функцыяналам дзеяння, і выказвае сабой інварыянтнай лагранжыяна ў адносінах да некаторай бесперапыннай групы пераўтварэнняў.

Тэарэма ўстаноўлена ў працах навукоўцаў Гётынгенскай школы Д. Гілберта, Ф. Клейна і Э. Нётэр. У найбольш распаўсюджанай фармулёўцы была даказаная Эмі Нётэр ў 1918 годзе.

Фармулёўка[правіць | правіць зыходнік]

Класічная механіка[правіць | правіць зыходнік]

Кожнай аднапараметрычнай групе дыфеамарфізмаў g^s(q_i), якія захоўваюць функцыю Лагранжа, адпавядае першы інтэграл сістэмы, роўны

I=\sum^n_{i=1}\left( \frac{d}{ds} g^s(q_i) \right) \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}

У тэрмінах інфінітэзімальных пераўтварэнняў, хай інфінітэзімальнае пераўтварэнне каардынат мае выгляд

g^s(\vec q) = \vec q_0 + s \vec \psi (\vec q,\; t)

і функцыя Лагранжа L(q,\; \dot q,\; t) інварыянтная адносна гэтых пераўтварэнняў, гэта значыць

\frac{d}{ds}L(\vec q_0 + s \vec \psi (\vec q,\; t),\; \dot {\vec q_0} + s \dot {\vec \psi} (\vec q,\; t),\; t) = 0

Тады ў сістэмы існуе першы інтэграл, роўны

I = \left( \vec \psi (\vec q,\; t);\; \frac{\partial L}{\partial \dot {\vec q}} \right) = \sum^n_{i=1}\psi_i (\vec q,\; t) \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}.

Тэарэму можна абагульніць на выпадак пераўтварэнняў, якія закранаюць таксама і час, калі ўявіць яе рух як працэс, што залежыць ад некаторага параметру \tau, прычым у працэсе руху t=\tau. Тады з пераўтварэнняў

g^s(\vec q) = \vec q_0 + s \vec \psi (\vec q,\; t)
g^s(t) = t_0 + s \xi (\vec q,\; t)

вынікае першы інтэграл

I = \xi L + \left( \vec \psi - \xi \dot {\vec q};\; \frac{\partial L}{\partial \dot {\vec q}} \right)

Тэорыя поля[правіць | правіць зыходнік]

Тэарэма Нётэр дапускае прамое абагульненне на выпадкі сістэм з бясконцым лікам ступеняў свабоды, прыкладам якіх з'яўляюцца гравітацыйнае і электрамагнітнае поле. А менавіта, няхай функцыя Лагранжа сістэмы залежыць ад n патэнцыялаў, якія залежаць, у сваю чаргу, ад k каардынат. Функцыянал дзеяння будзе мець выгляд

S = \int L(A^i,\; \partial_\mu A^i,\; x^\mu)\, d \Omega,\quad i=1, \ldots,\; n,\quad \mu=1,\; \ldots,\; k,\quad d\Omega = dx^1\ldots dx^k.

Няхай аднапараметрычная група g^s дыфеамарфізмаў прасторы патэнцыялаў захоўвае функцыю Лагранжа, тады захоўваецца вектар

J^\mu = \left( \frac{d}{ds} g^s A^i \right) \frac{\partial L}{\partial (\partial_\mu A^i)},

званы вектарам патоку Нётэр. Пад паўтаральным індэксам маецца на ўвазе сумаванне, \partial_\mu = \frac{\partial}{\partial x^\mu}. Сэнс захавання вектара патоку Нётэр ў тым, што

\ \partial_\mu J^\mu = 0,

таму паток J праз любую замкнёную паверхню ў прасторы каардынат роўны 0. У прыватнасці, калі вылучыць сярод каардынат адну, званую часам, і разгледзець гіперплоскасці пастаяннага часу, то паток J праз такую ​​гіперплоскасць сталая ў часе, пры ўмове досыць хуткага змяншэння поля на бясконцасці і некампактнай гіперпаверхні, каб паток вектару праз бакавую мяжу вобласці прасторы паміж двума гіперпаверхнямі быў роўны 0. У класічнай тэорыі поля такой уласцівасцю валодае, напрыклад, тэнзар энергіі-імпульсу для электрамагнітнага поля. У вакууме лагранжыян поля не залежыць відавочна ад каардынат, таму маецца захоўваецца велічыня, якая параўноўвалася з патокам энергіі-імпульсу.

Дыферэнцыяльныя ураўненні[правіць | правіць зыходнік]

Хай маецца варыяцыйная задача з функцыяналам дзеяння S=\int L (\vec u, \vec x,\dots ) \, d\boldsymbol x. Тут Lлагранжыян, x — незалежныя зменныя, u — залежныя зменныя, гэта значыць функцыі ад x. L можа залежаць таксама і ад вытворных u па x, не абавязкова толькі першага парадку.

Варыяцыйная задача для такога функцыяналу прыводзіць да дыферэнцыяльных ураўненняў Эйлера — Лагранжа, якія можна запісаць у выглядзе

\mathrm{E_\alpha} (L)=0~,~\alpha=1\dots q,

дзе math>\mathrm{E}</math> — аператары Эйлера-Лагранжа:


\mathrm{E_\alpha}= \frac{\partial}{\partial u_\alpha}-\sum_{i=1}^{p} \frac{d}{d x_i}\frac{\partial}{\partial u^{\alpha}_{x_i}} + \dots ~~~,

u^{\alpha}_{x_i} — вытворная функцыі u^{\alpha} па зменнай x_i. Шматкроп'е азначае, што калі L залежыць ад вытворных парадку вышэй першага, то трэба дадаць адпаведныя складнікі ў \mathrm{E}. У кампактным запісу \mathrm{E_\alpha}= \sum_J (-D)_J\frac{\partial}{\partial u^{\alpha}_J}, дзе J — мультыіндэкс. Сумаванне вядзецца па ўсіх складнікам такім, што вытворная u^{\alpha}_J ўваходзіць у L.

Тэарэма Нётэр звязвае так званыя варыяцыйныя сіметрыі функцыяналу S з законамі захавання, якія будуць выконвацца на рашэннях ураўненняў Эйлера — Лагранжа.

Законы захавання[правіць | правіць зыходнік]

Закон захавання для сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў — гэта выраз выгляду

\mathrm{Div} \vec P =0

якое справядліва на рашэннях гэтай сістэмы, г. зн. такое, што калі падставіць у яго гэтыя дыферэнцыяльныя ураўненні, атрымаецца тоеснасць. У дадзеным выпадку разглядаюцца дыферэнцыяльныя ураўненні Эйлера — Лагранжа. Тут \mathrm{Div} — поўная дывергенцыя (дывергенцыя з поўнымі вытворнымі) па x. \vec P — гладкія функцыі u, x і вытворных u па x.

Трывіяльнымі законамі захавання называюцца законы захавання

  • для якіх \mathrm{Div} \vec P =0 само па сабе з'яўляецца тоеснасцю без уліку якіх-небудзь дыферэнцыяльных ураўненняў;
  • або для якіх \vec P звяртаецца ў 0 адразу пры падстаноўцы дыферэнцыяльных ураўненняў, без вылічэння дывергенцыі (захоўваецца тоесны нуль на рашэннях);
  • або для якіх \vec P ёсць лінейная камбінацыя папярэдніх тыпаў.

Калі для двух законаў захавання з функцыямі \vec P і \vec R рознасць \vec P - \vec R дае трывіяльны закон захавання, такія два закона захавання завуцца эквівалентнымі.

Кожны закон захавання эквівалентны закону захавання ў характарыстычнай форме — гэта значыць такой, для якога

\mathrm{Div} \vec P =\vec Q\cdot \vec \Delta,

дзе \Delta — выразы, якія ўваходзяць у вызначэнне сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў: \vec \Delta=0. Для апісванага выпадку \Delta_\alpha=E_\alpha (L) и

\mathrm{Div} \vec P =\sum_\alpha Q_\alpha E_\alpha (L).

Q_\alpha залежаць ад u, x і вытворных u па x і называюцца характарыстыкамі закона захавання.

Варыяцыйныя сіметрыі[правіць | правіць зыходнік]

Хай маецца абагульненае вэктарная поле

\vec v=\sum_{i=1}^{p}\xi^i\frac{\partial}{\partial x^i}+\sum_{\alpha=1}^{q}\varphi_\alpha\frac{\partial}{\partial u^\alpha}.

«Абагульненае» разумеецца ў тым сэнсе, што \xi і \varphi могуць залежаць не толькі ад u і x, але і ад вытворных u па x.

Вызначэнне: \vec v называецца варыяцыйнай сіметрыяй функцыяналу S, калі існуе набор функцый \vec\mathrm B(\vec u, \vec x,\dots ) такі, што

\mathrm{pr}\, \vec v (L) +L\, \mathrm{Div} \vec \xi=\mathrm{Div}\, \vec \mathrm{B}.

\mathrm{pr}\, \vec v — працяг \vec v. Працяг ўлічвае, што дзеянне \vec v на u і x выклікае таксама інфінетызімальную змену вытворных, і задаецца формуламі

\mathrm{pr}\, \vec v = \vec v + \sum_{\alpha,J}\varphi^J_\alpha\frac{\partial}{\partial u^\alpha_J}~,~\varphi^J_\alpha=D_J \bigl(\varphi_\alpha-\sum_i \xi^i u^\alpha_i \bigr).

У формуле для працягу неабходна браць, акрамя \vec v, складнікі з такімі \partial /\partial u^\alpha_J, для якіх u^\alpha_J ўваходзяць у L або, у агульным выпадку, у той выраз, на які працяг дзейнічае.

Сэнс вызначэння варыяцыйнай сіметрыі складаецца ў тым, што \vec v — гэта інфінетызімальныя пераўтварэнні, якія ў першым парадку мяняюць функцыянал S такім чынам, што ураўненні Эйлера — Лагранжа пераўтворацца ў эквівалентныя. Справядлівая

тэарэма: калі \vec v з'яўляецца варыяцыйнай сіметрыяй, то \vec v з'яўляецца (абагульненай) сіметрыяй ураўненняў Эйлера — Лагранжа:

 \mathrm{pr}\, \vec v\, \mathrm{E}_\alpha (L) \vert_{\vec \mathrm{E} (L)=0}=0.

Гэтая формула азначае, што інфінетызімальныя змены выразаў \mathrm{E}_\alpha (L), запісаныя тут у выглядзе \mathrm{pr}\, \vec v\, \mathrm{E}_\alpha (L), звяртаюцца ў 0 на рашэннях.

Характарыстыкі вектарных палёў[правіць | правіць зыходнік]

Набор функцый Q_\alpha=\varphi_\alpha-\sum_i\xi^i u^\alpha_i (у пазначэннях, дадзеных вышэй) завецца характарыстыкай вектарнага поля \vec v. Замест \vec v можна браць вектарнае поле

\vec v_Q=\sum_\alpha Q_\alpha \frac{\partial}{\partial u^\alpha},

якое называецца эвалюцыйным прадстаўніком \vec v.

\vec v. і \vec v_Q вызначаюць па сутнасці адну і тую ж сіметрыю, таму, калі вядомыя характарыстыкі Q_\alpha, можна лічыць, што тым самым зададзена і сіметрыя. Працяг \vec v_Q вызначаецца аналагічна працягу \vec v, але фармальна прасцей, паколькі не трэба асобна ўлічваць ўклад ад \xi.

Тэарэма Нётэр ўсталёўвае сувязь паміж характарыстыкамі законаў захавання і характарыстыкамі вектарных палёў.

Тэарэма Нётэр[правіць | правіць зыходнік]

Абагульненае вектарнае поле \vec v вызначае групу сіметрыі функцыяналу S у тым і толькі ў тым выпадку, калі яго характарыстыка \vec Q з'яўляецца характарыстыкай закона захавання \mathrm{Div} \vec P =0 для адпаведных ураўненняў Эйлера — Лагранжа.

Законы захавання[правіць | правіць зыходнік]

У класічнай механіцы законы захавання энергіі, імпульсу і моманту імпульсу выводзяцца з аднастайнасці/ізатропнасці лагранжыяна сістэмы — лагранжыян (функцыя Лагранжа) не мяняецца з часам сам па сабе і не змяняецца пераносам або паваротам сістэмы ў прасторы. Па сутнасці гэта азначае тое, што пры разглядзе нейкай замкнёнай ў лабараторыі сістэмы будуць атрыманы адны і тыя ж вынікі — па-за залежнасці ад размяшчэння лабараторыі і час правядзення эксперыменту. Іншыя сіметрыі лагранжыяна сістэмы, калі яны ёсць, ці адпавядаюць іншым велічыням, што захоўваюцца ў дадзенай сістэме (інтэграле руху); напрыклад, сіметрыя лагранжыяна гравітацыйнай і кулонаўскай задачы двух цел прыводзіць да захавання не толькі энергіі, імпульсу і моманту імпульсу, але і вектара Лапласа — Рунге — Ленца.

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Арнольд В. И. Математические методы классической механики, изд. 5-ое, — м: Едиториал УРСС, 2003, ISBN 5-354-00341-5
  • Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. — м: Наука, 280 с., 1983 г.

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]