Задача двух цел

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

У класічнай механіцы, задача двух цел заключаецца ў тым, каб вызначыць рух двух кропкавых часціц, якія ўзаемадзейнічаюць толькі адна з адною. Распаўсюджанымі прыкладамі задачы з'яўляюцца спадарожнік, які рухаецца вакол планеты, а таксама планета, якая рухаецца вакол зоркі, дзве зоркі, якія абарачаюцца вакол агульнага цэнтра мас (падвойная зорка), і класічная мадэль электрона, які рухаецца вакол атамнага ядра.

Задачу двух цел можна прадставіць як дзве незалежныя задачы аднаго цела, дзе разглядаецца рух адной часціцы ў вонкавым патэнцыяльным полі. Многія задачы з адным целам можна развязаць дакладна, таму адпаведную задачу з двума целамі таксама можна развязаць. Але задачу з трыма целамі (а тым больш задачу N цел пры N > 3) за выключэннем асобных выпадкаў дакладна развязаць немагчыма.

Два цела з аднолькавай масай, якія рухаюцца вакол агульнага цэнтра мас па эліптычных арбітах.
Два цела з невялікай розніцай у масах рухаюцца па кругавых арбітах вакол агульнага цэнтра мас. Гэты асобы тып арбіты падобны да сістэмы Плутон - Харон.

Пастаноўка задачы[правіць | правіць зыходнік]

Няхай і радыус-вектары двух цел, а і іх масы. Наша мэта: вызначыць траекторыю і для любога часу , пры зададзеных пачатковых каардынатах

і хуткасцях

.

Другі закон Ньютана ў дачыненні да дадзенай сістэмы сцвярджае, што

дзе

— сіла, якая дзейнічае на першае цела з-за ўзаемадзеяннем з другім целам,
— сіла, якая дзейнічае на другое цела з боку першага.

Складаючы і адымаючы гэтыя два ўраўненні, можна раздзяліць адну задачу на дзве задачы з адным целам, якія можна рашыць незалежна. "Складанне" раўнанняў (1) і (2) прыводзіць да раўнання, якое апісвае рух цэнтра мас. У адрозненне ад гэтага, "адыманне" раўнання (2) ад раўнання (1) прыводзіць да раўнання, якое апісвае, як вектар паміж масамі змяняецца з часам. Рашэнне гэтых незалежных задач можа дапамагчы ў знаходжанні траекторый и .

Рух цэнтра мас (першая задача)[правіць | правіць зыходнік]

Складанне раўнанняў (1) і (2) прыводзіць да роўнасці

дзе мы выкарысталі трэці закон Ньютана , і дзе

становішча цэнтра мас сістэмы. У выніку раўнанне прыме выгляд

Яно паказвае, што хуткасць цэнтра мас нязменная. Адсюль вынікае, што поўны імпульс таксама захоўваецца. Становішча і хуткасць цэнтра мас можна атрымаць для любога моманту часу.

Адносны рух (другая задача)[правіць | правіць зыходнік]

Адымаючы раўнанне (2) ад раўнання (1) і пераўтвараючы яго, прыходзім да раўнання

дзе мы зноў выкарысталі трэці закон Ньютана і (азначаны вышэй) - вектар адноснага зрушэння, накіраваны ад другога цела да першага.

Сіла паміж двума целамі павінна быць функцыяй толькі , а не абсалютных радыус-вектараў і ; у адваротным выпадку задача не была б сіметрычнай адносна пераносу ў прасторы і часе, а гэта раўназначна таму, што законы фізікі мяняліся б ад кропкі да кропкі. Такім чынам можна запісаць:

дзе -прыведзеная маса

Як толькі мы знойдзем рашэнне для і першапачатковыя траекторыі можна запісаць у выглядзе

як можа быць паказана падстаноўкай ў ўраўненні для і .

Рашэнне задачы двух цел[правіць | правіць зыходнік]

Згодна з трэцім законам Ньютана сілы, з якімі целы дзейнічаюць адно на адно, роўныя па велічыні і процілеглыя па напрамку. Такім чынам, для задачы двух цел можна запісаць

Праінтэграваўшы гэта раўнанне два разы, атрымаем

дзе a і b – некаторыя вектары.

Абазначыўшы праз r становішча (радыус-вектар) цэнтра цяжару двух цел і M - іх агульную масу:

атрымаем

гэта значыць наступнае: цэнтр мас сістэмы рухаецца з пастаяннай хуткасцю.

Запішам сілы, якія дзейнічаюць на кожнае з цел, наступным чынам

    где    

Адымаючы другое раўнанне ад першага, атрымаем

    где    

Вектарна памнажаючы апошняе раўнанне на r і інтэгруючы, атрымаем

Пастаянны вектар h, які з'яўляецца пастаяннай інтэгравання, называецца кінэтычным момантам сістэмы. Узаемны рух цел адбываецца ў плоскасці, перпендыкулярнай гэтаму вектару. Увядзём сістэму цыліндрычных каардынат r,?, z. Адзінкавыя вектары ўздоўж радыяльнай, трансверсальнай і вертыкальнай восі абазначым як i, j і k. Праекцыі хуткасці на радыяльную і трансверсальную восі складуць

Тады

У левай частцы апошняга выразу стаіць падвоеная плошча трохвугольніка, які апісваецца радыус-вектарам r за адзінку часу. Такім чынам, гэтыя суадносіны з'яўляюцца матэматычным запісам другога закона Кеплера.

Раўнанне (1) памнажаем скалярна на хуткасць і інтэгруем. Атрымаем

Апошні стасунак з'яўляецца выражэннем закону захавання механічнай энергіі ў сістэме.

Рух двух цел у плоскасці[правіць | правіць зыходнік]

Цікава, што рух двух цел заўсёды адбываецца ў плоскасці. Вызначым імпульс і момант імпульсу

Хуткасць змянення моманту імпульсу роўная моманту сілы

але законы руху Ньютана выконваюцца для ўсіх фізічных сіл, і кажуць, што сіла, якая дзейнічае паміж двума часціцамі (матэрыяльнымі кропкамі), накіравана па лініі, якая злучае іх, гэта значыць Адсюль і момант імпульсу захоўваецца. Тады вектар зрушэння і хуткасць яго змянення ляжаць у плоскасці, перпендыкулярнай да пастаяннага вектара .

Агульнае рашэнне для сілы, якая залежыць ад адлегласці[правіць | правіць зыходнік]

Часта бывае зручна перайсці ў палярныя каардынаты, бо рух адбываецца ў плоскасці і для многіх фізічных задач сіла ёсць функцыяй радыуса А раз r-кампанента паскарэння раўняецца ураўненне для r-кампаненты вектара зрушэння можна перапісаць у выглядзе

дзе і момант імпульсу захоўваецца. Захаванне вуглавога моманту дазваляе знайсці рашэнне для траекторыі , выкарыстоўваючы замену зменных. Пераходзячы ад да

атрымаем ўраўненне руху

Гэтае ураўненне становіцца квазілінейным пры замене зменных і дамнажэнне абедзвюх частак ўраўнення на

Прымяненне[правіць | правіць зыходнік]

Для сіл , адваротна прапарцыйных квадрату адлегласці, такіх як гравітацыя або электрастатыка ў класічнай фізіцы, атрымаем

для некаторых канстант , ўраўненне для траекторый становіцца лінейным

Рашэнне гэтага ўраўнення

дзе і - пастаянныя. Гэтае рашэнне паказвае, што арбіта ўяўляе сабой канічнае сячэнне, г.зн. эліпс, гіпербалу або парабалу, у залежнасці ад таго меншая за выраз , большая ці роўная яму.

Задача двух цел у АТА[правіць | правіць зыходнік]

Нармальная арбіта любога цела, захопленага прыцягненнем іншага цела, уяўляе сабой эліпс або акружнасць - іменна такія арбіты мы назіраем у Сонечнай сістэме. Аднак агульная тэорыя адноснасці сцвярджае, што ў наваколлі вельмі масіўных цел - там, дзе прастора аказваецца моцна скрыўленая дзякуючы наяўнасці каласальнага гравітацыйнага поля спектр магчымых стабільных арбіт значна пашыраецца. У падобных умовах фізічныя аб'екты пачынаюць паводзіць сябе вельмі дзіўна. Напрыклад, цела можа падляцець да чорнай дзіркі па крутой парабале, зрабіць вакол яе некалькі імклівых кароткіх віткоў, а затым зноў закласці выцягнутую пятлю - і гэтак далей.

Прыклад[правіць | правіць зыходнік]

Любая класічная сістэма, якая складаецца з двух часціц, па азначэнню задача двух цел. У многіх выпадках, аднак, адно цела шмат цяжэйшае за другое, як напрыклад у сістэме Зямлі і Сонца. У такіх выпадках больш цяжкая часціца выконвае ролю цэнтра мас і задача зводзіцца да задачы аб руху аднаго цела ў патэнцыяле другога.[1]

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Зноскі

  1. David Shiga 'Periodic table' organises zoo of black hole orbits. NewScientist.com (13 лютага 2008). Архівавана з першакрыніцы 3 чэрвеня 2012.

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]