Імавернасная ўтваральная функцыя

Імавернасная ўтваральная функцыя — адлюстраванне ў выглядзе ступеннага раду функцыі імавернасці выпадковай велічыні з дыскрэтным размеркаваннем.

Азначэнне

Няхай выпадковая велічыня $\xi$ прымае неадмоўныя значэнні 0, 1, 2, $\dots$ з імавернасцямі $p_{0}$, $p_{1}$, $p_{2}$, $\dots$ адпаведна. Імавернаснай утваральнай функцыяй выпадковай велічыні $\xi$ завецца функцыя

$\varphi _{\xi }(s)=\mathbb {E} [s^{\xi }]=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}s^{n}.$

Уласцівасці

З уласцівасцей імавернасці вынікае той факт, што $\varphi _{\xi }(s)>0$, калі $s\in (0,1]$ і $\varphi _{\xi }(1)=1$.

Ведаючы толькі ўтваральную функцыю, можна адназначна атрымаць закон размеркавання, якому яна адпавядае, бо $p_{n}=\varphi _{\xi }^{(n)}(0)/n!,$ дзе $\varphi _{\xi }^{(n)}(0)$ — вытворная парадку $n$ утваральнай функцыі ў пункце 0. Такім чынам, паміж функцыямі імавернасці і імавернаснымі ўтваральнымі функцыямі існуе біекцыя.

Прыклады

Біномнае размеркаванне

Біномнае размеркаванне мае ўтваральную функцыю

$\varphi _{\xi }(s)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}s^{k}=(ps+q)^{n}.$

Размеркаванне Пуасона

Утваральная функцыя размеркавання Пуасона роўная

$\varphi _{\xi }(s)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }s^{k}=e^{-\lambda }e^{\lambda s}=e^{\lambda (s-1)}.$

Геаметрычнае размеркаванне

Геаметрычнае размеркаванне $P(\xi =k)=pq^{k},\;k=0,1,2,\dots$ мае ўтваральную функцыю

$\varphi _{\xi }(s)=\sum _{k=0}^{\infty }pq^{k}s^{k}={\frac {p}{1-qs}}.$

Раўнамернае размеркаванне

Раўнамернае размеркаванне для цэлых лікаў ад 0 да $N-1$ мае ўтваральную функцыю

$\varphi _{\xi }(s)=\sum _{k=0}^{N-1}{\frac {s^{k}}{N}}={\frac {1}{N}}{\frac {1-s^{N}}{1-s}}.$

Літаратура

• Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.