З Вікіпедыі, свабоднай энцыклапедыі
У гэтай старонкі няма
правераных версій , хутчэй за ўсё, яе якасць
не ацэньвалася на адпаведнасць стандартам.
Фо́рмула Герона дазваляе вылічыць плошчу трохвугольніка (S ) па яго баках a, b, c :
S
=
p
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
,
{\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},}
дзе p — паўперыметр трохвугольніка:
p
=
a
+
b
+
c
2
{\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}}
Доказ:
S
=
1
2
a
b
⋅
sin
γ
{\displaystyle S={1 \over 2}ab\cdot \sin {\gamma }}
дзе
γ
{\displaystyle \ \gamma }
процілеглы баку
c
{\displaystyle c}
тэарэме косінусаў :
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
⋅
cos
γ
,
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma ,}
Адсюль:
cos
γ
=
a
2
+
b
2
−
c
2
2
a
b
,
{\displaystyle \cos \gamma ={a^{2}+b^{2}-c^{2} \over 2ab},}
Значыць,
sin
2
γ
=
1
−
cos
2
γ
=
(
1
−
cos
γ
)
(
1
+
cos
γ
)
=
{\displaystyle \ \sin ^{2}\gamma =1-\cos ^{2}\gamma =(1-\cos \gamma )(1+\cos \gamma )=}
=
2
a
b
−
a
2
−
b
2
+
c
2
2
a
b
⋅
2
a
b
+
a
2
+
b
2
−
c
2
2
a
b
=
{\displaystyle ={{2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2}} \over 2ab}\cdot {{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2}} \over 2ab}=}
=
c
2
−
(
a
−
b
)
2
2
a
b
⋅
(
a
+
b
)
2
−
c
2
2
a
b
=
1
4
a
2
b
2
(
c
−
a
+
b
)
(
c
+
a
−
b
)
(
a
+
b
−
c
)
(
a
+
b
+
c
)
{\displaystyle ={{c^{2}-(a-b)^{2}} \over 2ab}\cdot {{(a+b)^{2}-c^{2}} \over 2ab}={1 \over 4a^{2}b^{2}}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)}
Заўважаючы, што
a
+
b
+
c
=
2
p
{\displaystyle a+b+c=2p}
a
+
b
−
c
=
2
p
−
2
c
{\displaystyle a+b-c=2p-2c}
a
+
c
−
b
=
2
p
−
2
b
{\displaystyle a+c-b=2p-2b}
c
−
a
+
b
=
2
p
−
2
a
{\displaystyle c-a+b=2p-2a}
sin
γ
=
2
a
b
p
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
.
{\displaystyle \sin \gamma ={2 \over ab}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.}
Такім чынам,
S
=
1
2
a
b
sin
γ
=
p
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
,
{\displaystyle S={1 \over 2}ab\sin \gamma ={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},}
Q.E.D.
Формула Герона Гэта формула ўтрымліваецца ў «Метрыцы» Герона Александрыйскага (I стагоддзя н. э. ) і названая ў яго гонар. Герон цікавіўся трохвугольнікамі з цэлалікавымі бакамі, плошчы якіх таксама з’яўляюцца цэлымі. Такія трохвугольнікі носяць назву геронавых трохвугольнікаў . Прасцейшым геронавым трохвугольнікам з’яўляецца егіпецкі трохвугольнік .
Выразіўшы паўперыметр праз паўсуму ўсіх бакоў дадзенага трохвугольніка, прыйдзем да формулы выгляду:
S
=
(
−
1
)
(
a
4
+
b
4
+
c
4
)
+
2
(
a
2
b
2
+
b
2
c
2
+
a
2
c
2
)
4
{\displaystyle S={\frac {\sqrt {(-1)(a^{4}+b^{4}+c^{4})+2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})}}{4}}}
Плошча ўпісанага ў акружнасць чатырохвугольніка вылічваецца па формуле Брахмагупты
S
=
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
(
p
−
d
)
,
{\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}},}
дзе
p
=
a
+
b
+
c
+
d
2
{\displaystyle p={\frac {a+b+c+d}{2}}}
паўперыметр чатырохвугольніка. (Трохвугольнік з’яўляецца лімітавым выпадкам упісанага чатырохвугольніка пры памкненні даўжыні адной з бакоў да нуля.) Тэарэма Люілье . Плошча сферычнага трохвугольніка выяўляецца праз яго бакі
θ
a
=
a
R
,
θ
b
=
b
R
,
θ
c
=
c
R
{\displaystyle \theta _{a}={\frac {a}{R}},\theta _{b}={\frac {b}{R}},\theta _{c}={\frac {c}{R}}}
S
=
4
R
2
arctg
tg
(
θ
s
2
)
tg
(
θ
s
−
θ
a
2
)
tg
(
θ
s
−
θ
b
2
)
tg
(
θ
s
−
θ
c
2
)
{\displaystyle S=4R^{2}\,\operatorname {arctg} {\sqrt {\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}}}
θ
s
=
θ
a
+
θ
b
+
θ
c
2
{\displaystyle \theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}}
Для тэтраэдраў з’яўляецца ісціннай формула Герона — Тарталья , якая абагульнена таксама на выпадак іншых мнагаграннікаў (гл. выгінаныя мнагаграннікі ): калі ў тэтраэдра даўжыні кантаў роўныя
l
1
,
l
2
,
l
3
,
l
4
,
l
5
,
l
6
{\displaystyle l_{1},l_{2},l_{3},l_{4},l_{5},l_{6}}
V
{\displaystyle V}
144
V
2
=
l
1
2
l
5
2
(
l
2
2
+
l
3
2
+
l
4
2
+
l
6
2
−
l
1
2
−
l
5
2
)
+
l
2
2
l
6
2
(
l
1
2
+
l
3
2
+
l
4
2
+
l
5
2
−
l
2
2
−
l
6
2
)
+
l
3
2
l
4
2
(
l
1
2
+
l
2
2
+
l
5
2
+
l
6
2
−
l
3
2
−
l
4
2
)
−
l
1
2
l
2
2
l
4
2
−
l
2
2
l
3
2
l
5
2
−
l
1
2
l
3
2
l
6
2
−
l
4
2
l
5
2
l
6
2
{\displaystyle 144V^{2}=l_{1}^{2}l_{5}^{2}(l_{2}^{2}+l_{3}^{2}+l_{4}^{2}+l_{6}^{2}-l_{1}^{2}-l_{5}^{2})+l_{2}^{2}l_{6}^{2}(l_{1}^{2}+l_{3}^{2}+l_{4}^{2}+l_{5}^{2}-l_{2}^{2}-l_{6}^{2})+l_{3}^{2}l_{4}^{2}(l_{1}^{2}+l_{2}^{2}+l_{5}^{2}+l_{6}^{2}-l_{3}^{2}-l_{4}^{2})-l_{1}^{2}l_{2}^{2}l_{4}^{2}-l_{2}^{2}l_{3}^{2}l_{5}^{2}-l_{1}^{2}l_{3}^{2}l_{6}^{2}-l_{4}^{2}l_{5}^{2}l_{6}^{2}}
Формулу Герона можна запісаць з дапамогай вызначальніка ў выглядзе:
16
S
2
=
−
|
0
a
2
b
2
1
a
2
0
c
2
1
b
2
c
2
0
1
1
1
1
0
|
{\displaystyle 16S^{2}=-{\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}}
Яна з’яўляецца прыватным выпадкам вызначальніка Кэлі — Менгера для вылічэння гіпераб’ёма сімплекса .
