Формула Герона

З пляцоўкі Вікіпедыя
Jump to navigation Jump to search

Фо́рмула Герона дазваляе вылічыць плошчу трохвугольніка (S) па яго баках a, b, c:

дзе p — паўперыметр трохвугольніка: .

Гісторыя[правіць | правіць зыходнік]

Формула Герона

Гэта формула ўтрымліваецца ў «Метрыцы» Герона Александрыйскага (I стагоддзя н. э.) і названая ў яго гонар. Герон цікавіўся трохвугольнікамі з цэлалікавымі бакамі, плошчы якіх таксама з’яўляюцца цэлымі. Такія трохвугольнікі носяць назву геронавых трохвугольнікаў. Прасцейшым геронавым трохвугольнікам з’яўляецца егіпецкі трохвугольнік.

Варыяцыі і абагульненні[правіць | правіць зыходнік]

  • Выразіўшы паўперыметр праз паўсуму ўсіх бакоў дадзенага трохвугольніка, прыйдзем да формулы выгляду:
  • Плошча ўпісанага ў акружнасць чатырохвугольніка вылічваецца па формуле Брахмагупты:
дзе  — паўперыметр чатырохвугольніка. (Трохвугольнік з’яўляецца лімітавым выпадкам упісанага чатырохвугольніка пры памкненні даўжыні адной з бакоў да нуля.)
  • Тэарэма Люілье. Плошча сферычнага трохвугольніка выяўляецца праз яго бакі як:
    , где  — паўпрыметр.
  • Для тэтраэдраў з’яўляецца ісціннай формула Герона — Тарталья, якая абагульнена таксама на выпадак іншых мнагаграннікаў (гл. выгінаныя мнагаграннікі): калі ў тэтраэдра даўжыні кантаў роўныя , то для яго аб’ёма ісцінны выраз
    .
  • Формулу Герона можна запісаць з дапамогай вызначальніка ў выглядзе:
Яна з’яўляецца прыватным выпадкам вызначальніка Кэлі — Менгера для вылічэння гіпераб’ёма сімплекса.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • §258 у А. П. Киселёв. "Геометрия по Киселёву". arΧiv:1806.06942v3 [math.HO]. 
  • Николаев Н. О площади треугольника (руск.)  // В.О.Ф.Э.М.. — 1890. — № 108. — С. 227—228.
  • Raifaizen, Claude H. A Simpler Proof of Heron’s Formula (англ.)  // Mathematics Magazine : magazine. — 1971. — Т. 44. — С. 27—28. — доказ формулы Герона на аснове тэарэмы Піфагора