Гарманічныя ваганні: Розніца паміж версіямі

Інтэрактыўны прагляд гісторыі

[дагледжаная версія]

← Папярэдняя праўка Наступная праўка →

Змесціва выдалена Змесціва дададзена

ВізуальнаВікіразметка

Лінейны

Версія ад 16:18, 2 красавіка 2017

Гармані́чныя вага́нні — ваганні, пры якіх функцыя стану сістэмы змяняецца з часам наступным чынам:

$x=A\sin(\omega t+\phi _{0}),$

дзе A – амплітуда ваганняў, $\omega$ — вуглавая частата, $\phi _{0}$ — пачатковая фаза (гэта значыць фаза, у якой сістэма знаходзіцца у момант часу t = 0).

Скорасць і паскарэнне матэрыяльнага пункта, які здзяйсняе механічныя гарманічныя ваганні, роўныя

$v={\frac {dx}{dt}}=A\omega \cos(\omega t+\varphi _{0}),$

$a={\frac {dv}{dt}}=-A\omega ^{2}\sin(\omega t+\varphi _{0}).$

З апошняй роўнасці вынікае дыферэнцыяльнае ўраўненне гарманічнага вагання:

$a={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-A\omega ^{2}\sin(\omega t+\varphi _{0})=-\omega ^{2}x$

або

$\omega ^{2}x+{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=0.$

Такім чынам, пры механічным гарманічным ваганні паскарэнне матэрыяльнага пункта прапарцыянальна яго адхіленню ад пункта раўнавагі. Адпаведна другому закону Ньютана, гэта магчыма, калі на яго дзейнічае сіла, велічыня якой вызначаецца формулай:

$F=-kx,$

дзе k – каэфіцыент прапарцыянальнасці. Знак «мінус» адлюстроўвае той факт, што сіла дзейнічае ў напрамку, адваротным да адхілення.

Вуглавая частата ваганняў складае

$\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}.$

Яна, такім чынам, цалкам вызначаецца параметрамі сістэмы, што вагаецца, і не залежыць ад амплітуды ваганняў.

Прыклады сістэм, у якіх адбываюцца механічныя гарманічныя ваганні:

Прыкладам сістэмы, у якой здзяйсняюцца электрычныя гарманічныя ваганні, з'яўляецца вагальны контур.

Гл. таксама

Шаблон:Phys-stub

@@ Радок 1: / Радок 1: @@
 [[Выява:Sine_Cosine_Graph.png|right|thumb|300px|Графікі функцый ''f''(''x'') = sin(''x'') і ''g''(''x'') = cos(''x'') на дэкартавай плоскасці.]]
-'''Гармані́чныя вага́нні''' — [[ваганні]], пры якіх [[функцыя]] стану сістэмы змяняеецца з [[час]]ам наступным чынам:
+'''Гармані́чныя вага́нні''' — [[ваганні]], пры якіх [[функцыя]] стану сістэмы змяняецца з [[час]]ам наступным чынам:
-<math>x = A sin(\omega t + \phi_0)</math>
+<math>x = A \sin(\omega t + \phi_0),</math>
-дзе A – [[амплітуда]] ваганняў, <math>\omega</math> — [[вуглавая частата]], <math>\phi_0</math> — пачатковая [[фаза]] (гэта значыць фаза, у якой сістэма знаходзіцца у момант часу t = 0).
+дзе A – [[амплітуда]] ваганняў, <math>\omega</math> — [[вуглавая частата]], <math>\phi_0</math> — пачатковая [[фаза]] (гэта значыць фаза, у якой сістэма знаходзіцца у момант часу {{math|''t'' {{=}} 0}}).
-[[Хуткасць]] і [[паскарэнне]] [[матэрыяльны пункт|матэрыяльнага пункта]], які здзяйсняе механічныя гарманічныя ваганні, роўныя
+[[Скорасць]] і [[паскарэнне]] [[матэрыяльны пункт|матэрыяльнага пункта]], які здзяйсняе механічныя гарманічныя ваганні, роўныя
-<math>v = \frac {dx} {dt} = A \omega cos(\omega t + \varphi_0)</math>
+<math>v = \frac {dx} {dt} = A \omega \cos(\omega t + \varphi_0),</math>
-<math>a = \frac {dv} {dt} = - A \omega^2 sin(\omega t + \varphi_0)</math>
+<math>a = \frac {dv} {dt} = - A \omega^2 \sin(\omega t + \varphi_0).</math>
 З апошняй роўнасці вынікае [[дыферэнцыяльнае ўраўненне]] гарманічнага вагання:
-<math>a = \frac {d^2 x} {dt^2} = - A \omega^2 sin(\omega t + \varphi_0) = - \omega^2 x</math>
+<math>a = \frac {d^2 x} {dt^2} = - A \omega^2 \sin(\omega t + \varphi_0) = - \omega^2 x</math>
 або
-<math>\omega^2 x + \frac {d^2 x} {dt^2} = 0</math>
+<math>\omega^2 x + \frac {d^2 x} {dt^2} = 0.</math>
-Такім чынам, пры механічным гарманічным ваганні паскарэнне матэрыяльнага пункта прапарцыйна яго адхіленню ад пункта раўнавагі. Адпаведна да [[другі закон Ньютана|другога закона Ньютана]], гэта магчыма, калі на яго дзейнічае [[сіла]], велічыня якой вызначаецца формулай:
+Такім чынам, пры механічным гарманічным ваганні паскарэнне матэрыяльнага пункта прапарцыянальна яго адхіленню ад пункта раўнавагі. Адпаведна [[другі закон Ньютана|другому закону Ньютана]], гэта магчыма, калі на яго дзейнічае [[сіла]], велічыня якой вызначаецца формулай:
-<math>F = - k x</math>
+<math>F = - k x,</math>
-дзее k – [[каэфіцыент прапарцыянальнасці]]. Знак «мінус» адлюстроўвае той факт, што сіла дзейнічае ў напрамку, адваротным да адхілення.
+дзе {{math|''k''}} – [[каэфіцыент прапарцыянальнасці]]. Знак «мінус» адлюстроўвае той факт, што сіла дзейнічае ў напрамку, адваротным да адхілення.
 [[Вуглавая частата]] ваганняў складае
-<math>\omega = \sqrt \frac k m</math>
+<math>\omega = \sqrt \frac k m.</math>
 Яна, такім чынам, цалкам вызначаецца параметрамі сістэмы, што вагаецца, і не залежыць ад амплітуды ваганняў.
@@ Радок 43: / Радок 43: @@
 == Гл. таксама ==
 * [[Гарманічны асцылятар]]
-* [[Гарманічны шэраг гукаў]]
+* [[Гарманічны рад гукаў]]
 * [[Матэматычны маятнік]]
 * [[Фізічны маятнік]]