Вонкавая мера
Вонкавая мера (або знешняя мера) — адно з абагульненняў паняццяў даўжыні, плошчы і аб'ёму; з'яўляецца рэчаісназначнаю функцыяй, вызначанай на ўсіх падмноствах прасторы, якая адпавядае некаторым дадатковым умовам.
Гісторыя[правіць | правіць зыходнік]
Агульная тэорыя вонкавае меры была распрацована Канстанцінам Каратэадоры з мэтай стварыць падмурак для тэорыі вымерных мностваў і злічальна-адытыўных мер. Працы Каратэадоры па вонкавай меры знайшлі нямала прымяненняў у тэорыі вымерных мностваў. Напрыклад, вонкавая мера выкарыстоўваецца ў доказе фундаментальнай тэарэмы Каратэадоры аб працягу меры), таксама яна была выкарыстана Хаусдорфам для вызначэння метрычнага інварыянта, які абагульняе паняцце размернасці, цяпер ён называецца размернасцю Хаусдорфа.
Выпадак лікавай прамой[правіць | правіць зыходнік]
Для адвольнага падмноства лікавай прамой можна знайсці неабмежавана многа розных сістэм, які складаюцца з канечнай ці злічальнай колькасці прамежкаў, аб'яднанне якіх утрымлівае мноства Назавём такія сістэмы пакрыццямі. А раз для любога пакрыцця сума даўжынь прамежкаў, якія яго ўтвараюць, — велічыня неадмоўная, то яна абмежавана знізу, і таму мноства даўжынь усіх пакрыццяў мае дакладную ніжнюю мяжу. Гэта мяжа, якая залежыць толькі ад мноства і называецца вонкаваю мерай:
Іншы раз вонкавую меру абазначаюць як:
Аксіяматычнае азначэнне[правіць | правіць зыходнік]
Няхай X — пэўнае ўніверсальнае мноства.
Вонкавая мера на мностве X — гэта функцыя
якая вызначана на ўсіх падмноствах мноства X і адпавядае наступным умовам:
- нуль на пустом мностве: пустое мноства мае нулявую вонкавую меру
- манатоннасць: для любых двух падмностваў A і B мноства X
- злічальная паўадытыўнасць: для любой паслядоўнасці падмностваў мноства X справядліва няроўнасць:
Пашырэнне мер (канструктыўнае азначэнне)[правіць | правіць зыходнік]
Няхай — мера, вызначаная на некаторым колцы K падмностваў мноства X. Справядліва наступная тэарэма:
|
Часта гэту тэарэму прымаюць у якасці азначэння вонкавай меры. Пры гэтым аксіёмы вонкавай меры (а іменна, нуль на пустом мностве, манатоннасць і злічальная паўадытыўнасць) выводзяцца з аксіём звычайнай меры як уласцівасці (тэарэмы).
Уласцівасці вонкавай меры[правіць | правіць зыходнік]
- Для любога падмноства A і любой паслядоўнасці падмностваў мноства X
Доказ: з аксіём манатоннасці і злічальнай адытыўнасці маем:
μ*-вымерныя мноствы[правіць | правіць зыходнік]
Дапаўненне мноства E ў X абазначым як E':
Няхай — некаторая вонкавая мера, вызначаная на мностве X.
Мноства называецца -вымерным, калі для любога справядліва роўнасць:
Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]
Літаратура[правіць | правіць зыходнік]
- Халмош П.Р. Теория меры. М.: Изд-во иностр. лит., 1953
- Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла. Киев, 1989