Паверхня

Прыклад простай паверхні

Паверхня — традыцыйная назва для двухмернай разнастайнасці ў прасторы.

Спосабы задання

Паверхні вызначаецца як мноства пунктаў, каардынаты якіх задавальняюць вызначанаму віду ўраўненняў:

$F(x,\,y,\,z)=0\qquad (1)$

Калі функцыя $F(x,\,y,\,z)$ бесперапынная ў некаторым пункце і мае ў ёй бесперапынныя частковыя вытворныя, прынамсі адна з якіх не абарачаецца ў нуль, то ў наваколлі гэтага пункта паверхня, зададзеная ўраўненнем (1), будзе правільнай паверхняй.

Апроч азначанага вышэй няяўнага спосабу задання паверхня можа быць вызначана яўна, калі адну з пераменных, напрыклад z, можна выразіць праз астатнія:

$z=f(x,y)\qquad (1')$

Таксама існуе параметрычны спосаб задання. У гэтым выпадку паверхня вызначаецца сістэмай ураўненняў:

$\left\{ \begin{array}{ccc} x &=& x(u,v) \\ y &=& y(u,v) \\ z &=& z(u,v) \end{array}\right.\qquad (1'')$

Паняцце пра простую паверхню

Інтуітыўна простую паверхню можна прадставіць як кавалак плоскасці, падвергнуты бесперапынным дэфармацыям (расцяжэнням, сціскам і выгінам).

Стражэйша, простай паверхняй завецца вобраз гамеаморфнага адлюстравання (гэта значыць узаемна адназначнага і ўзаемна бесперапыннага адлюстравання) унутранасці адзінкавага квадрата. Гэтаму вызначэнню можна даць аналітычны выраз.

Хай на плоскасці з прамавугольнай сістэмай каардынат u і v зададзены квадрат, каардынаты ўнутраных пунктаў якога задавальняюць няроўнасцям 0 < u < 1, 0 < v < 1. Гамеаморфная выява квадрата ў прасторы з прамавугольнай сістэмай каардынат х, у, z задаецца пры дапамозе формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрычнае заданне паверхні). Пры гэтым ад функцый x(u, v), y(u, v) і z(u, v) патрабуецца, каб яны былі бесперапыннымі і каб для розных пунктаў (u, v) і (u', v') былі рознымі адпаведныя пункты (x, у, z) і (x', у', z').

Прыкладам простай паверхні з'яўляецца паўсфера. Уся ж сфера не з'яўляецца простай паверхняй. Гэта выклікае неабходнасць далейшага абагульнення паняцця паверхні.

Падмноства прасторы, у кожнага пункта якога ёсць наваколле і якая з'яўляецца простай паверхняй, завецца правільнай паверхняй.

Абагульненне

Пра шматмерныя аналогі тэорыі гл.:

• Гіперпаверхня
• Разнастайнасць
• Падшматстатнасць
• Тэнзарны аналіз