Тэарэма Піфагора

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
Навочны геаметрычны доказ тэарэмы

Тэарэма Піфагора — адна з асноўных тэарэм еўклідавай геаметрыі, якая вызначае сувязь паміж старанамі прамавугольнага трохвугольніка.

Гісторыя[правіць | правіць зыходнік]

Чжоу бі суань цзын 500-200 гадоў да нашай эры. Злева надпіс: сума квадратаў даўжынь вышыні і асновы ёсць квадрат даўжыні гіпатэнузы.

У старажытнакітайскай кнізе Чжоу бі суань цзын (кіт.: 周髀算經) гаворыцца пра піфагоравы трохвугольнік з бакамі 3, 4 і 5[1]. У гэтай жа кнізе прапанаваны малюнак, які супадае з адным з чарцяжоў індускай геаметрыі Басхары.

Морыц Кантар (найбуйнейшы нямецкі гісторык матэматыкі) лічыць, што роўнасць 3² + 4² = 5² было вядома ўжо егіпцянам яшчэ каля 2300 года да н. э., у часы цара Аменемхета I (згодна з папірусам 6619 Берлінскага музея). На думку Кантара, гарпеданапты, або «нацягвачы вяровак», будавалі прамыя вуглы пры дапамозе прамавугольных трохвугольнікаў з бакамі 3, 4 і 5.

Вельмі лёгка можна прайграць іх спосаб пабудовы. Возьмем вяроўку даўжынёю ў 12 м і прывяжам да яе па каляровыя палоскі на адлегласці 3 м ад аднаго канца і 4 метра ад іншага. Прамы вугал апынецца паміж бакамі даўжынёй у 3 і 4 метра. Гарпеданаптам можна было б запярэчыць, што іх спосаб пабудовы становіцца залішнім, калі скарыстацца, напрыклад, драўляным вугольнікам, што прымяняюцца усімі цеслямі. І сапраўды, вядомыя егіпецкія малюнкі, на якіх сустракаецца такі інструмент, — напрыклад, малюнкі, якія паказваюць сталярную майстэрню.

Некалькі больш вядома аб тэарэме Піфагора у вавіланян. У адным тэксце, якія адносяцца да часу Хамурапі, гэта значыць да 2000 года да н. э., прыводзіцца набліжанае вылічэнне гіпатэнузы роўнабаковага прамавугольнага трохвугольніка[2]. Адсюль можна зрабіць выснову, што ў Месапатаміі ўмелі рабіць вылічэнні з прамавугольным трохвугольніку, па меншай меры ў некаторых выпадках.

Грунтуючыся, з аднаго боку, на сённяшнім узроўні ведаў аб егіпецкай і вавілонскай матэматыцы, а з другога — на крытычным вывучэнні грэчаскіх крыніц, Ван-дэр-Вард (галандскі матэматык) зрабіў выснову аб вялікай імавернасці таго, што тэарэма аб квадраце гіпатэнузы была вядомая ў Вавілоне ўжо каля XVIII стагоддзя да н. э.

Згодна з каментарыю Прокла да Еўкліда, Піфагор (гадамі жыцця якога прынята лічыць 570-490 гг. да н. э.) выкарыстаў алгебраічныя метады, каб знаходзіць піфагоравыя тройкі. Аднак Прокл пісаў паміж 410 і 485 гг. н. э. Томас Літл Хіт лічыў, што не існуе відавочнага згадвання, які адносіцца да перыяду працягласцю 5 стагоддзяў пасля смерці Піфагора, што Піфагор быў аўтарам тэарэмы[3]. Аднак, калі аўтары, такія як Плутарх і Цыцэрон, пішуць пра тэарэму Піфагора, яны пішуць так, як быццам аўтарства Піфагора было шырока вядомым і несумнеўным[4][5]. «Ці прыналежыць гэтая формула асабіста пяру Піфагора…, але мы можам упэўнена лічыць, што яна належыць найстаражытнейшаму перыяду піфагоравай матэматыкі»[6]. Паводле падання, Піфагор адсвяткаваў адкрыццё сваёй тэарэмы гіганцкім балем, для якга закалолі на радасцях сотню быкоў[7].

Прыблізна ў 400 г. да н. э., згодна з Проклам, Платон даў метад знаходжання піфагоравых троек, які спалучае алгебру і геаметрыю. Прыблізна ў 300 г. да н. э. у «Пачатках» Еўкліда з'явілася найстарэйшы аксіяматычны доказ тэарэмы Піфагора[8].

Фармулёўкі[правіць | правіць зыходнік]

Тэарэма Піфагора: Сума плошчаў квадратаў, якія абпіраюцца на катэты (a і b), роўная плошчы квадрата, пабудаванага на гіпатэнузе (c).

Геаметрычная фармулёўка:

Першапачаткова тэарэма была сфармуліраваная наступным чынам:

У прамавугольным трохвугольніку плошча квадрата, пабудаванага на гіпатэнузе, роўная суме плошчаў квадратаў, пабудаваных на катэты.


Алгебраічная фармулёўка:

У прамавугольным трохвугольніку квадрат даўжыні гіпатэнузы роўны суме квадратаў даўжынь катэтаў.


Гэта значыць, пазначыўшы даўжыню гіпатэнузы трохвугольніка праз c, а даўжыні катэтаў праз a і b:

a^2 + b^2 = c^2

Абедзве фармулёўкі тэарэмы эквівалентныя, але другая фармулёўка больш элементарна, яна не патрабуе паняцці плошчы. Гэта значыць другое зацвярджэнне можна праверыць, нічога не ведаючы пра плошчы і вымераўшы толькі даўжыні бакоў прамавугольнага трохвугольніка.

Адваротная тэарэма Піфагора:

Для ўсякай тройкі станоўчых лікаў a, b и c, такой, што a^2 + b^2 = c^2, існуе прамавугольны трохвугольнік з катэтамі a і b і гіпатэнузай c.


Доказы[правіць | правіць зыходнік]

На дадзены момант у навуковай літаратуры зафіксавана 367 доказаў дадзенай тэарэмы[9]. Верагодна, тэарэма Піфагора з'яўляецца адзінай тэарэмай са гэтак вялікім лікам доказаў. Такое разнастайнасць можна растлумачыць толькі фундаментальным значэннем тэарэмы для геаметрыі.

Зразумела, канцэптуальна усе іх можна разбіць на малое колькасць класаў. Самыя вядомыя з іх: доказы метадам плошчаў, аксіяматычныя і экзатычныя доказы (напрыклад, з дапамогай дыферэнцыяльных ураўненняў).

Праз падобныя трохвуглоьнікі[правіць | правіць зыходнік]

Наступны доказ алгебраічнай фармулёўкі — найбольш просты з доказаў, якія будуюцца напрамую з аксіём. У прыватнасці, ён не выкарыстоўвае паняцце плошчы фігуры.

Хай ABC ёсць прамавугольны трохвугольнік з прамым вуглом C. Зробім вышыню з C і абазначым яе падстава праз H. Трохвугольнік ACH падобны да трохвугольніку ABC па двух вуглах. Аналагічна, трохвугольнік CBH падобны да ABC. Увёўшы абазначэнні

 |BC|=a, |AC|=b, |AB|=c

атрымаем

 \frac{a}{c}=\frac{|HB|}{a}; \frac{b}{c}=\frac{|AH|}{b}.

Што эквівалентна

a^2=c\cdot |HB|; b^2=c\cdot |AH|.

Дадаўшы, атрымаем

a^2+b^2=c\cdot\left(|HB|+|AH|\right)=c^2.

або

a^2+b^2=c^2, што і патрабавалася даказаць.

Доказы метадам плошчаў[правіць | правіць зыходнік]

Ніжэй прыведзеныя доказы, нягледзячы на іх ўяўную прастату, зусім не такія простыя. Усе яны выкарыстоўваюць ўласцівасці плошчы, доказы якіх складаней доказы самой тэарэмы Піфагора.

Доказ праз роўнадапаўняльнасць[правіць | правіць зыходнік]

Мал.1
  1. Размесцім чатыры роўных прамавугольных трохвугольніка так, як паказана на малюнку 1.
  2. Чатырохвугольнік з бакамі c з'яўляецца квадратам, так як сума двух вострых вуглоў 90°, а разгорнуты вугал — 180°.
  3. Плошча ўсёй фігуры роўная, з аднаго боку, плошчы квадрата з бокам (a+b), а з другога боку, суме плошчаў чатырох трохвугольнікаў і плошчы ўнутранага квадрата.
(a+b)^2=4\cdot\frac{ab}{2}+c^2;
a^2+2ab+b^2=2ab+c^2;\frac{}{}
c^2=a^2+b^2;\frac{}{}

Што і патрабавалася даказаць.

Доказ Еўкліда[правіць | правіць зыходнік]

Чарцёж да доказу Еўкліда
Ілюстрацыя да доказу Еўкліда

Ідэя доказу Еўкліда складаецца ў наступным: паспрабуем даказаць, што палова плошчы квадрата, пабудаванага на гіпатэнузы, роўная суме палоў плошчаў квадратаў, пабудаваных на катэты, а тады і плошчы вялікага і двух малых квадратаў роўныя.

Разгледзім чарцёж злева. На ім мы пабудавалі квадраты на баках прамавугольнага трохвугольніка і правялі з вяршыні прамога вугла С прамень s перпендыкулярна гіпатэнузе AB, ён рассякае квадрат ABIK, пабудаваны на гіпатэнузы, на два прамавугольніка — BHJI і HAKJ адпаведна. Аказваецца, што плошчы дадзеных прамавугольнікаў у дакладнасці роўныя плошчам квадратаў, пабудаваных на адпаведных катэтах.

Паспрабуем даказаць, што плошча квадрата DECA роўная плошчы прамавугольніка AHJK. Для гэтага скарыстаемся дапаможным наглядам: Плошча трохвугольніка з той жа вышынёй і асновай, што і дадзены трохвугольнік, роўная палове плошчы зададзенага прамавугольніка. Гэта следства вызначэння плошчы трохвугольніка як паловы здабытку асновы на вышыню. З гэтага назірання выцякае, што плошча трохвугольніка ACK роўная плошчы трохвугольніка AHK (не намаляванага на малюнку), якая, у сваю чаргу, роўная палове плошчы прамавугольніка AHJK.

Дакажам цяпер, што плошча трохвугольніка ACK таксама роўная палове плошчы квадрата DECA. Адзінае, што неабходна для гэтага зрабіць, — гэта даказаць роўнасць трохвугольнікаў ACK і BDA (так як плошча трохвугольніка BDA роўная палове плошчы квадрата па паказанай вышэй ўласцівасці). Роўнасць гэта відавочная: трохвугольнікі роўныя па двух баках і вуглу паміж імі. Менавіта — AB = AK, AD = AC — роўнасць вуглоў CAK і BAD лёгка даказаць метадам руху: повернём трохвугольнік CAK на 90° супраць гадзіннікавай стрэлкі, тады відавочна, што адпаведныя боку двух разгляданых трохвугольнікаў супадуць (з прычыны таго, што вугал пры вяршыні квадрата 90°).

Разважанне аб роўнасці плошчаў квадрата BCFG і прамавугольніка BHJI зусім аналагічнае.

Тым самым мы даказалі, што плошча квадрата, пабудаванага на гіпатэнузы, складаецца з плошчаў квадратаў, пабудаваных на катэтах. Ідэя дадзенага доказу дадаткова праілюстравана з дапамогай анімацыі, размешчанай вышэй.

Дадзены доказ таксама атрымаў назву «піфагоравы штаны».

Доказ Леанарда да Вінчы[правіць | правіць зыходнік]

Доказ Леанарда да Вінчы

Галоўныя элементы доказы - сіметрыя і рух.

Разгледзім чарцёж, як відаць з сіметрыі, адрэзак CI рассякае квадрат ABHJ на дзве аднолькавыя часткі (так як трохвугольнікі ABC і JHI роўныя па пабудове).

Карыстаючыся паваротам на 90 градусаў супраць гадзіннікавай стрэлкі вакол пункту A, мы ўгледжваем роўнасць заштрыхаваных фігур CAJI і DABG.

Цяпер ясна, што плошча заштрыхаванай намі фігуры роўная суме палоў плошчаў маленькіх квадратаў (пабудаваных на катэтах) і плошчы зыходнага трохвугольніка. З іншага боку, яна роўная палове плошчы вялікага квадрата (пабудаванага на гіпатэнузы) плюс плошчу зыходнага трохвугольніка. Такім чынам, палова сумы плошчаў маленькіх квадратаў роўная палове плошчы вялікага квадрата, а такім чынам сума плошчаў квадратаў, пабудаваных на катэтах роўная плошчы квадрата, пабудаванага на гіпатэнузы.

Доказ метадам бясконца малых[правіць | правіць зыходнік]

Наступны доказ пры дапамозе дыферэнцыяльных ураўненняў часта прыпісваюць вядомаму англійскаму матэматыку Хардзі, які жыў у першай палове XX стагоддзя.

Разглядаючы чарцёж, паказаны на малюнку, і назіраючы змену боку a, мы можам запісаць наступныя суадносіны для бясконца малых прырашчэння бакоў с і a (выкарыстоўваючы падабенства трохвугольнікаў):

Доказ метадам бясконца малых
\frac {da}{dc} = \frac {c}{a}

Карыстаючыся метадам падзелу зменных, знаходзім

c\, dc = a\, da

Больш агульны выраз для змены гіпатэнузы ў выпадку прырашчэння абодвух катэтаў

c\ dc = a\, da + b\, db

Інтэгруючы дадзенае ўраўненне і выкарыстоўваючы пачатковыя ўмовы, атрымліваем

c^2 = a^2 +b^2 + \mathrm{constant}.
a = b = c = 0 \Rightarrow \mathrm{constant} = 0

Такім чынам, мы прыходзім да жаданага адказу

c^2 = a^2 +b^2.

Як няцяжка бачыць, квадратычнай залежнасць ў канчатковай формуле з'яўляецца дзякуючы лінейнай прапарцыянальнасці паміж бакамі трохвугольніка і прырашчэннем, тады як сума звязана з незалежнымі укладамі ад прырашчэння розных катэтаў.

Больш просты доказ можна атрымаць, калі лічыць, што адзін з катэтаў не адчувае прырашчэння (у дадзеным выпадку катэт b). Тады для канстанты інтэгравання атрымаем

a=0 \Rightarrow c^2 = b^2 = \mathrm{constant}.

Варыяцыі і абагульненні[правіць | правіць зыходнік]

Падобныя геаметрычныя фігуры на трох баках[правіць | правіць зыходнік]

Абагульненне для падобных трохвугольнікаў, плошча зялёных фігур A + B = плошчы сіняй C
Тэарэма Піфагора з выкарыстаннем падобных прамавугольных трохвугольнікаў

Абагульненне тэарэмы Піфагора зрабіў Еўклід ў сваёй працы ЦПачаткі", пашырыўшы плошчы квадратаў на баках да плошчаў падобных геаметрычных фігур[10]:

Калі пабудаваць падобныя геаметрычныя фігуры (гл. Эўклідава геаметрыя) на баках прамавугольнага трохвугольніка, тады сума двух меншых фігур будзе раўняцца плошчы большай фігуры.

Галоўная ідэя гэтага абагульнення заключаецца ў тым, што плошча падобнай геаметрычнай фігуры прапарцыянальная квадрату любога свайго лінейнага памеру і ў прыватнасці квадрату даўжыні любога боку. Такім чынам, для падобных фігур з плошчамі A, B і C пабудаваных на баках з даўжынёй a, b і c, маем:

\frac{A}{a^2} = \frac{B}{b^2} = \frac{C}{c^2}\, ,
\Rightarrow A + B = \frac{a^2}{c^2}C + \frac{b^2}{c^2}C\, .

Але, па тэарэме Піфагора, a2 + b2 = c2, тады A + B = C.

І наадварот, калі мы зможам даказаць, што A + B = C для трох падобных геаметрычных фігур без выкарыстання тэарэмы Піфагора, тады мы зможам даказаць саму тэарэму, рухаючыся ў зваротным кірунку. Напрыклад, стартавы цэнтральны трохвугольнік можа быць паўторна выкарыстаны як трохвугольнік C на гіпатэнузы, і два падобных прамавугольных трохвугольніка (A і B), пабудаваныя на двух іншых баках, якія ўтвараюцца ў выніку дзялення цэнтральнага трохвугольніка яго вышынёй. Сума двух меншых плошчаў трохвугольнікаў тады, відавочна, роўная плошчы трэцяга, такім чынам A + B = C і, выконваючы папярэдняе даказванне ў зваротным парадку, атрымаем тэарэму Піфагора a2 + b2 = c2.

Тэарэма косінусаў[правіць | правіць зыходнік]

Тэарэма Піфагора — гэта прыватны выпадак больш агульнай тэарэмы косінусаў, якая звязвае даўжыні бакоў у адвольным трохвугольніку:[11]

a^2+b^2-2ab\cos{\theta}=c^2, \,

дзе θ - вугал паміж бакамі a і b.

Калі θ роўны 90 градусаў, тады cosθ = 0 і формула спрашчаецца да звычайнай тэарэмы Піфагора.

Адвольны трохвугольнік[правіць | правіць зыходнік]

Абагульненне тэарэмы Піфагора ад Сабіта ібн Кура.[12] Ніжні малюнак: адлюстраванне трохвугольніка ABD (зверху), каб утварыць трохвугольнік DBA, падобны трохвугольніку ABC (верхні).

У любы абраны вугал адвольнага трохвугольніка з бакамі a, b, c ўпішамся роўнабаковы трохвугольнік такім чынам, каб роўныя вуглы пры яго аснове θ былі роўныя выбраным куце. Дапусцім, што абраны вугал θ размешчаны насупраць боку, пазначанай c. У выніку мы атрымалі трохвугольнік ABD з вуглом θ, што размешчаны насупраць боку a і боку r. Другі трохвугольнік утворыцца вуглом θ, што размешчаны насупраць боку b і боку з даўжынёй s, як паказана на малюнку. Сабіт Ібн Кура[13] сцвярджаў, што бакі ў гэтых трох трохвугольніках звязаныя наступным чынам:[14][15]

 a^2 +b^2 =c(r+s) \ .

Калі вугал θ набліжаецца да π/2, аснова роўнабаковага трохвугольніка памяншаецца, і два бакі r і s перакрываюць адзін аднаго ўсё менш і менш. Калі θ = π/2, ADB ператвараецца ў прамавугольны трохвугольнік, r + s = c і атрымліваем пачатковую тэарэму Піфагора.

Разгледзім адзін з довадаў. Трохвугольнік ABC мае такія ж вуглы, як і Трохвугольнік ABD, але ў зваротным парадку. (Два трохвугольніка маюць агульны вугал пры вяршыні B, абодва маюць кут θ і таксама маюць аднолькавы трэці вугал, па суме вуглоў трохвугольніка) Адпаведна, ABC — падобны да адбіцця ABD трохвугольніка DBA, як паказана на ніжнім малюнку. Запішам суадносіны паміж супрацьлеглымі бакамі і прылеглымі да вугла θ,

\frac{c}{a} = \frac{a}{r} \ .

Гэтак жа адлюстраванне іншага трохвугольніка,

\frac{c}{b} = \frac{b}{s} \ .

Перамнажаць дробы і дадамо гэтыя дзве суадносіны:

 cr +cs = a^2 +b^2 \ ,

што і патрабавалася даказаць.

Абагульненне для адвольных трохвугольнікаў праз паралелаграмы[правіць | правіць зыходнік]

Абагульненне для адвольных трохвугольнікаў,
плошча зялёнага участка = плошчы сіняга
Доказ тэзы, што на малюнку вышэй

Зробім далейшае абагульненне для непрамавугольных трохвугольнікаў, выкарыстоўваючы паралелаграмы на трох баках замест квадратаў[16]. (квадраты — прыватны выпадак.) Верхні малюнак дэманструе, што для востравугольнага трохвугольніка плошчу паралелаграма на доўгім баку роўная суме паралелаграма на двух іншых баках, пры ўмове што паралелаграм на доўгай баку пабудаваны, як намалявана на малюнку (памеры, адзначаныя стрэлкамі, аднолькавыя і вызначаюць бакі ніжняга паралелаграма). Гэтая замена квадратаў паралелаграма мае дакладнае падабенства з пачатковай тэарэмай Піфагора, лічыцца, што яе сфармуляваў Пап Александрыйскі ў 4 г. н. э.[16]

Ніжні малюнак паказвае ход доказу. Паглядзім на левы бок трохвугольніка. Левы зялёны паралелаграм мае такую ж плошчу, як левая частка сіняга паралелаграма, таму што яны маюць такое ж аснова b і вышыню h. Акрамя таго, левы зялёны паралелаграм мае такую ж плошчу, як левы зялёны паралелаграм на верхнім малюнку, таму што яны маюць агульную аснова (верхняя левы бок трохвугольніка) і агульную вышыню, перпендыкулярную да гэтай баку трохвугольніка. Аналагічна разважаючы для правага боку трохвугольніка дакажам, што ніжні паралелаграм мае такую ж плошчу, як у двух зялёных паралелаграмаў.

Комплексныя чысла[правіць | правіць зыходнік]

Тэарэму Піфагора выкарыстоўваюць, каб знайсці адлегласць паміж двума пунктамі ў дэкартавай каардынатнай сістэме, і гэтая тэарэма справядлівая для ўсіх сапраўдных каардынат: адлегласць s паміж двума пунктамі (a, b) і (c, d) роўна

s = \sqrt{(a-c)^2 + (b-d)^2}.\

Не ўзнікае праблем з формулай, калі да комплексным лікаў адносіцца як да вектарах з сапраўднымі кампанентамі x + i y = (x, y). Напрыклад, адлегласць s паміж 0 + 1i і 1 + 0i разлічваем як модуль вектара (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), або

 s = \sqrt{ (-1)^2 +1^2} = \sqrt{2}.\

Тым не менш, для аперацый з вектарамі з комплекснымі каардынатамі неабходна правесці некаторае ўдасканаленне формулы Піфагора. Адлегласць паміж пунктамі з комплекснымі лікамі (a, b) і (c, d); a, b, c, і d ўсё комплексныя, сфармулюем выкарыстоўваючы абсалютныя велічыні. Адлегласць s заснавана на вектарнай розніцы (ac, bd) у наступным выглядзе[17]: хай розніца 'a c = p + i q, где p — сапраўдная частка розніцы, q — уяўная частка, і i = √(−1). Аналагічна, хай b d = r + is. Тады:


\begin{align}
s &= \sqrt{(p+iq)\overline{(p+iq)} + (r+is)\overline{(r+is)}} \\
  &= \sqrt{(p+iq)(p-iq) + (r+is)(r-is)} \\
  &= \sqrt{p^2 + q^2 + r^2 + s^2},
\end{align}

дзе \overline{\mathit z} — гэта комплексны спалучаны лік для \mathit z\ . Напрыклад, адлегласць паміж пунктамі (a, b) = (0, 1) і (c, d) = (i, 0), разлічым розніцай (ac, bd) = (−i, 1) і ў выніку мы б атрымалі 0, калі б не былі выкарыстаныя комплексныя спалучаныя. Такім чынам, выкарыстоўваючы удасканаленую формулу, атрымаем

s = \sqrt{(-i)\cdot(\overline{-i}) + 1 \cdot\overline{1}}= \sqrt{(-i)\cdot{i} + 1 \cdot{1}} = \sqrt{2}. \,

Модуль вызначаны наступным чынам:

\|\mathbf p \| = \sqrt{\mathbf {p \cdot \overline{p}}} = \sqrt{|p_1|^2 + |p_2|^2 + \dots +|p_n|^2} \ ,

што ўяўляе сабой эрмітавы скалярны здабытак[18].

Стэрэаметрыя[правіць | правіць зыходнік]

Значным абагульненнем тэарэмы Піфагора для трохмернай прасторы з'яўляецца тэарэма дэ Гуа, названая ў гонар Ж.-П. дэ Гуа: калі тэтраэдр мае прамы вугал (як у кубе), тады квадрат плошчы мяжы, якая ляжыць насупраць прамога вугла, роўны суме квадратаў плошчаў іншых трох граняў. Гэтая выснова можа быць абагульнены як «n-мерная тэарэма Піфагора»:[19]

Тэарэма Піфагора ў трохмернай прасторы звязвае дыяганаль AD з трыма бакамі.

Іншае абагульненне: Тэарэма Піфагора можа быць прыменена для стэрэаметрыі ў наступным выглядзе. Разгледзім прамавугольны паралелепіпед, як паказана на малюнку. Знойдзем даўжыню дыяганалі BD па тэарэме Піфагора:

 \overline{BD}^{\,2} = \overline{BC}^{\,2} + \overline{CD}^{\,2} \ ,

дзе тры бакі ўтвараюць прастакутны трохвугольнік. Выкарыстоўваем гарызантальную дыяганаль BD і вертыкальнае рабро AB, каб знайсці даўжыню дыяганалі AD, для гэтага зноў выкарыстоўваем тэарэму Піфагора:

 \overline{AD}^{\,2} = \overline{AB}^{\,2} + \overline{BD}^{\,2} \ ,

або, калі ўсё запісаць адным ураўненнем:

 \overline{AD}^{\,2} = \overline{AB}^{\,2} + \overline{BC}^{\,2} + \overline{CD}^{\,2}  \ .

Гэты вынік — гэта трохмерны выраз для вызначэння велічыні вектара v (дыяганаль AD), выяўленага праз яго перпендыкулярныя складнікі {vk} (тры ўзаемна перпендыкулярныя бакі):

\|\mathbf{v}\|^2 = \sum_{k=1}^3 \|\mathbf{v}_k\|^2.

Гэта ўраўненне можна разглядаць як абагульненне тэарэмы Піфагора для шматмернай прасторы. Аднак, вынік на самай справе ёсць не што іншае, як неаднаразовае прымяненне тэарэмы Піфагора да паслядоўнасці прамавугольных трохвугольнікаў ў паслядоўна перпендыкулярных плоскасцях.

Вектарная прастора[правіць | правіць зыходнік]

У выпадку артаганальнай сістэмы вектараў \{v_k\}\frac{}{} мае месца роўнасць, якое таксама называюць тэарэмай Піфагора:

\sum_{k=1}^{n} \|v_k \|^2 = \left\|\sum_{k=1}^{n} v_k \right\|^2.

Калі \{v_k\}\frac{}{} — гэта праекцыі вектара на каардынатныя восі, то гэтая формула супадае з адлегласцю Еўкліда — і азначае, што даўжыня вектару роўная пні квадратнага сумы квадратаў яго кампанентаў.

Аналаг гэтага роўнасці ў выпадку бясконцай сістэмы вектараў мае назву роўнасці Парсеваля.

Нееўклідава геаметрыя[правіць | правіць зыходнік]

Тэарэма Піфагора выводзіцца з аксіём еўклідавай геаметрыі і, фактычна, не сапраўдная для нееўклідавай геаметрыі, у тым выглядзе, у якім запісана вышэй[20]. (Гэта значыць тэарэма Піфагора аказваецца своеасаблівым эквівалентам пастулату Еўкліда аб паралельнасці[21][22]) Іншымі словамі, у нееўклідавай геаметрыі суадносіны паміж бакамі трохвугольніка абавязкова будзе ў форме, якая адрозніваецца ад тэарэмы Піфагора. Напрыклад, у сферычнай геаметрыі ўсе тры бакі прамавугольнага (скажам a, b і c), якія абмяжоўваюць сабой актант (восьмую частку) адзінкавай сферы, маюць даўжыню π/2, што супярэчыць тэарэме Піфагора, таму што a2 + b2c2.

Разгледзім тут два выпадкі нееўклідавай геаметрыі — сферычная і гіпербалічныя геаметрыя; у абодвух выпадках, як і для еўклідавай прасторы для прамавугольных трохвугольнікаў, вынік, які замяняе тэарэму Піфагора, вынікае з тэарэмы косінусаў.

Аднак, тэарэма Піфагора застаецца справядлівай для гіпербалічнай і эліптычнай геаметрыі, калі патрабаванне аб прамавугольнага трохвугольніка замяніць умовай, што сума двух вуглоў трохвугольніка павінна раўняцца трэцяму, скажам A+B = C. Тады суадносіны паміж бакамі выглядае так: сума плошчаў колаў з дыяметрамі a і b роўная плошчы круга з дыяметрам c.[23]

Сферычная геаметрыя[правіць | правіць зыходнік]

Сферычны трохвугольнік

Для любога прамавугольнага трохвугольніка на сферы радыусам R (напрыклад, калі вугал γ ў трыкутніку прамы) з бакамі a, b, c суадносіны паміж бакамі будуць мець такі выгляд:[24]

 \cos \left(\frac{c}{R}\right)=\cos \left(\frac{a}{R}\right)\cos \left(\frac{b}{R}\right).

Гэта роўнасць можа быць выведзена як асаблівы выпадак сферычнай тэарэмы косінусаў, якая справядліва для ўсіх сферычных трохвугольнікаў:

 \cos \left(\frac{c}{R}\right)=\cos \left(\frac{a}{R}\right)\cos \left(\frac{b}{R}\right) +\sin\left(\frac{a}{R}\right) \sin\left(\frac{b}{R}\right) \cos \gamma \ .

Ужываючы рад Тэйлара ў функцыі косінуса cos x ≈ 1 − x2/2 можна паказаць, што калі радыус R набліжаецца да бясконцасці, а аргументы a/R, b/R і c/R набліжаюцца да нуля, сферычныя суадносіны паміж бакамі ў прамавугольным трохвугольніку набліжаецца да тэарэмы Піфагора. Падставім набліжаныя значэнні для кожнага косінуса:

1-\left(\frac{c}{R}\right)^2= \left[1-\left(\frac{a}{R}\right)^2 \right]\left[1-\left(\frac{b}{R}\right)^2 \right] + o(a^2+b^2)

Перамнажаць выразы ў дужках, атрымаем тэарэму Піфагора для вялікіх радыусаў R:

\left(\frac{c}{R}\right)^2= \left(\frac{a}{R}\right)^2 + \left(\frac{b}{R}\right)^2 + o(a^2+b^2),

дзе «higher order terms» — складнікі вышэйшага парадку, якімі можна грэбаваць пры вялікіх значэннях R.

Гіпербалічныя геаметрыя[правіць | правіць зыходнік]

Гіпербалічны трохвугольнік

Для прамавугольнага трохвугольніка ў гіпербалічнай геаметрыі з бакамі a, b, c, калі бок c размешчаны насупраць прамога вугла, суадносіны паміж бакамі будуць такімі[25]

 \mathrm{ch} c=\mathrm{ch} a\,\mathrm{ch} b

где ch — гіпербалічны косінус[26]. Гэтая формула з'яўляецца прыватным выпадкам гіпербалічнай тэарэмы косінусаў, якая справядлівая для ўсіх трохвугольнікаў:[27]

\mathrm{ch}c= \mathrm{ch} a \ \mathrm{ch} b - \mathrm{sh} a \ \mathrm{sh} \ \cos \gamma \ ,

дзе \gamma — гэта вугал, вяршыня якога процілеглая баку c.

Выкарыстоўваючы рад Тэйлара для гіпербалічнага косінуса \mathrm{ch}x \approx 1 + x^2 / 2, можна даказаць, што калі гіпербалічны трохвугольнік памяншаецца (гэта значыць, калі a, b, і c набліжаюцца да нуля), то гіпербалічныя суадносіны ў прамавугольным трохвугольніку набліжаюцца да тэарэмы Піфагора.

Дыферэнцыяльная геаметрыя[правіць | правіць зыходнік]

Адлегласць паміж пунктамі, аддаленымі адзін ад аднаго на бясконца малую велічыню ў дэкартавых (уверсе) палярных каардынатах (унізе), згодна з тэарэмай Піфагора

У трохмернай прасторы для двух пунктаў, аддаленых адзін ад аднаго на бясконца малую адлегласць, запішам тэарэму Піфагора:

ds^2 = dx^2 + dy^2 +dz^2,\,

дзе ds — гэта адлегласць паміж пунктамі, а (dx, dy, dz) — кампаненты вектара, якія злучаюць гэтыя два пункты. Такая прастора называецца еўклідавай. Аднак, абагульненне гэтага выказвання прыдатна для агульных каардынат (не толькі дэкартавых) і агульных прастор (не толькі еўклідавай) і мае выгляд:[28]

ds^2 = \sum_{i,j}^n g_{ij}\, dx_i\, dx_j

дзе gij называецца метрычным тэнзарам. Ён можа быць функцыяй пазіцыі. Такія крывалінейныя прасторы ўключаюць Рыманаву геаметрыю як агульны прыклад. Гэта фармулёўка таксама падыходзіць для еўклідавай прасторы пры ўжыванні крывалінейных каардынат. Напрыклад, для палярных каардынат:

ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 \ .

Вектарны здабытак[правіць | правіць зыходнік]

Плошча паралелаграма як вектарны здабытак; вектары a і b задаюць плоскасць, а вектар a × b перпендыкулярны да гэтай плоскасці.

Тэарэма Піфагора звязвае два выразы велічыні вектарнага здабытку. Адзін з падыходаў да вызначэння вектарнага здабытку патрабуе, каб ён задавальняў ураўненні:[29]

 \|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\|^2  = \|\mathbf{a}\|^2  \|\mathbf{b}\|^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 \,

ў гэтай формуле выкарыстоўваецца скалярны здабытак. Правы бок ўраўненні называецца дэтэрмінант Грама для a і b, што роўна плошчы паралелаграма, ўтворанага гэтымі двума вектарамі. Зыходзячы з гэтага патрабавання, а таксама патрабавання аб перпендыкулярнасці вектарнага здабытку да яго складнікаў a і b вынікае, што, за выключэннем трывіяльных выпадкаў з 0- і 1-мернай прасторы, вектарны здабытак вызначаны толькі ў трох і сямі вымярэннях[30]. Выкарыстоўваем вызначэнне вугла ў n-мернай прасторы:[31]

 (\mathbf{a \cdot b}) = ab \ \cos \theta \ ,

гэта ўласцівасць вектарнага здабытку дае яго велічыню ў такім выглядзе:

 \|\mathbf{ a \times b} \|^2 =a^2 b^2 \left(1 - \cos^2 \theta \right). \,

Праз фундаментальную трыганаметрычную тоеснасць Піфагора[32] атрымліваем іншую форму запісу яго велічыні:

[32] Альтэрнатыўны падыход да вызначэння вектарнага здабытку выкарыстоўвае выраз для яго велічыні. Тады, разважаючы ў зваротным парадку, атрымліваем сувязь са скалярных здабыткам:

 \|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\|^2  = \|\mathbf{a}\|^2  \|\mathbf{b}\|^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 \

Тэорыя лікаў[правіць | правіць зыходнік]

Піфагоравай тройкай называецца набор з трох натуральных лікаў (x,\;y,\;z), якія задавальняюць наступнаму аднароднаму квадратнаму ўраўненні:

x^2 + y^2 = z^2.

Фармулёўка «Вялікай тэарэмы Ферма» аналагічная задачы знаходжання піфагоравых троек для ступені больш за 2.

Згадка ў мастацкай літаратуры[правіць | правіць зыходнік]

Тэарэма Піфагора згадваецца ў аповесці Яўгена Вялцістава «Электронік — хлопчык з валізкі», дзе Электронік ў ролі Сыраежкіна на ўроку матэматыкі ў школе сцвярджае, што можа даказаць тэарэму Піфагора дваццаццю пяццю спосабамі і прыводзіць некаторыя з іх, чым дзівіць клас і настаўніка матэматыкі Таратара.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Зноскі

  1. Наука, техническая и военная мысль, здравоохранение и образование // Духовная культура Китая: энциклопедия в 5 томах / М. Л. Титаренко — М.: Восточная литература РАН, 2009. — Т. 5. — С. 939-941. — 1055 с. — ISBN 9785020184299.
  2. History topic: Pythagoras’s theorem in Babylonian mathematics
  3. (Euclid 1956, С. 351) С. 351
  4. (Heath 1921, Vol I, p. 144)
  5. Обсуждение исторических фактов приведено в (Euclid 1956, С. 351) С. 351
  6. Kurt Von Fritz (Apr., 1945). "The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum". The Annals of Mathematics, Second Series (Annals of Mathematics) 46 (2): 242–264. 
  7. Льюис Кэррол, «История с узелками», М., Мир, 1985, с. 7
  8. Asger Aaboe (1997). Episodes from the early history of mathematics. Mathematical Association of America. p. 51. ISBN 0883856131. http://books.google.com/books?id=5wGzF0wPFYgC&pg=PA51. "...it is not until Euclid that we find a logical sequence of general theorems with proper proofs." 
  9. Pythagorean Proposition, by Elisha Scott Loomis
  10. Euclid’s Elements: Book VI, Proposition VI 31: «In right-angled triangles the figure on the side subtending the right angle is equal to the similar and similarly described figures on the sides containing the right angle.»
  11. Lawrence S. Leff (2005-05-01). cited work. Barron's Educational Series. p. 326. ISBN 0764128922. http://books.google.com/?id=y_7yrqrHTb4C&pg=PA326. 
  12. Howard Whitley Eves (1983). "§4.8:...generalization of Pythagorean theorem". Great moments in mathematics (before 1650). Mathematical Association of America. p. 41. ISBN 0883853108. http://books.google.com/books?id=9_w5jDPTvCQC&pg=PA41. 
  13. Tâbit ibn Qorra (full name Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826—901 AD) was a physician living in Baghdad who wrote extensively on Euclid’s Elements and other mathematical subjects.
  14. Aydin Sayili (Mar. 1960). "Thâbit ibn Qurra's Generalization of the Pythagorean Theorem". Isis 51 (1): 35–37. doi:10.1086/348837. 
  15. Judith D. Sally, Paul Sally (2007-12-21). "Exercise 2.10 (ii)". Cited work. p. 62. ISBN 0821844032. http://books.google.com/books?id=nHxBw-WlECUC&pg=PA62. 
  16. 16,0 16,1 For the details of such a construction, see George Jennings (1997). "Figure 1.32: The generalized Pythagorean theorem". Modern geometry with applications: with 150 figures (3rd ed.). Springer. p. 23. ISBN 038794222X. http://books.google.com/?id=6OhcE7YQY8QC&pg=PA23. 
  17. Arlen Brown, Carl M. Pearcy (1995). "Item C: Norm for an arbitrary n-tuple ...". An introduction to analysis. Springer. p. 124. ISBN 0387943692. http://books.google.com/books?id=Y2Mwck8Q9A4C&pg=PA124.  See also pages 47-50.
  18. Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon (2006). Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica (3rd ed.). CRC Press. p. 194. ISBN 1584884487. http://books.google.com/?id=TGw98Z6Cv-EC&pg=PA194. 
  19. Rajendra Bhatia (1997). Matrix analysis. Springer. p. 21. ISBN 0387948465. http://books.google.com/?id=eay3HALl620C&pg=PA21. 
  20. Stephen W. Hawking (2005). cited work. p. 4. ISBN 0762419229. http://books.google.com/books?id=3zdFSOS3f4AC&pg=PA4. 
  21. Eric W. Weisstein (2003). CRC concise encyclopedia of mathematics (2nd ed.). p. 2147. ISBN 1584883472. http://books.google.com/books?id=aFDWuZZslUUC&pg=PA2147. "The parallel postulate is equivalent to the Equidistance postulate, Playfair axiom, Proclus axiom, the Triangle postulate and the Pythagorean theorem." 
  22. Alexander R. Pruss (2006). The principle of sufficient reason: a reassessment. Cambridge University Press. p. 11. ISBN 052185959X. http://books.google.com/books?id=8qAxk1rXIjQC&pg=PA11. "We could include...the parallel postulate and derive the Pythagorean theorem. Or we could instead make the Pythagorean theorem among the other axioms and derive the parallel postulate." 
  23. Victor Pambuccian (December 2010). "Maria Teresa Calapso's Hyperbolic Pythagorean Theorem". The Mathematical Intelligencer 32 (4): 2. doi:10.1007/s00283-010-9169-0. 
  24. Barrett O'Neill (2006). "Exercise 4". Elementary differential geometry (2nd ed.). Academic Press. p. 441. ISBN 0120887355. http://books.google.com/?id=OtbNXAIve_AC&pg=PA441. 
  25. Saul Stahl (1993). "Theorem 8.3". The Poincaré half-plane: a gateway to modern geometry. Jones & Bartlett Learning. p. 122. ISBN 086720298X. http://books.google.com/?id=TABicHVMQhMC&pg=PA122. 
  26. Микиша А. М., Орлов В. Б. «Толковый математический словарь. Основные термины.», М. «Русский язык», 1989 г.
  27. Jane Gilman (1995). "Hyperbolic triangles". Two-generator discrete subgroups of PSL(2,R). American Mathematical Society Bookstore. ISBN 0821803611. http://books.google.com/?id=YRFz9Zj_vAAC&pg=PA74. 
  28. Tai L. Chow (2000). Mathematical methods for physicists: a concise introduction. Cambridge University Press. p. 52. ISBN 0521655447. http://books.google.com/?id=MpRXPOYZzfUC&pg=PA52. 
  29. WS Massey (Dec. 1983). "Cross products of vectors in higher dimensional Euclidean spaces". The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 90 (10): 697–701. doi:10.2307/2323537. 
  30. Although a cross-product involving n − 1 vectors can be found in n dimensions, a cross-product involving only two vectors can be found only in 3 dimensions and in 7 dimensions. See Pertti Lounesto (2001). "§7.4 Cross product of two vectors". Clifford algebras and spinors (2nd ed.). Cambridge University Press. p. 96. ISBN 0521005515. http://books.google.com/?id=kOsybQWDK4oC&pg=PA96. 
  31. Francis Begnaud Hildebrand (1992). Methods of applied mathematics (Reprint of Prentice-Hall 1965 2nd ed.). Courier Dover Publications. p. 24. ISBN 0486670023. http://books.google.com/?id=17EZkWPz_eQC&pg=PA24. 
  32. 32,0 32,1 Lawrence S. Leff (2005). PreCalculus the Easy Way (7th ed.). Barron's Educational Series. p. 296. ISBN 0764128922. http://books.google.com/?id=y_7yrqrHTb4C&pg=PA296. 

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]