Функцыя
f
{\displaystyle f}
f
−
1
{\displaystyle f^{-1}}
f
(
a
)
=
3
{\displaystyle f(a)=3}
f
−
1
(
3
)
=
a
{\displaystyle f^{-1}(3)=a}
Адваро́тная фу́нкцыя — функцыя , якая абарачае вызначаную функцыю: калі функцыя f x y g y x f (x ) = y g (y ) = x g (f (x )) = x
Функцыю, адваротную да функцыі f f −1
Функцыя, для якой існуе адваротная функцыя, называецца абарачальнаю .
Функцыя
g
:
Y
→
X
{\displaystyle g:Y\to X}
адваротнаю да функцыі
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
f
(
g
(
y
)
)
=
y
{\displaystyle f(g(y))=y}
y
∈
Y
;
{\displaystyle y\in Y;}
g
(
f
(
x
)
)
=
x
{\displaystyle g(f(x))=x}
x
∈
X
.
{\displaystyle x\in X.}
Каб знайсці адваротную функцыю, трэба развязаць ураўненне
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
x
{\displaystyle x}
f
{\displaystyle f}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
ін'ектыўная .
Для непарыўнай функцыі
F
(
y
)
{\displaystyle F(y)}
y
{\displaystyle y}
x
−
F
(
y
)
=
0
{\displaystyle x-F(y)=0}
F
(
y
)
{\displaystyle F(y)}
тэарэма пра няяўную функцыю ). Тым не менш, непарыўную функцыю заўсёды можна абярнуць на прамежках яе манатоннасці. Напрыклад,
x
{\displaystyle {\sqrt {x}}}
x
2
{\displaystyle x^{2}}
[
0
,
+
∞
)
{\displaystyle [0,+\infty )}
(
−
∞
,
0
]
{\displaystyle (-\infty ,0]}
−
x
{\displaystyle -{\sqrt {x}}}
Калі
F
:
R
→
R
+
,
F
(
x
)
=
a
x
{\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+},\;F(x)=a^{x}}
a
>
0
,
{\displaystyle a>0,}
F
−
1
(
x
)
=
log
a
x
.
{\displaystyle F^{-1}(x)=\log _{a}x.}
Калі
F
(
x
)
=
a
x
+
b
,
x
∈
R
{\displaystyle F(x)=ax+b,\;x\in \mathbb {R} }
a
,
b
∈
R
{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
F
−
1
(
x
)
=
x
−
b
a
.
{\displaystyle F^{-1}(x)={\frac {x-b}{a}}.}
Калі
F
(
x
)
=
x
n
,
x
≥
0
,
n
∈
Z
{\displaystyle F(x)=x^{n},x\geq 0,n\in \mathbb {Z} }
F
−
1
(
x
)
=
x
n
.
{\displaystyle F^{-1}(x)={\sqrt[{n}]{x}}.}
Вобласцю вызначэння
F
−
1
{\displaystyle F^{-1}}
мноства
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
Па азначэнню маем:
y
=
F
(
x
)
⇔
x
=
F
−
1
(
y
)
{\displaystyle y=F(x)\Leftrightarrow x=F^{-1}(y)}
ці
F
(
F
−
1
(
y
)
)
=
y
,
∀
y
∈
Y
,
{\displaystyle F\left(F^{-1}(y)\right)=y,\;\forall y\in Y,}
F
−
1
(
F
(
x
)
)
=
x
,
∀
x
∈
X
,
{\displaystyle F^{-1}(F(x))=x,\;\forall x\in X,}
або карацей
F
∘
F
−
1
=
i
d
Y
,
{\displaystyle F\circ F^{-1}=\mathrm {id} _{Y},}
F
−
1
∘
F
=
i
d
X
,
{\displaystyle F^{-1}\circ F=\mathrm {id} _{X},}
дзе
∘
{\displaystyle \circ }
кампазіцыю функцый , а
i
d
X
,
i
d
Y
{\displaystyle \mathrm {id} _{X},\mathrm {id} _{Y}}
тоесныя адлюстраванні на
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
Функцыя
F
{\displaystyle F}
F
−
1
{\displaystyle F^{-1}}
(
F
−
1
)
−
1
=
F
{\displaystyle \left(F^{-1}\right)^{-1}=F}
Няхай
F
:
X
⊂
R
→
Y
⊂
R
{\displaystyle F:X\subset \mathbb {R} \to Y\subset \mathbb {R} }
біекцыя . Няхай
F
−
1
:
Y
→
X
{\displaystyle F^{-1}:Y\to X}
графікі функцый
y
=
F
(
x
)
{\displaystyle y=F(x)}
y
=
F
−
1
(
x
)
{\displaystyle y=F^{-1}(x)}
y
=
x
{\displaystyle y=x}
Адваротную функцыю аналітычнай функцыі можна прадставіць у выглядзе ступеннага рада:
F
−
1
(
y
)
=
∑
k
=
0
∞
A
k
(
x
0
)
(
y
−
f
(
x
0
)
)
k
k
!
,
{\displaystyle F^{-1}(y)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}(x_{0}){\frac {(y-f(x_{0}))^{k}}{k!}},}
дзе каэфіцыенты
A
k
{\displaystyle A_{k}}
A
k
(
x
)
=
{
A
0
(
x
)
=
x
,
A
n
+
1
(
x
)
=
A
n
′
(
x
)
F
′
(
x
)
.
{\displaystyle A_{k}(x)={\begin{cases}A_{0}(x)=x,\\A_{n+1}(x)={\frac {A_{n}'(x)}{F'(x)}}.\end{cases}}}
![{\displaystyle (-\infty ,0]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0241c015ef4c611c9c9aeafb395e7c4a16178405)
![{\displaystyle F^{-1}(x)={\sqrt[{n}]{x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fb1c87a631ca4cad19afda61c340f970d29b54b)
