Адваротная функцыя

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
Функцыя і яе адваротная функцыя . Калі , то

Адваро́тная фу́нкцыяфункцыя, якая абарачае вызначаную функцыю: калі функцыя f ад аргумента x дае значэнне y, то яе адваротная функцыя g ад y дае x, г. зн. f(x) = y, і g(y) = x. Коратка гэта можна запісаць так: g(f(x)) = x.

Функцыю, адваротную да функцыі f, звычайна абазначаюць як f −1.

Функцыя, для якой існуе адваротная функцыя, называецца абарачальнаю.

Азначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Функцыя з'яўляецца адваротнаю да функцыі , калі выконваюцца наступныя тоеснасці:

  • для ўсіх
  • для ўсіх

Існаванне[правіць | правіць зыходнік]

Каб знайсці адваротную функцыю, трэба развязаць ураўненне адносна . Калі яно мае больш чым адзін корань, то функцыі, адваротнай да , не існуе. Такім чынам, функцыя абарачальная на прамежку тады і толькі тады, калі на гэтым прамежку яна ін'ектыўная.

Для непарыўнай функцыі выразіць з ураўнення можна ў тым і толькі тым выпадку, калі функцыя манатонная (см. тэарэма пра няяўную функцыю). Тым не менш, непарыўную функцыю заўсёды можна абярнуць на прамежках яе манатоннасці. Напрыклад, з'яўляецца адваротнаю да на , хоць на прамежку адваротная функцыя іншая: .

Прыклады[правіць | правіць зыходнік]

  • Калі , дзе то
  • Калі , дзе вызначаныя пастаянныя і , то
  • Калі , то

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

  • Вобласцю вызначэння з'яўляецца мноства , а вобласцю значэнняў областью значений — мноства .
  • Па азначэнню маем:

ці

або карацей

дзе абазначае кампазіцыю функцый, а тоесныя адлюстраванні на і адпаведна.

  • Функцыя з'яўляецца адваротнаю да :
.
  • Няхай — біекцыя. Няхай яе адваротная функцыя. Тады графікі функцый і сіметрычныя адносна прамой .

Раскладанне ў ступенны рад[правіць | правіць зыходнік]

Адваротную функцыю аналітычнай функцыі можна прадставіць у выглядзе ступеннага рада:

дзе каэфіцыенты задаюцца рэкурсіўнаю (зваротнаю) формулай:

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]