Формула Стырлінга

З пляцоўкі Вікіпедыя.
Перайсці да: рух, знайсці
Адносіна (ln n!) да (n ln n − n) імкнецца да 1 з ростам n.

У матэматыцы формула Стырлінга (таксама формула Муаўра — Стырлінга) — формула для прыбліжанага вылічэння фактарыяла і гама-функцыі. Названа ў гонар Джеймса Стырлінга і Абрахама дэ Муаўра, апошні лічыцца аўтарам формулы.[1]

Найбольш ужывальны варыянт формулы:

\ln \Gamma(n+1) = \ln n! = n\ln n - n +O(\ln(n))\

Наступны член у O(log(n)) — гэта 12ln(2πn); такім чынам больш дакладнае прыбліжэнне:

\lim_{n \rightarrow \infty} {\frac{n!}{\sqrt{2\pi n}\, \left(\frac{n}{e}\right)^{n}}} = 1,

што раўназначна

n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n.

Формула Стырлінга з'яўляецца першым прыбліжэннем пры раскладанні фактарыяла ў рад Стырлінга:

\begin{align}
n! &\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 +{1\over12n}+{1\over288n^2} - {139\over51840n^3} -{571\over2488320n^4}+ \cdots \right) \\
&= \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1+\frac{1}{(2^1)(6n)^1}+{1\over(2^3)(6n)^2}-{139\over(2^3)(2\cdot3\cdot5)(6n)^3}\,- \right. \\
&\qquad\left. -\,{571\over(2^6)(2\cdot3\cdot5)(6n)^4} + \cdots  \right).
 \end{align}

Зноскі

  1. Pearson, Karl. Historical note on the origin of the normal curve of errors. 16. 402–404 [p. 403]. : «Стырлінг толькі паказаў, што арыфметычная сталая ў формуле Муаўра роўная \sqrt{2\pi}. Я лічу, што гэта не робіць яго аўтарам тэарэмы».