Формула Стырлінга

Адносіна (ln n!) да (n ln n − n) імкнецца да 1 з ростам n.

У матэматыцы формула Стырлінга (таксама формула Муаўра — Стырлінга) — формула для прыбліжанага вылічэння фактарыяла і гама-функцыі. Названа ў гонар Джеймса Стырлінга і Абрахама дэ Муаўра, апошні лічыцца аўтарам формулы.

Найбольш ужывальны варыянт формулы:

$\ln \Gamma (n+1)=\ln n!=n\ln n-n+O(\ln(n))\$$\ln \Gamma (n+1)=\ln n!=n\ln n-n+O(\ln(n))\$

Наступны член у O(log(n)) — гэта ¹⁄₂ln(2πn); такім чынам больш дакладнае прыбліжэнне:

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n!}{{\sqrt {2\pi n}}\,\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}}=1,$$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n!}{{\sqrt {2\pi n}}\,\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}}=1,$

што раўназначна

$n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.$$n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.$

Формула Стырлінга з'яўляецца першым прыбліжэннем пры раскладанні фактарыяла ў рад Стырлінга:

${\begin{aligned}n!&\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{1 \over 12n}+{1 \over 288n^{2}}-{139 \over 51840n^{3}}-{571 \over 2488320n^{4}}+\cdots \right)\\&={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{(2^{1})(6n)^{1}}}+{1 \over (2^{3})(6n)^{2}}-{139 \over (2^{3})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{3}}\,-\right.\\&\qquad \left.-\,{571 \over (2^{6})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{4}}+\cdots \right).\end{aligned}}$${\begin{aligned}n!&\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{1 \over 12n}+{1 \over 288n^{2}}-{139 \over 51840n^{3}}-{571 \over 2488320n^{4}}+\cdots \right)\\&={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{(2^{1})(6n)^{1}}}+{1 \over (2^{3})(6n)^{2}}-{139 \over (2^{3})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{3}}\,-\right.\\&\qquad \left.-\,{571 \over (2^{6})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{4}}+\cdots \right).\end{aligned}}$