Адносіна (ln
n !) да (
n ln
n −
n ) імкнецца да 1 з ростам
n .
У матэматыцы формула Стырлінга (таксама формула Муаўра — Стырлінга ) — формула для прыбліжанага вылічэння фактарыяла і гама-функцыі . Названа ў гонар Джеймса Стырлінга і Абрахама дэ Муаўра , апошні лічыцца аўтарам формулы.[1]
Найбольш ужывальны варыянт формулы:
ln
Γ
(
n
+
1
)
=
ln
n
!
=
n
ln
n
−
n
+
O
(
ln
(
n
)
)
{\displaystyle \ln \Gamma (n+1)=\ln n!=n\ln n-n+O(\ln(n))\ }
Наступны член у O (log(n) ) — гэта 1 ⁄ 2 n ); такім чынам больш дакладнае прыбліжэнне:
lim
n
→
∞
n
!
2
π
n
(
n
e
)
n
=
1
,
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n!}{{\sqrt {2\pi n}}\,\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}}=1,}
што раўназначна
n
!
∼
2
π
n
(
n
e
)
n
.
{\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}
Формула Стырлінга з'яўляецца першым прыбліжэннем пры раскладанні фактарыяла ў рад Стырлінга :
n
!
∼
2
π
n
(
n
e
)
n
(
1
+
1
12
n
+
1
288
n
2
−
139
51840
n
3
−
571
2488320
n
4
+
⋯
)
=
2
π
n
(
n
e
)
n
(
1
+
1
(
2
1
)
(
6
n
)
1
+
1
(
2
3
)
(
6
n
)
2
−
139
(
2
3
)
(
2
⋅
3
⋅
5
)
(
6
n
)
3
−
−
571
(
2
6
)
(
2
⋅
3
⋅
5
)
(
6
n
)
4
+
⋯
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}n!&\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{1 \over 12n}+{1 \over 288n^{2}}-{139 \over 51840n^{3}}-{571 \over 2488320n^{4}}+\cdots \right)\\&={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{(2^{1})(6n)^{1}}}+{1 \over (2^{3})(6n)^{2}}-{139 \over (2^{3})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{3}}\,-\right.\\&\qquad \left.-\,{571 \over (2^{6})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{4}}+\cdots \right).\end{aligned}}}
Зноскі
↑ Pearson, Karl. Historical note on the origin of the normal curve of errors . 16 . 402–404 [p. 403].
2
π
{\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}
