Формула Стырлінга

Адносіна (ln n!) да (n ln n − n) імкнецца да 1 з ростам n.

У матэматыцы формула Стырлінга (таксама формула Муаўра — Стырлінга) — формула для прыбліжанага вылічэння фактарыяла і гама-функцыі. Названа ў гонар Джеймса Стырлінга і Абрахама дэ Муаўра, апошні лічыцца аўтарам формулы.

Найбольш ужывальны варыянт формулы:

$\ln \Gamma(n+1) = \ln n! = n\ln n - n +O(\ln(n))\$

Наступны член у O(log(n)) — гэта ¹⁄₂ln(2πn); такім чынам больш дакладнае прыбліжэнне:

$\lim_{n \rightarrow \infty} {\frac{n!}{\sqrt{2\pi n}\, \left(\frac{n}{e}\right)^{n}}} = 1,$

што раўназначна

$n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n.$

Формула Стырлінга з'яўляецца першым прыбліжэннем пры раскладанні фактарыяла ў рад Стырлінга:

$\begin{align} n! &\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 +{1\over12n}+{1\over288n^2} - {139\over51840n^3} -{571\over2488320n^4}+ \cdots \right) \\ &= \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1+\frac{1}{(2^1)(6n)^1}+{1\over(2^3)(6n)^2}-{139\over(2^3)(2\cdot3\cdot5)(6n)^3}\,- \right. \\ &\qquad\left. -\,{571\over(2^6)(2\cdot3\cdot5)(6n)^4} + \cdots \right). \end{align}$