Закон Гука

Закон Гука
Названа ад	Роберт Гук
Асноўная тэма твора	спружына
Формула, якая апісвае закон або тэарэму	$F=k\Delta l$
Пазначэнне ў формуле	$F$, $k$ і $\Delta l$
Медыяфайлы на Вікісховішчы

Механіка суцэльных асяроддзяў

Суцэльнае асяроддзе Класічная механіка Закон захавання масы · Закон захавання імпульсу Тэорыя пругкасці Напружанне · Тэнзар · Цвёрдыя целы · Пругкасць · Пластычнасць · Закон Гука · Рэалогія · Вязкапругкасць Гідрадынаміка Вадкасць · Гідрастатыка · Гідрадынаміка · Вязкасць · Ньютанаўская вадкасць · Неньютанаўская вадкасць · Паверхневае нацяжэнне Асноўныя ўраўненні Ураўненне неразрыўнасці · Ураўненне Эйлера · Ураўненні Наўе — Стокса · Ураўненне дыфузіі · Закон Гука Вядомыя вучоныя Ньютан · Гук Бернулі · Эйлер · Кашы · Стокс · Наўе

Зако́н Гу́ка — ураўненне тэорыі пругкасці, якое злучае напружанне і дэфармацыю пругкага асяроддзя. Адкрыты ў 1660 годзе англійскім вучоным Робертам Гукам (Хукам) (англ.: Robert Hooke). Паколькі закон Гука запісваецца для малых напружанняў і дэфармацый, ён мае выгляд простай прапарцыйнасці.

У славеснай форме закон гучыць наступным чынам:

Сіла пругкасці, якая ўзнікае ў целе пры яго дэфармацыі, прама прапарцыйна велічыні гэтай дэфармацыі.

Для тонкага расцяжнага стрыжня закон Гука мае выгляд:

$\!F=k\Delta l.$

Тут $F$ — сіла, якой расцягваюць (сціскаюць) стрыжань, $\Delta l$ — абсалютнае падаўжэнне (сціск) стрыжня, а $k$ — каэфіцыент пругкасці (ці цвёрдасці).

Каэфіцыент пругкасці залежыць як ад уласцівасцей матэрыялу, так і ад памераў стрыжня. Можна вылучыць залежнасць ад памераў стрыжня (плошчы папярочнага сячэння $S$ і даўжыні $L$) яўна, запісаўшы каэфіцыент пругкасці як

$k={\frac {ES}{L}}.$

Велічыня $E$ завецца модулем пругкасці першага роду ці модулем Юнга і з'яўляецца механічнай характарыстыкай матэрыялу.

Калі ўвесці адноснае падаўжэнне

$\varepsilon ={\frac {\Delta l}{L}}$

і звычайнае напружанне ў папярочным сячэнні

$\sigma ={\frac {F}{S}},$

то закон Гука ў адносных адзінках запішацца як

$\sigma =E\varepsilon \ .$

У такой форме ён справядлівы для любых малых аб'ёмаў матэрыялу.

Таксама пры разліку прамых стрыжняў ужываюць запіс закона Гука ў адноснай форме

$\Delta l={\frac {FL}{ES}}.$

Варта мець на ўвазе, што закон Гука выконваецца толькі пры малых дэфармацыях. Пры перавышэнні мяжы прапарцыйнасці сувязь паміж напружаннямі і дэфармацыямі становіцца нелінейнай. Для шматлікіх асяроддзяў закон Гука непрыдатны нават пры малых дэфармацыях.

Абагульнены закон Гука

У агульным выпадку напружання і дэфармацыі апісваюцца тэнзарамі другога рангу ў трохмернай прасторы (маюць па 9 кампанент). Тэнзар пругкіх пастаянных, які злучае іх, з'яўляецца тэнзарам чацвёртага рангу $C_{ijkl}$ і ўтрымлівае 81 каэфіцыент. З прычыны сіметрыі тэнзара $C_{ijkl}$, а таксама тэнзараў напружанняў і дэфармацый, незалежнымі з'яўляюцца толькі 21 пастаянная. Закон Гука выглядае наступным чынам:

$\sigma _{ij}=\sum _{kl}C_{ijkl}\cdot \varepsilon _{kl},$

дзе $\sigma _{ij}$ — тэнзар напружанняў, $\varepsilon _{kl},$ — тэнзар дэфармацый. Для ізатропнага матэрыялу тэнзар $C_{ijkl}$ утрымлівае толькі два незалежныя каэфіцыенты.

Дзякуючы сіметрыі тэнзараў напружання і дэфармацыі, закон Гука можа быць прадстаўлены ў матрычнай форме.

Гл. таксама

• Каэфіцыент Пуасона
• Тэнзар напружанняў
• Тэнзар дэфармацыі
• Тэорыя пругкасці

Спасылкі

• Закон Гука на досведзе (відэа)