Закон Гука

З пляцоўкі Вікіпедыя.
Перайсці да: рух, знайсці
Механіка суцэльных асяроддзяў
BernoullisLawDerivationDiagram.svg
Суцэльнае асяроддзе
Гл. таксама «Фізічны партал»

Зако́н Гу́ка — ураўненне тэорыі пругкасці, якое злучае напружанне і дэфармацыю пругкага асяроддзя. Адкрыты ў 1660 годзе англійскім вучоным Робертам Гукам (Хукам) (англ.: Robert Hooke)[1]. Паколькі закон Гука запісваецца для малых напружанняў і дэфармацый, ён мае выгляд простай прапарцыйнасці.

У славеснай форме закон гучыць наступным чынам:

Сіла пругкасці, якая ўзнікае ў целе пры яго дэфармацыі, прама прапарцыйна велічыні гэтай дэфармацыі.

Для тонкага расцяжнага стрыжня закон Гука мае выгляд:

\! F =  k \Delta l.

Тут F — сіла, якой расцягваюць (сціскаюць) стрыжань, \Delta l — абсалютнае падаўжэнне (сціск) стрыжня, а kкаэфіцыент пругкасці (ці цвёрдасці).

Каэфіцыент пругкасці залежыць як ад уласцівасцей матэрыялу, так і ад памераў стрыжня. Можна вылучыць залежнасць ад памераў стрыжня (плошчы папярочнага сячэння S і даўжыні L) яўна, запісаўшы каэфіцыент пругкасці як

k = \frac{ES} L.

Велічыня E завецца модулем пругкасці першага роду ці модулем Юнга і з'яўляецца механічнай характарыстыкай матэрыялу.

Калі ўвесці адноснае падаўжэнне

\varepsilon = \frac{\Delta l} L

і звычайнае напружанне ў папярочным сячэнні

\sigma = \frac F S ,

то закон Гука ў адносных адзінках запішацца як

\sigma = E\varepsilon \ .

У такой форме ён справядлівы для любых малых аб'ёмаў матэрыялу.

Таксама пры разліку прамых стрыжняў ужываюць запіс закона Гука ў адноснай форме

\Delta l = \frac{FL} {ES}.

Варта мець на ўвазе, што закон Гука выконваецца толькі пры малых дэфармацыях. Пры перавышэнні мяжы прапарцыйнасці сувязь паміж напружаннямі і дэфармацыямі становіцца нелінейнай. Для шматлікіх асяроддзяў закон Гука непрыдатны нават пры малых дэфармацыях.

Абагульнены закон Гука[правіць | правіць зыходнік]

У агульным выпадку напружання і дэфармацыі апісваюцца тэнзарамі другога рангу ў трохмернай прасторы (маюць па 9 кампанент). Тэнзар пругкіх пастаянных, які злучае іх, з'яўляецца тэнзарам чацвёртага рангу C_{ijkl} і ўтрымлівае 81 каэфіцыент. З прычыны сіметрыі тэнзара C_{ijkl}, а таксама тэнзараў напружанняў і дэфармацый, незалежнымі з'яўляюцца толькі 21 пастаянная. Закон Гука выглядае наступным чынам:

\sigma_{ij} = \sum_{kl} C_{ijkl} \cdot \varepsilon_{kl},

дзе \sigma_{ij} — тэнзар напружанняў, \varepsilon_{kl}, — тэнзар дэфармацый. Для ізатропнага матэрыялу тэнзар C_{ijkl} утрымлівае толькі два незалежныя каэфіцыенты.

Дзякуючы сіметрыі тэнзараў напружання і дэфармацыі, закон Гука можа быць прадстаўлены ў матрычнай форме.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Зноскі

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]