Куб (алгебра)

З пляцоўкі Вікіпедыя
Jump to navigation Jump to search
y=x3, пры цэлых значэннях x на адрэзку ад 1 да 25

У арыфметыцы і алгебры, куб ліку x — гэта яго трэцяя ступень x3, г.зн. здабытак трох аднолькавых множнікаў, роўных ліку x:

x3 = x × x × x.

Куб ліку роўны здабытку самога ліку і яго квадрата:

x3 = x × x2.

Аперацыя ўзвядзення ў куб мае просты геаметрычны сэнс: куб ліку x роўны аб'ёму геаметрычнага куба з рабром x, адкуль і паходзіць назва самой арыфметычнай аперацыі. Адваротная аперацыя знаходжання ліку, чый куб роўны n, называецца здабываннем кубічнага кораня з n і вызначае рабро куба з аб'ёмам n.

І куб, і кубічны корань з'яўляюцца няцотнымі функцыямі:

(−n)3 = −(n3).

Куб ліку ці любога іншага матэматычнага выразу абазначаецца верхнім індэксам 3, напрыклад, 23 = 8 ці (x + 1)3.

Гісторыя[правіць | правіць зыходнік]

Вызначэнне кубоў вялікіх лікаў было распаўсюджана ў многіх старажытных цывілізацыях. У старававілонскі перыяд (20 — 16 стст. да н.э.) месапатамскія матэматыкі стварылі клінапісныя таблічкі з табліцамі для вылічэння кубоў і кубічных каранёў[1][2]. Кубічныя ўраўненні былі вядомы старажытнагрэчаскаму матэматыку Дыяфанту[3]. У 1-м ст. н.э. Герон Александрыйскі вынайшаў метад вылічэння кубічных каранёў[4]. Метады рашэння кубічных ураўненняў і здабывання кубічных каранёў сустракаюцца ў «Матэматыцы ў дзевяці кнігах», кітайскім матэматычным тэксце, састаўленым каля 2-га ст. да н.э., з каментарыямі Лю Хуэя (3 ст. н.э.)[5]. Індыйскі матэматык Арыябхата напісаў тлумачэнне кубоў у сваёй працы Арыябхація. У 2010 годзе Альберта Цаноні знайшоў новы алгарытм[6] вылічэння кубоў вялікіх цэлых лікаў, які ў пэўным дыяпазоне значэнняў скарэйшы чым узвядзенне ў квадрат і дамнажэнне.

Паслядоўнасць кубоў[правіць | правіць зыходнік]

Паслядоўнасць кубоў неадмоўных лікаў пачынаецца лікамі[7]:

1³ = 1 11³ = 1331 21³ = 9261 31³ = 29 791 41³ = 68 921 51³ = 132 651
2³ = 8 12³ = 1728 22³ = 10 648 32³ = 32 768 42³ = 74 088 52³ = 140 608
3³ = 27 13³ = 2197 23³ = 12 167 33³ = 35 937 43³ = 79,507 53³ = 148,877
4³ = 64 14³ = 2744 24³ = 13 824 34³ = 39 304 44³ = 85 184 54³ = 157 464
5³ = 125 15³ = 3375 25³ = 15 625 35³ = 42 875 45³ = 91 125 55³ = 166 375
6³ = 216 16³ = 4096 26³ = 17 576 36³ = 46 656 46³ = 97 336 56³ = 175 616
7³ = 343 17³ = 4913 27³ = 19 683 37³ = 50 653 47³ = 103 823 57³ = 185 193
8³ = 512 18³ = 5832 28³ = 21 952 38³ = 54 872 48³ = 110 592 58³ = 195 112
9³ = 729 19³ = 6859 29³ = 24 389 39³ = 59 319 49³ = 117 649 59³ = 205 379
10³ = 1000 20³ = 8000 30³ = 27 000 40³ = 64 000 50³ = 125 000 60³ = 216 000

Сума кубоў паслядоўных цэлых лікаў[правіць | правіць зыходнік]

Сума кубоў першых дадатных натуральных лікаў вылічаецца па формуле:

Вывад формулы[правіць | правіць зыходнік]

Наглядны доказ таго, што 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)²

Формулу сумы кубоў можна вывесці з дапамогай табліцы множання і формулы сумы арыфметычнай прагрэсіі[8]. Разглядаючы ў якасці ілюстрацыі метаду дзве табліцы множання 5×5, правядзём разважанні для табліц памерам n×n.

Табліца множання і кубы лікаў
× 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5
2 2 4 6 8 10
3 3 6 9 12 15
4 4 8 12 16 20
5 5 10 15 20 25
Табліца множання і арыфметычная прагрэсія
× 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5
2 2 4 6 8 10
3 3 6 9 12 15
4 4 8 12 16 20
5 5 10 15 20 25

Сума лікаў у k-ай (k = 1,2, …) выдзеленай вобласці першай табліцы:

А сума лікаў у k-ай (k = 1,2, …) выдзеленай вобласці другой табліцы, якія ўяўляюць сабой арыфметычную прагрэсію:

Складваючы па ўсіх выдзеленых абласцях першай табліцы, атрымліваем такі ж лік, як і складваючы па ўсіх выдзеленых абласцях другой табліцы:

Геаметрычны сэнс[правіць | правіць зыходнік]

Куб ліку роўны аб'ёму куба з даўжынёй рабра, роўнай гэтаму ліку.

Дзесятковае разлажэнне[правіць | правіць зыходнік]

  • У дзесятковым запісе куб можа заканчвацца на любую лічбу (у адрозненне ад квадрата)
  • У дзесятковым запісе дзве апошнія лічбы куба могуць быць 00, 01, 03, 04, 07, 08, 09, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 67, 68, 69, 71, 72, 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99. Залежнасць перадапошняй лічбы куба ад апошняй можна прадставіць у выглядзе наступнай табліцы:
апошняя
лічба
перадапошняя
лічба
0 0
5 2, 7
4, 8 цотная
2, 6 няцотная
1, 3, 7, 9 любая

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Зноскі[правіць | правіць зыходнік]

  1. Cooke, Roger (8 November 2012). The History of Mathematics. John Wiley & Sons. p. 63. ISBN 978-1-118-46029-0. http://books.google.com/books?id=CFDaj0WUvM8C&pg=PT63. 
  2. Nemet-Nejat, Karen Rhea (1998). Daily Life in Ancient Mesopotamia. Greenwood Publishing Group. p. 306. ISBN 978-0-313-29497-6. http://books.google.com/books?id=lbmXsaTGNKUC&pg=PA306. 
  3. Van der Waerden, Geometry and Algebra of Ancient Civilizations, chapter 4, Zurich 1983 ISBN 0-387-12159-5
  4. Smyly, J. Gilbart (1920). "Heron's Formula for Cube Root". Hermathena (Trinity College Dublin) 19 (42): 64–67. http://www.jstor.org/stable/23037103. 
  5. Crossley, John; W.-C. Lun, Anthony (1999). The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford University Press. pp. 176, 213. ISBN 978-0-19-853936-0. http://books.google.com/books?id=eiTJHRGTG6YC&pg=PA213. 
  6. http://www.springerlink.com/content/q1k57pr4853g1513/
  7. паслядоўнасць A000578 у OEIS
  8. Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги — 2-е изд. — Одесса: Матезис, 1923. — С. 68—70.

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]