Спіс лімітаў

Старонка змяшчае спіс лімітаў для асноўных функцый, а таксама правілы вылічэння лімітаў.

Агульныя правілы

Ліміт непарыўнай функцыі

Асноўны артыкул: Непарыўная функцыя

Калі функцыя f(x) непарыўная ў пункце x₀, то яе ліміт пры імкненні x да x₀ роўны значэнню функцыі ў гэтым пункце:

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0}).$

Арыфметычныя правілы для лімітаў

Гл. таксама: Ліміт паслядоўнасці

Гл. таксама: Ліміт функцыі

Няхай існуюць ліміты $\lim _{x\to c}f(x)=L_{1}$ і $\lim _{x\to c}g(x)=L_{2}$. Тады

• ліміт сумы роўны суме лімітаў

  $\lim _{x\to c}(f(x)+g(x))=L_{1}+L_{2},$

• ліміт рознасці роўны рознасці лімітаў

  $\lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=L_{1}-L_{2},$

• ліміт здабытку роўны здабытку лімітаў

  $\lim _{x\to c}\,[f(x)g(x)]=L_{1}\times L_{2}$

Няхай $\lim _{x\to c}g(x)=L_{2}\neq 0.$ Тады

• ліміт дзелі роўны дзелі лімітаў

  $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}.$

Няхай $\lim _{x\to c}f(x)=L_{1}>0.$ Тады

• ліміт ступені існуе і роўны

  $\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=L_{1}^{L_{2}}.$

Заўвага. Усе гэтыя правілы праўдзяцца і для лімітаў паслядоўнасцей. Паслядоўнасць можна разглядаць як адмысловы выпадак функцыі, якая вызначана толькі для натуральных значэнняў сваёй зменнай. У гэтым выпадку граніцу паслядоўнасці можна вытлумачыць як граніцу такой функцыі пры імкненні зменнай (натуральнага ліку) да бясконцасці.

Правіла Лапіталя

Асноўны артыкул: Правіла Лапіталя

Калі $\lim _{x\to c}f(x)=0$ і $\lim _{x\to c}g(x)=0,$ і існуе ліміт дзелі іх вытворных

$\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}},$

то

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.$

Ліміты рацыянальных выразаў

• $\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {a_{0}x^{k}+a_{1}x^{k-1}+...+a_{k}}{b_{0}x^{r}+b_{1}x^{r-1}+...+b_{r}}}={\begin{cases}\operatorname {sgn}[{a_{0} \over b_{0}}]\cdot (\pm 1)^{(k-r)}\cdot \infty ,&k>r,\\{\frac {a_{0}}{b_{0}}},&k=r,\\0,&k<r.\end{cases}}$

«Грунтоўныя» ліміты

Словазлучэнне грунтоўныя ліміты (руск.: замечательные пределы) замацавалася ў савецкіх і цяперашніх расійскіх і беларускіх падручніках па матэматычным аналізе як назва двух важных лімітаў, якія маюць шматлікія дастасаванні ў матэматычным аналізе.

• Першы грунтоўны ліміт (руск.: первый замечательный предел)

  $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1$

• Другі грунтоўны ліміт (руск.: второй замечательный предел)

  $\lim _{x\to \pm \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e$

Заўвага 1. Ліміты многіх выразаў з трыганаметрычнымі функцыямі вынікаюць з першага грунтоўнага ліміту.

Заўвага 2. Ліміты выразаў з лагарыфмамі і ступенна-паказнікавых выразаў часта можна атрымаць як вынік другога грунтоўнага ліміту.

Трыганаметрычныя выразы

• $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1$

• $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(ax)}{bx}}={\frac {a}{b}}$

• $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(ax)}{\sin(bx)}}={\frac {a}{b}}$

• $\lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {tg} (x)}{x}}=1$

• $\lim _{x\to 0}{\frac {\arcsin(x)}{x}}=1$

• $\lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {arctg} (x)}{x}}=1$

• $\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos(x)}{x}}=0$

• $\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos(x)}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}$

Ступенна-паказнікавыя і лагарыфмічныя выразы

• $\lim _{x\to 0}(1+x)^{\frac {1}{x}}=e$

• $\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1$

• $\lim _{x\to 0}{\frac {\log _{a}(1+x)}{x}}={\frac {1}{\ln a}}$

• $\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}=1$

• $\lim _{x\to 0}{\frac {a^{x}-1}{x}}=\ln a$

• $\lim _{x\to 0}{\frac {(1+x)^{\alpha }-1}{x}}=\alpha$

Ліміты і вядомыя матэматычныя сталыя

Гл. таксама: Лік Ойлера

Гл. таксама: Лік Пі

• $\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e$

• $\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2\cdot 4\cdot \dots \cdot 2n}{1\cdot 3\cdot \dots \cdot (2n-1)}}\right)^{2}\cdot {\frac {1}{2n+1}}={\frac {\pi }{2}}$ (формула Уоліса)

• $\lim _{n\to \infty }2^{n}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}}}} _{n}=\pi$

Ліміты-параўнанні функцый

У гэтым падраздзеле прыведзены ліміты выразаў, якія ўяўляюць сабою дзелі дзвюх функцый або выразы ўзору «функцыя ў ступені функцыя». Гэтыя ліміты адметныя тым, што яны паказваюць, якая з функцый хутчэй набліжаецца да нуля (ці бясконцасці).

• $\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{\alpha }}{a^{n}}}=0,\qquad (a>1)$

• $\lim _{n\to \infty }{\frac {a^{n}}{n!}}=0$

• $\lim _{n\to \infty }{\frac {\ln n}{n}}=0$

• $\lim _{n\to \infty }{\frac {(\ln n)^{q}}{n^{\alpha }}}=0,\qquad (\alpha >0)$

• $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a}}=1,\qquad (a>0)$

• $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=1$

• $\lim _{x\to +0}x^{\alpha }\ln x=0,\qquad (\alpha >0)$

• $\lim _{x\to +0}x^{x}=1$

Азначэнні функцый праз ліміты

Паказнікавая функцыя

Асноўны артыкул: Паказнікавая функцыя

Для любога камплекснага z паказнікавую функцыю можна вызначыць як

• $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}=e^{z}$

• $\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {z^{k}}{k!}}=e^{z}$

Гама-функцыя Ойлера

Асноўны артыкул: Гама-функцыя

• Для любых камплексных z праўдзіцца формула Ойлера-Гауса

  $\Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\,n^{z}}{z(z+1)\dots (z+n)}}$

Дзэта-функцыя Рымана

Асноўны артыкул: Дзэта-функцыя Рымана

• Дзэта-функцыя Рымана на камплекснай плоскасці пры Re z > 1 вызначаецца як ліміт

  $\zeta (z):=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{n^{z}}}$