Спіс граніц

З пляцоўкі Вікіпедыя
Jump to navigation Jump to search

Гэты артыкул змяшчае спіс граніц (лімітаў) для асноўных функцый, а таксама правілы вылічэння граніц.

Агульныя правілы[правіць | правіць зыходнік]

Граніца непарыўнай функцыі[правіць | правіць зыходнік]

Vista-xmag.png Асноўны артыкул: Непарыўная функцыя

Калі функцыя f(x) непарыўная ў пункце x0, то яе граніца пры імкненні x да x0 роўная значэнню функцыі ў гэтым пункце:

Арыфметычныя правілы для граніц[правіць | правіць зыходнік]

Няхай існуюць граніцы і . Тады

  • граніца сумы роўная суме граніц
  • граніца рознасці роўная рознасці граніц
  • граніца здабытку роўная здабытку граніц

Няхай Тады

  • граніца дзелі роўная дзелі граніц

Няхай Тады

  • граніца ступені існуе і раўняецца

Заўвага. Усе гэтыя правілы праўдзяцца і для граніц паслядоўнасцей. Паслядоўнасць можна разглядаць як адмысловы выпадак функцыі, якая вызначана толькі для натуральных значэнняў сваёй зменнай. У гэтым выпадку граніцу паслядоўнасці можна вытлумачыць як граніцу такой функцыі пры імкненні зменнай (натуральнага ліку) да бясконцасці.

Правіла Лапіталя[правіць | правіць зыходнік]

Vista-xmag.png Асноўны артыкул: Правіла Лапіталя

Калі і і існуе граніца дзелі іх вытворных

то

Граніцы рацыянальных выразаў[правіць | правіць зыходнік]

"Выдатныя" граніцы[правіць | правіць зыходнік]

Словазлучэнне выдатныя граніцы (руск.: замечательные пределы) замацавалася ў савецкіх і цяперашніх расійскіх падручніках па матэматычным аналізе як назва дзвюх важных граніц, якія маюць шматлікія дастасаванні ў матэматычным аналізе[1].

  • Першая выдатная граніца (руск.: первый замечательный предел)
  • Другая выдатная граніца (руск.: второй замечательный предел)

Заўвага 1. Граніцы многіх выразаў з трыганаметрычнымі функцыямі вынікаюць з першай выдатнай граніцы.

Заўвага 2. Граніцы выразаў з лагарыфмамі і ступенна-паказнікавых выразаў часта можна атрымаць як вынік другой выдатнай граніцы.

Трыганаметрычныя выразы[правіць | правіць зыходнік]

Ступенна-паказнікавыя і лагарыфмічныя выразы[правіць | правіць зыходнік]

Граніцы і вядомыя матэматычныя сталыя[правіць | правіць зыходнік]

  •  (формула Ўоліса)[2]

Граніцы-параўнанні функцый[правіць | правіць зыходнік]

У гэтым падраздзеле прыведзены граніцы выразаў, якія ўяўляюць сабою дзелі дзвюх функцый або выразы ўзору "функцыя ў ступені функцыя". Гэтыя граніцы адметныя тым, што яны паказваюць, якая з функцый хутчэй набліжаецца да нуля (ці бясконцасці).

Азначэнні функцый праз граніцы[правіць | правіць зыходнік]

Паказнікавая функцыя[правіць | правіць зыходнік]

Vista-xmag.png Асноўны артыкул: Паказнікавая функцыя

Для любога камплекснага z паказнікавую функцыю можна вызначыць як

Гама-функцыя Ойлера[правіць | правіць зыходнік]

Vista-xmag.png Асноўны артыкул: Гама-функцыя
  • Для любых камплексных z праўдзіцца формула Ойлера-Гауса[3]

Дзэта-функцыя Рымана[правіць | правіць зыходнік]

Vista-xmag.png Асноўны артыкул: Дзэта-функцыя Рымана

Крыніцы і спасылкі[правіць | правіць зыходнік]

  1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. — Москва: Наука, 1971. — Т. 1.
  2. 2,0 2,1 Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.
  3. Воднев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Основные математические формулы / Под ред. Богданова Ю.С.. — Минск: Вышэйшая школа, 1980.