Цэлы алгебраічны лік

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Цэлымі алгебраічнымі лікамі называюцца камплексныя (і ў прыватнасці рэчаісныя) карані мнагачленаў з цэлымі каэфіцыентамі і са старшым каэфіцыентам, роўным адзінцы.

Адносна складання і множання камплексных лікаў, цэлыя алгебраічныя лікі ўтвараюць колца . Відавочна, з'яўляецца падколцам поля алгебраічных лікаў і ўтрымлівае ўсе звычайныя цэлыя лікі.

Няхай — некаторы камплексны лік. Разгледзім колца , спароджанае добаўленнем да колца звычайных цэлых лікаў . Яно ўтворана ўсімі магчымымі значэннямі , дзе — мнагачлен з цэлымі каэфіцыентамі. Тады спраўджваецца наступны крытэрый: лік з'яўляецца цэлым алгебраічным лікам тады і толькі тады, калі канечнапароджаная абелева група.

Прыклады цэлых алгебраічных лікаў[правіць | правіць зыходнік]

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

  • Усе рацыянальныя лікі, якія ўваходзяць у , з'яўляюцца на справе цэлымі лікамі. Інакш кажучы, ні адзін нескарачальны дроб з назоўнікам, большым за адзінку, цэлым алгебраічным лікам быць не можа.
  • Для кожнага алгебраічнага ліку існуе натуральны лік такі, што — цэлы алгебраічны лік.
  • Корань любой ступені з цэлага алгебраічнага ліку таксама з'яўляецца цэлым алгебраічным лікам.

Гісторыя[правіць | правіць зыходнік]

Тэорыю цэлых алгебраічных лікаў стварылі ў XIX стагоддзі Гаус, Якобі, Дэдэкінд, Кумер і іншыя. Цікавасць да яе, сярод іншага, выклікана тым, што гістарычна гэта структура аказалася першай у матэматыцы, дзе было выяўлена неадназначнае раскладанне на простыя множнікі. Класічныя прыклады пабудаваў Кумер; скажам, у падколцы алгебраічных лікаў віду маюць месца 2 раскладанні:

прычым у абодвух выпадках усе множнікі — простыя, г. зн. не раскладаюцца ў гэтым падколцы.

Даследаванне гэтае праблемы прывяло да адкрыцця важных паняццяў ідэала і простага ідэала, у структуры якіх раскладанне на простыя множнікі можна вызначыць адназначна.

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • К. Айерлэнд, М. Роузен. Классическое введение в современную теорию чисел. Перевод с английского С. П. Демушкина под редакцией А. Н. Паршина. М.: Мир, 1987, глава 6.
  • Боревич З. И., Шафаревич И. P. Теория чисел. М., 1964.
  • Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Мир, 1975, глава 17: Целые алгебраические элементы.
  • Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел, пер. с нем., М. — Л., 1940.
  • Гельфонд А. О. Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952.
  • Постников М. М. Введение в теорию алгебраических чисел