Корань мнагачлена

З пляцоўкі Вікіпедыя
Jump to navigation Jump to search

Корань мнагачлена (не роўнага тоесна нулю)

над полем k — гэта элемент (альбо элемент пашырэння поля k), такі, што выконваюцца дзве наступныя раўназначныя ўмовы:

  • дадзены мнагачлена дзеліцца на мнагачлен ;
  • падстаноўка элемента c замест x ператварае ўраўненне

у тоеснасць.

Раўназначнасць дзвюх фармулёвак вынікае з тэарэмы Безу. У розных крыніцах нейкая адна з іх выбіраецца ў якасці азначэння, а другая выводзіцца ў якасці тэарэмы.

Кажуць, што корань мае кратнасць , калі мнагачлен дзеліцца на і не дзеліцца на Напрыклад, мнагачлен мае адзіны корань роўны , кратнасці 2. Выраз «кратны корань» азначае, што кратнасць кораня большая за адзінку.

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

  • Лік каранёў мнагачлена ступені не перавышае нават у тым выпадку, калі кожны корань улічваць столькі разоў, якая яго кратнасць.
  • Кожны мнагачлен з камплекснымі каэфіцыентамі мае па крайняй меры адзін, наогул кажучы, камплексны, корань (асноўная тэарэма алгебры).
    • Аналагічнае сцвярджэнне справядліва для любога алгебраічна замкнёнага поля (па азначэнню).
    • Больш таго, мнагачлен з рэчаіснымі каэфіцыентамі можна запісаць у выглядзе
дзе — (у агульным выпадку камплексныя) карані мнагачлена , магчыма з паўторамі, пры гэтым калі сярод каранёў мнагачлена сустракаюцца роўныя, то агульнае іх значэнне называецца кратным коранем.
  • Лік камплексных каранёў мнагачлена з камплекснымі каэфіцыентамі ступені n, улічваючы кратныя карані кратную колькасць разоў, роўны n. Пры гэтым усе чыста камплексныя карані (калі яны ёсць) мнагачлена з рэчаіснымі каэфіцыентамі можна разбіць на пары спалучаных аднолькавай кратнасці, такім чынам, мнагачлен цотнай ступені з рэчаіснымі каэфіцыентамі можа мець толькі цотную колькасць рэчаісных каранёў, а няцотнай — толькі няцотную.
  • Карані мнагачлена звязаныя з яго каэфіцыентамі формуламі Віета.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]