Мера Жардана

Ме́ра Жарда́на (або Ме́ра Пеа́на-Жарда́на) — адзін са спосабаў фармалізацыі паняцця памеру (даўжыні, плошчы і n-мернага аб'ёму) у n-мернай еўклідавай прасторы.

Пабудова

Мноства вымернае па Жардану, калі ўнутраная мера Жардана раўняецца вонкавай меры Жардана.

Мера Жардана $~m\Delta$ паралелепіпеда $\Delta =\prod _{i=1}^{n}[a_{i},\;b_{i}]$ у $\mathbb {R} ^{n}$ вызначаецца як здабытак

$m\Delta =\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i}).$

Для абмежаванага мноства $E\subset \mathbb {R} ^{n}$ вызначаюцца:

• вонкавая (знешняя) мера Жардана

  $m_{e}E=\inf \sum _{k=1}^{N}m\Delta _{k},\quad \bigcup _{k}\Delta _{k}\supset E$

• унутраная мера Жардана

  $m_{i}E=\sup \sum _{k=1}^{N}m\Delta _{k},\quad \bigcup _{k}\Delta _{k}\subset E,\quad \Delta _{k}\cap \Delta _{m}=\varnothing ,$ калі $k\neq m,$

дзе $\Delta _{1},\;\Delta _{2},\;\ldots ,\;\Delta _{N}$ — паралелепіпеды апісанага вышэй выгляду.

Мноства $~E$ называецца вымерным па Жардану (квадравальным пры n = 2, кубавальным пры n ≥ 3), калі $~m_{e}E=m_{i}E.$ У гэтым выпадку мера Жардана роўная $~mE=m_{e}E=m_{i}E.$

Уласцівасці

• Мера Жардана застаецца нязменнаю адносна рухаў еўклідавай прасторы.
• Абмежаванае мноства $E\subset \mathbb {R} ^{n}$ вымернае па Жардану тады і толькі тады, калі яго мяжа мае нулявую меру Жардана .
  • У прыватнасці, усе мноствы, чыя мяжа складаецца з канечнага ліку гладкіх крывых і пунктаў, вымерныя па Жардану. Тым не менш, існуюць мноствы, абмежаваныя простай замкнутай крывой Жардана, не вымерныя па Жардану.
• Вонкавая мера Жардана адна і тая ж для $~E$ і ${\bar {E}}$ (замыкання мноства $~E$) і раўняецца меры Барэля ${\bar {E}}$.
• Вымерныя па Жардану мноствы ўтвараюць колца, на яком мера Жардана канечная адытыўная функцыя.

Гісторыя

Такое паняцце меры ўвялі Пеана (1887) і Жардан (1892). Пазней паняцце было абагульнена Лебегам на шырэйшы клас мностваў.

Прыклад мноства, невымернага па Жардану

Разглядзім меру Жардана $m,$ вызначаную на $\mathbb {R} ^{2}$ і няхай $A=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:0\leq x\leq 1,\;0\leq y\leq 1\}$ — мноства пунктаў адзінкавага квадрата. Няхай $X=A\cap \mathbb {Q} ^{2}$ — мноства ўсіх пунктаў мноства $A$ з рацыянальнымі каардынатамі, тады $X$ — невымернае па Жардану мноства, бо

$m_{e}X=1,\;m_{i}X=0,\;m_{e}X\neq m_{i}X,$

г. зн. вонкавая і ўнутраная мера Жардана не супадаюць.

Літаратура

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
• Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д. Сборник задач по математическому анализу, глава 2;
• Peano, G. Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale. — Torino, 1887;
• Jordan, C. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1892. — t. 8. — p. 69—99;

Гл. таксама

• Мера мноства
• Мера Лебега
• Мера Хаусдорфа