Прастора Мінкоўскага: Розніца паміж версіямі
[дагледжаная версія] | [дагледжаная версія] |
пераклад ru:Пространство Минковского |
пераклад, афармленне |
||
Радок 1: | Радок 1: | ||
[[Выява: |
[[Выява:Twin Paradox Minkowski Diagram.svg|thumb|Ілюстрацыя [[Парадокс блізнят|парадокса блізнят]] на дыяграме Мінкоўскага.]] |
||
'''Прасто́ра [[Герман Мінкоўскі|Мінко́ўскага]]''' ― чатырохмерная [[псеўдаеўклідава прастора]] [[Сігнатура, лінейная алгебра|сігнатуры]] |
'''Прасто́ра [[Герман Мінкоўскі|Мінко́ўскага]]''' ― чатырохмерная [[псеўдаеўклідава прастора]] [[Сігнатура, лінейная алгебра|сігнатуры]] {{nowrap|(1, 3)}}, прапанаваная ў якасці геаметрычнай мадэлі [[Прастора-час|прасторы-часу]] [[спецыяльная тэорыя адноснасці|спецыяльнай тэорыі адноснасці]]. |
||
Кожнай падзеі адпавядае кропка прасторы Мінкоўскага, у лорэнцавых (ці галілеевых) каардынатах, тры каардынаты якой прадстаўляюць дэкартавы каардынаты трохмернай еўклідавай прасторы, а чацвёртая ― каардынату <math>ct</math>, дзе <math>c</math> ― [[хуткасць святла]], <math>t</math> ― час падзеі. |
Кожнай падзеі адпавядае кропка прасторы Мінкоўскага, у лорэнцавых (ці галілеевых) каардынатах, тры каардынаты якой прадстаўляюць дэкартавы каардынаты трохмернай еўклідавай прасторы, а чацвёртая ― каардынату <math>ct</math>, дзе <math>c</math> ― [[хуткасць святла]], <math>t</math> ― час падзеі. |
||
Сувязь паміж прасторавымі адлегласцямі і прамежкамі часу паміж падзеямі |
Сувязь паміж прасторавымі адлегласцямі і прамежкамі часу паміж падзеямі характарызуецца квадратам [[Інтэрвал, тэорыя адноснасці|інтэрвала]]: |
||
: <math>~s^2=c^2(t_1-t_0)^2- (x_1-x_0)^2 -(y_1-y_0)^2 -(z_1-z_0)^2.</math> |
: <math>~s^2=c^2(t_1-t_0)^2- (x_1-x_0)^2 -(y_1-y_0)^2 -(z_1-z_0)^2.</math> |
||
Нярэдка ў якасці квадрата інтэрвала бяруць процілеглую велічыню, выбар знака — пытанне адвольнага пагаднення. Так, першапачаткова сам Мінкоўскі прапанаваў іменна процілеглы знак для квадрата інтэрвала |
Нярэдка ў якасці квадрата інтэрвала бяруць процілеглую велічыню, выбар знака — пытанне адвольнага пагаднення. Так, першапачаткова сам Мінкоўскі прапанаваў іменна процілеглы знак для квадрата інтэрвала. |
||
Інтэрвал у прасторы Мінкоўскага выконвае ролю, падобную да ролі адлегласці ў геаметрыі еўклідавых прастор. Ён[[інварыянт, фізіка|захоўвае сваю велічыню]] пры замене аднае інерцыяльнае сістэмы адліку на другую, гэтак жа як і адлегласць не змяняецца пры паваротах, адлюстраваннях і зрухах пачатку каардынат у еўклідавай прасторы. Ролю, падобную да ролі паваротаў еўклідавай прасторы, выконваюць для прасторы Мінкоўскага [[пераўтварэнні Лорэнца]]. |
Інтэрвал у прасторы Мінкоўскага выконвае ролю, падобную да ролі адлегласці ў геаметрыі [[еўклідава прастора|еўклідавых прастор]]. Ён [[інварыянт, фізіка|захоўвае сваю велічыню]] пры замене аднае [[інерцыяльная сістэма адліку|інерцыяльнае сістэмы адліку]] на другую, гэтак жа як і адлегласць не змяняецца пры паваротах, адлюстраваннях і зрухах пачатку каардынат у еўклідавай прасторы. Ролю, падобную да ролі паваротаў еўклідавай прасторы, выконваюць для прасторы Мінкоўскага [[пераўтварэнні Лорэнца]]. |
||
Квадрат інтэрвала аналагічны квадрату адлегласці ў еўклідавай прасторы. Аднак у прасторы Мінкоўскага квадрат інтэрвала не заўсёды дадатны, таксама паміж рознымі падзеямі інтэрвал можа быць роўны нулю. |
Квадрат інтэрвала аналагічны квадрату адлегласці ў еўклідавай прасторы. Аднак у прасторы Мінкоўскага квадрат інтэрвала не заўсёды дадатны, таксама паміж рознымі падзеямі інтэрвал можа быць роўны нулю. |
||
Радок 21: | Радок 21: | ||
* Інтэрвал паміж дзвюма падзеямі, праз якія праходзіць сусветная лінія інерцыяльнага назіральніка, падзелены на <math>c</math>, называецца яго '''ўласным часам''', бо гэта велічыня супадае з часам, вымераным гадзіннікам, рушачым разам з назіральнікам. Для неінерцыяльнага назіральніка ўласны час паміж дзвюма падзеямі адпавядае інтэгралу ад інтэравала ўздоўж сусветнай лініі. |
* Інтэрвал паміж дзвюма падзеямі, праз якія праходзіць сусветная лінія інерцыяльнага назіральніка, падзелены на <math>c</math>, называецца яго '''ўласным часам''', бо гэта велічыня супадае з часам, вымераным гадзіннікам, рушачым разам з назіральнікам. Для неінерцыяльнага назіральніка ўласны час паміж дзвюма падзеямі адпавядае інтэгралу ад інтэравала ўздоўж сусветнай лініі. |
||
* Крывая, датычны вектор к якой у кожнай яе кропцы часападобны, называецца '''часападобнаю лініяй'''. Гэтак жа вызначаюцца '''прасторападобныя''' і '''ізатропныя''' («светлападобныя») крывыя. |
* Крывая, датычны вектор к якой у кожнай яе кропцы часападобны, называецца '''часападобнаю лініяй'''. Гэтак жа вызначаюцца '''прасторападобныя''' і '''ізатропныя''' («светлападобныя») крывыя. |
||
* Гіперпаверхня, усе датычныя вектары якой прасторападобныя, называецца '''прасторападобнаю''', калі ж у кожным пункце гіперпаверхні знойдзецца часападобны датычны вектар, такая паверхня называецца '''часападобнаю'''. |
|||
== Уласцівасці прасторы Мінкоўскага == |
== Уласцівасці прасторы Мінкоўскага == |
||
* Калі вектар, які злучае сусветныя пункты, часападобны, то існуе сістэма адліку, у якой падзеі адбываюцца ў адной і той жа кропцы трохмернай прасторы. |
* Калі вектар, які злучае сусветныя пункты, часападобны, то існуе сістэма адліку, у якой падзеі адбываюцца ў адной і той жа кропцы трохмернай прасторы. |
||
* Калі вектар, які злучае сусветныя пункты дзвюх падзей, прасторападобны, то існуе сістэма адліку, у якой гэтыя дзве падзеі адбываюцца адначасова; яны не звязаны прычынна-выніковаю сувяззю; модуль інтэрвала вызначае прасторавую адлегласць паміж гэтымі пунктамі (падзеямі) у гэтай сістэме адліку. |
* Калі вектар, які злучае сусветныя пункты дзвюх падзей, прасторападобны, то існуе сістэма адліку, у якой гэтыя дзве падзеі адбываюцца адначасова; яны не звязаны прычынна-выніковаю сувяззю; модуль інтэрвала вызначае прасторавую адлегласць паміж гэтымі пунктамі (падзеямі) у гэтай сістэме адліку. |
||
* Мноства ўсіх сусветных ліній святла, якія выходзяць з вызначанага сусветнага пункта ў сукупнасці з усімі ўваходзячымі, утварае двухполасцевую канічную гіперпаверхню, інварыянтную (нязменную) адносна пераўтварэнняў Лорэнца |
* Мноства ўсіх сусветных ліній святла, якія выходзяць з вызначанага сусветнага пункта ў сукупнасці з усімі ўваходзячымі, утварае двухполасцевую канічную гіперпаверхню, інварыянтную (нязменную) адносна пераўтварэнняў Лорэнца. Гэта гіперпаверхня называецца '''ізатропным''' ці '''светлавым конусам'''. Яна раздзяляе прычыннае мінулае дадзенага сусветнага пункта, яго прычынную будучыню і прычынна незалежную з дадзеным сусветным пунктам(прасторападобную) вобласць прасторы Мінкоўскага. |
||
* Датычны вектар да сусветнай лініі любога звычайнага фізічнага цела з'яўляецца часападобным вектарам. |
|||
<!-- |
|||
* Датычны вектар да сусветнае лініі святла (у [[вакуум]]е) з'яўляецца ізатропным вектарам. |
|||
* Касательный вектор к мировой линии любого обычного физического тела является времениподобным вектором. |
|||
* Групай рухаў прасторы Мінкоўскага, г.зн. групай пераўтварэнняў, захоўваючых метрыку, з'яўляецца 10-параметрычная [[група Пуанкарэ]], якая складаецца з 4 пераносаў — 3 прасторавых і 1 часавага, 3 чыста прасторавых вярчэнняў і 3 прасторава-часавых вярчэнняў. Апошнія 6, узятыя разам, утвараюць падгрупу групы Пуанкарэ — [[Група Лорэнца|групу пераўтварэнняў Лорэнца]]. Такім чынам, прастора Мінкоўскага з'яўляецца чатырохмернаю метрычнаю прастораю найвышэшае магчымае ступені сіметрыі і мае 10 [[вектар Кілінга|вектараў Кілінга]]. |
|||
* Касательный вектор к мировой линии света (в вакууме) является изотропным вектором. |
|||
* У [[агульная тэорыя адноснасці|агульнай тэорыі адноснасці]] прастора Мінкоўскага прадстаўляе сабой трывіяльнае рашэнне [[Ураўненні Эйнштэйна|ўраўненняў Эйнштэйна]] для [[Эйнштэйнаўскі вакуум|вакууму]] (прастора з нулявым [[тэнзар энергіі-імпульсу|тэнзарам энергіі-імпульсу]] і нулявым [[лямбда-член|лямбда-членам]]). |
|||
* Гиперповерхность, все касательные векторы которой пространственноподобны, называется пространственноподобной гиперповерхностью (на такой гиперповерхности задаются начальные условия), если же в каждой точке гиперповерхности найдется времениподобный касательный вектор, такая поверхность называется времениподобной (на такой гиперповерхности нередко могут задаваться граничные условия). |
|||
* Группой движений пространства Минковского, то есть группой преобразований, сохраняющих метрику, является 10-параметрическая [[группа Пуанкаре]], состоящая из 4 трансляций — 3 пространственных и 1 временно́й, 3 чисто пространственных вращений и 3 пространственно-временных вращений, иначе называемых ''бустами''. Последние 6, взятые вместе, образуют подгруппу группы Пуанкаре — [[Группа Лоренца|группу преобразований Лоренца]]. Таким образом, пространство Минковского является четырёхмерным метрическим пространством наивысшей возможной степени симметрии и имеет 10 [[вектор Киллинга|векторов Киллинга]]. |
|||
* Специфические физически значимые классы координат в пространстве Минковского — лоренцевы (или галилеевы) координаты, [[координаты Риндлера]] и [[координаты Борна]]. Также бывают очень удобны (особенно в двумерном случае) [[изотропные координаты]] или координаты светового конуса. |
|||
* В общей теории относительности пространство Минковского представляет собой тривиальное решение [[Уравнения Эйнштейна|уравнений Эйнштейна]] для [[Эйнштейновский вакуум|вакуума]] (пространства с нулевым [[тензор энергии-импульса|тензором энергии-импульса]] и нулевым [[лямбда-член|лямбда-членом]]). |
|||
--> |
|||
== Гісторыя == |
== Гісторыя == |
||
Гэту прастору разглядалі [[Анры Пуанкарэ]] ў 1905 і [[Герман Мінкоўскі]] ў 1908 годзе. |
Гэту прастору разглядалі [[Анры Пуанкарэ]] ў 1905 і [[Герман Мінкоўскі]] ў 1908 годзе. |
||
[[Анры Пуанкарэ]] першы ўстанавіў і падрабязна даследаваў адну з самых важных уласцівасцей [[Пераўтварэнні Лорэнца|пераўтварэнняў Лорэнца]] — іх [[Група, алгебра|групавую структуру]], і паказаў, што ''"пераўтварэнні Лорэнца прадстаўляюць не што іншае, як паварот у прасторы чатырох вымярэнняў, кропкі якога маюць каардынаты <math>(x,y,z,i t)</math>"'' |
[[Анры Пуанкарэ]] першы ўстанавіў і падрабязна даследаваў адну з самых важных уласцівасцей [[Пераўтварэнні Лорэнца|пераўтварэнняў Лорэнца]] — іх [[Група, алгебра|групавую структуру]], і паказаў, што ''"пераўтварэнні Лорэнца прадстаўляюць не што іншае, як паварот у прасторы чатырох вымярэнняў, кропкі якога маюць каардынаты <math>(x,y,z,i t)</math>"''<ref>''Пуанкаре А.'' О динамике электрона. — В кн.: Принцип относительности: Сб. работ классиков релятивизма.— М.: Атомиздат, 1973, с. 90—93, 118—160.</ref>. Такім чынам, Пуанкарэ па крайняй меры за тры гады да Мінкоўскага аб'яднаў прастору і час у адну чатырохмерную прастору-час<ref>''Фущич В.И., Никитин А.Г.'' «Симметрия уравнений Максвелла» (Наукова думка, 1983) стр. 6.</ref>. |
||
== Гл. таксама == |
== Гл. таксама == |
Версія ад 23:57, 15 студзеня 2014
Прасто́ра Мінко́ўскага ― чатырохмерная псеўдаеўклідава прастора сігнатуры (1, 3), прапанаваная ў якасці геаметрычнай мадэлі прасторы-часу спецыяльнай тэорыі адноснасці.
Кожнай падзеі адпавядае кропка прасторы Мінкоўскага, у лорэнцавых (ці галілеевых) каардынатах, тры каардынаты якой прадстаўляюць дэкартавы каардынаты трохмернай еўклідавай прасторы, а чацвёртая ― каардынату , дзе ― хуткасць святла, ― час падзеі. Сувязь паміж прасторавымі адлегласцямі і прамежкамі часу паміж падзеямі характарызуецца квадратам інтэрвала:
Нярэдка ў якасці квадрата інтэрвала бяруць процілеглую велічыню, выбар знака — пытанне адвольнага пагаднення. Так, першапачаткова сам Мінкоўскі прапанаваў іменна процілеглы знак для квадрата інтэрвала.
Інтэрвал у прасторы Мінкоўскага выконвае ролю, падобную да ролі адлегласці ў геаметрыі еўклідавых прастор. Ён захоўвае сваю велічыню пры замене аднае інерцыяльнае сістэмы адліку на другую, гэтак жа як і адлегласць не змяняецца пры паваротах, адлюстраваннях і зрухах пачатку каардынат у еўклідавай прасторы. Ролю, падобную да ролі паваротаў еўклідавай прасторы, выконваюць для прасторы Мінкоўскага пераўтварэнні Лорэнца.
Квадрат інтэрвала аналагічны квадрату адлегласці ў еўклідавай прасторы. Аднак у прасторы Мінкоўскага квадрат інтэрвала не заўсёды дадатны, таксама паміж рознымі падзеямі інтэрвал можа быць роўны нулю.
Звязаныя азначэнні
- Псеўдаеўклідава метрыка ў прасторы Мінкоўскага, вызначаная прыведзенаю вышэй формулаю для інтэрвала, называецца метрыкаю Мінкоўскага.
- Мноства ўсіх вектараў з нулявым квадратам інтэрвала ўтварае канічную паверхню і называецца светлавым конусам.
- Вектар, які ляжыць унутры светлавога конуса, называецца часападобным вектарам, па-за светлавым конусам — прасторападобным.
- Падзея ў дадзены момант часу ў дадзеным пункце называецца сусветным пунктам.
- Мноства сусветных пунктаў, якое апісвае рух часціцы (матэрыяльнай кропкі) у часе, называецца сусветнаю лініяй.
- Інерцыяльны назіральнік: назіральнік, нерухомы ці рушачы раўнамерна і прамалінейна (і паступальна, без кручэння яго каардынатнай сістэмы) адносна інерцыяльнай сістэмы адліку.
- Інтэрвал паміж дзвюма падзеямі, праз якія праходзіць сусветная лінія інерцыяльнага назіральніка, падзелены на , называецца яго ўласным часам, бо гэта велічыня супадае з часам, вымераным гадзіннікам, рушачым разам з назіральнікам. Для неінерцыяльнага назіральніка ўласны час паміж дзвюма падзеямі адпавядае інтэгралу ад інтэравала ўздоўж сусветнай лініі.
- Крывая, датычны вектор к якой у кожнай яе кропцы часападобны, называецца часападобнаю лініяй. Гэтак жа вызначаюцца прасторападобныя і ізатропныя («светлападобныя») крывыя.
- Гіперпаверхня, усе датычныя вектары якой прасторападобныя, называецца прасторападобнаю, калі ж у кожным пункце гіперпаверхні знойдзецца часападобны датычны вектар, такая паверхня называецца часападобнаю.
Уласцівасці прасторы Мінкоўскага
- Калі вектар, які злучае сусветныя пункты, часападобны, то існуе сістэма адліку, у якой падзеі адбываюцца ў адной і той жа кропцы трохмернай прасторы.
- Калі вектар, які злучае сусветныя пункты дзвюх падзей, прасторападобны, то існуе сістэма адліку, у якой гэтыя дзве падзеі адбываюцца адначасова; яны не звязаны прычынна-выніковаю сувяззю; модуль інтэрвала вызначае прасторавую адлегласць паміж гэтымі пунктамі (падзеямі) у гэтай сістэме адліку.
- Мноства ўсіх сусветных ліній святла, якія выходзяць з вызначанага сусветнага пункта ў сукупнасці з усімі ўваходзячымі, утварае двухполасцевую канічную гіперпаверхню, інварыянтную (нязменную) адносна пераўтварэнняў Лорэнца. Гэта гіперпаверхня называецца ізатропным ці светлавым конусам. Яна раздзяляе прычыннае мінулае дадзенага сусветнага пункта, яго прычынную будучыню і прычынна незалежную з дадзеным сусветным пунктам(прасторападобную) вобласць прасторы Мінкоўскага.
- Датычны вектар да сусветнай лініі любога звычайнага фізічнага цела з'яўляецца часападобным вектарам.
- Датычны вектар да сусветнае лініі святла (у вакууме) з'яўляецца ізатропным вектарам.
- Групай рухаў прасторы Мінкоўскага, г.зн. групай пераўтварэнняў, захоўваючых метрыку, з'яўляецца 10-параметрычная група Пуанкарэ, якая складаецца з 4 пераносаў — 3 прасторавых і 1 часавага, 3 чыста прасторавых вярчэнняў і 3 прасторава-часавых вярчэнняў. Апошнія 6, узятыя разам, утвараюць падгрупу групы Пуанкарэ — групу пераўтварэнняў Лорэнца. Такім чынам, прастора Мінкоўскага з'яўляецца чатырохмернаю метрычнаю прастораю найвышэшае магчымае ступені сіметрыі і мае 10 вектараў Кілінга.
- У агульнай тэорыі адноснасці прастора Мінкоўскага прадстаўляе сабой трывіяльнае рашэнне ўраўненняў Эйнштэйна для вакууму (прастора з нулявым тэнзарам энергіі-імпульсу і нулявым лямбда-членам).
Гісторыя
Гэту прастору разглядалі Анры Пуанкарэ ў 1905 і Герман Мінкоўскі ў 1908 годзе.
Анры Пуанкарэ першы ўстанавіў і падрабязна даследаваў адну з самых важных уласцівасцей пераўтварэнняў Лорэнца — іх групавую структуру, і паказаў, што "пераўтварэнні Лорэнца прадстаўляюць не што іншае, як паварот у прасторы чатырох вымярэнняў, кропкі якога маюць каардынаты "[1]. Такім чынам, Пуанкарэ па крайняй меры за тры гады да Мінкоўскага аб'яднаў прастору і час у адну чатырохмерную прастору-час[2].