Прастора Мінкоўскага: Розніца паміж версіямі

Інтэрактыўны прагляд гісторыі

[дагледжаная версія]

← Папярэдняя праўка Наступная праўка →

Змесціва выдалена Змесціва дададзена

ВізуальнаВікіразметка

Лінейны

Версія ад 19:28, 12 лютага 2014

Прасто́ра Мінко́ўскага ― чатырохмерная псеўдаеўклідава прастора сігнатуры (1, 3), прапанаваная ў якасці геаметрычнай мадэлі прасторы-часу спецыяльнай тэорыі адноснасці.

Кожнай падзеі адпавядае кропка прасторы Мінкоўскага, у лорэнцавых (ці галілеевых) каардынатах, тры каардынаты якой прадстаўляюць дэкартавы каардынаты трохмернай еўклідавай прасторы, а чацвёртая ― каардынату $ct$ , дзе $c$ ― хуткасць святла, $t$ ― час падзеі. Сувязь паміж прасторавымі адлегласцямі і прамежкамі часу паміж падзеямі характарызуецца квадратам інтэрвалу:

~s^{2}=c^{2}(t_{1}-t_{0})^{2}-(x_{1}-x_{0})^{2}-(y_{1}-y_{0})^{2}-(z_{1}-z_{0})^{2}.

Нярэдка ў якасці квадрата інтэрвалу бяруць процілеглую велічыню, выбар знака — пытанне адвольнага пагаднення. Так, першапачаткова сам Мінкоўскі прапанаваў іменна процілеглы знак для квадрата інтэрвалу.

Інтэрвал у прасторы Мінкоўскага выконвае ролю, падобную да ролі адлегласці ў геаметрыі еўклідавых прастор. Ён захоўвае сваю велічыню пры замене аднае інерцыяльнае сістэмы адліку на другую, гэтак жа як і адлегласць не змяняецца пры паваротах, адлюстраваннях і зрухах пачатку каардынат у еўклідавай прасторы. Ролю, падобную да ролі паваротаў еўклідавай прасторы, выконваюць для прасторы Мінкоўскага пераўтварэнні Лорэнца.

Квадрат інтэрвалу аналагічны квадрату адлегласці ў еўклідавай прасторы. Аднак у прасторы Мінкоўскага квадрат інтэрвалу не заўсёды дадатны, таксама паміж рознымі падзеямі інтэрвал можа быць роўны нулю.

Звязаныя азначэнні

Псеўдаеўклідава метрыка ў прасторы Мінкоўскага, вызначаная прыведзенаю вышэй формулаю для інтэрвалу, называецца метрыкаю Мінкоўскага.
Мноства ўсіх вектараў з нулявым квадратам інтэрвалу ўтварае канічную паверхню і называецца светлавым конусам.
Вектар, які ляжыць унутры светлавога конуса, называецца часападобным вектарам, па-за светлавым конусам — прасторападобным.
Падзея ў дадзены момант часу ў дадзеным пункце называецца сусветным пунктам.
Мноства сусветных пунктаў, якое апісвае рух часціцы (матэрыяльнай кропкі) у часе, называецца сусветнаю лініяй.
Інерцыяльны назіральнік: назіральнік, нерухомы ці рушачы раўнамерна і прамалінейна (і паступальна, без кручэння яго каардынатнай сістэмы) адносна інерцыяльнай сістэмы адліку.
Інтэрвал паміж дзвюма падзеямі, праз якія праходзіць сусветная лінія інерцыяльнага назіральніка, падзелены на $c$ , называецца яго ўласным часам, бо гэта велічыня супадае з часам, вымераным гадзіннікам, рушачым разам з назіральнікам. Для неінерцыяльнага назіральніка ўласны час паміж дзвюма падзеямі адпавядае інтэгралу ад інтэрвалу ўздоўж сусветнай лініі.
Крывая, датычны вектар к якой у кожнай яе кропцы часападобны, называецца часападобнаю лініяю. Гэтак жа вызначаюцца прасторападобныя і ізатропныя («светлападобныя») крывыя.
Гіперпаверхня, усе датычныя вектары якой прасторападобныя, называецца прасторападобнаю, калі ж у кожным пункце гіперпаверхні знойдзецца часападобны датычны вектар, такая паверхня называецца часападобнаю.

Уласцівасці прасторы Мінкоўскага

Калі вектар, які злучае сусветныя пункты, часападобны, то існуе сістэма адліку, у якой падзеі адбываюцца ў адной і той жа кропцы трохмернай прасторы.
Калі вектар, які злучае сусветныя пункты дзвюх падзей, прасторападобны, то існуе сістэма адліку, у якой гэтыя дзве падзеі адбываюцца адначасова; яны не звязаны прычынна-выніковаю сувяззю; модуль інтэрвалу вызначае прасторавую адлегласць паміж гэтымі пунктамі (падзеямі) у гэтай сістэме адліку.
Мноства ўсіх сусветных ліній святла, якія выходзяць з вызначанага сусветнага пункта ў сукупнасці з усімі ўваходзячымі, утварае двухполасцевую канічную гіперпаверхню, інварыянтную (нязменную) адносна пераўтварэнняў Лорэнца. Гэта гіперпаверхня называецца ізатропным ці светлавым конусам. Яна раздзяляе прычыннае мінулае дадзенага сусветнага пункта, яго прычынную будучыню і прычынна незалежную з дадзеным сусветным пунктам (прасторападобную) вобласць прасторы Мінкоўскага.
Датычны вектар да сусветнай лініі любога звычайнага фізічнага цела з'яўляецца часападобным вектарам.
Датычны вектар да сусветнае лініі святла (у вакууме) з'яўляецца ізатропным вектарам.
Групай рухаў прасторы Мінкоўскага, г.зн. групай пераўтварэнняў, захоўваючых метрыку, з'яўляецца 10-параметрычная група Пуанкарэ, якая складаецца з 4 пераносаў — 3 прасторавых і 1 часавага, 3 чыста прасторавых вярчэнняў і 3 прасторава-часавых вярчэнняў. Апошнія 6, узятыя разам, утвараюць падгрупу групы Пуанкарэ — групу пераўтварэнняў Лорэнца. Такім чынам, прастора Мінкоўскага з'яўляецца чатырохмернаю метрычнаю прастораю найвышэшае магчымае ступені сіметрыі і мае 10 вектараў Кілінга.
У агульнай тэорыі адноснасці прастора Мінкоўскага прадстаўляе сабой трывіяльнае рашэнне ўраўненняў Эйнштэйна для вакууму (прастора з нулявым тэнзарам энергіі-імпульсу і нулявым лямбда-членам).

Гісторыя

Гэту прастору разглядалі Анры Пуанкарэ ў 1905 і Герман Мінкоўскі ў 1908 годзе.

Анры Пуанкарэ першы ўстанавіў і падрабязна даследаваў адну з самых важных уласцівасцей пераўтварэнняў Лорэнца — іх групавую структуру, і паказаў, што "пераўтварэнні Лорэнца прадстаўляюць не што іншае, як паварот у прасторы чатырох вымярэнняў, кропкі якога маюць каардынаты $(x,y,z,it)$ "^[1]. Такім чынам, Пуанкарэ па крайняй меры за тры гады да Мінкоўскага аб'яднаў прастору і час у адну чатырохмерную прастору-час^[2].

Гл. таксама

Зноскі

↑ Пуанкаре А. О динамике электрона. — В кн.: Принцип относительности: Сб. работ классиков релятивизма.— М.: Атомиздат, 1973, с. 90—93, 118—160.
↑ Фущич В.И., Никитин А.Г. «Симметрия уравнений Максвелла» (Наукова думка, 1983) стр. 6.

Шаблон:Вектары і матрыцы

Шаблон:Phys-stub

[1] Пуанкаре А. О динамике электрона. — В кн.: Принцип относительности: Сб. работ классиков релятивизма.— М.: Атомиздат, 1973, с. 90—93, 118—160.

[2] Фущич В.И., Никитин А.Г. «Симметрия уравнений Максвелла» (Наукова думка, 1983) стр. 6.

[1]

[2]

@@ Радок 1: / Радок 1: @@
-[[Выява:Twin Paradox Minkowski Diagram.svg|thumb|Ілюстрацыя [[Парадокс блізнят|парадокса блізнят]] на дыяграме Мінкоўскага.]]
+[[Выява:Twin Paradox Minkowski Diagram.svg|thumb|Ілюстрацыя [[Парадокс блізнят|парадоксу блізнят]] на дыяграме Мінкоўскага.]]
 '''Прасто́ра [[Герман Мінкоўскі|Мінко́ўскага]]''' ― чатырохмерная [[псеўдаеўклідава прастора]] [[Сігнатура, лінейная алгебра|сігнатуры]] {{nowrap|(1, 3)}}, прапанаваная ў якасці геаметрычнай мадэлі [[Прастора-час|прасторы-часу]] [[спецыяльная тэорыя адноснасці|спецыяльнай тэорыі адноснасці]].
 Кожнай падзеі адпавядае кропка прасторы Мінкоўскага, у лорэнцавых (ці галілеевых) каардынатах, тры каардынаты якой прадстаўляюць дэкартавы каардынаты трохмернай еўклідавай прасторы, а чацвёртая ― каардынату <math>ct</math>, дзе <math>c</math> ― [[хуткасць святла]], <math>t</math> ― час падзеі.
-Сувязь паміж прасторавымі адлегласцямі і прамежкамі часу паміж падзеямі характарызуецца квадратам [[Інтэрвал, тэорыя адноснасці|інтэрвала]]:
+Сувязь паміж прасторавымі адлегласцямі і прамежкамі часу паміж падзеямі характарызуецца квадратам [[Інтэрвал, тэорыя адноснасці|інтэрвалу]]:
 : <math>~s^2=c^2(t_1-t_0)^2- (x_1-x_0)^2 -(y_1-y_0)^2 -(z_1-z_0)^2.</math>
-Нярэдка ў якасці квадрата інтэрвала бяруць процілеглую велічыню, выбар знака — пытанне адвольнага пагаднення. Так, першапачаткова сам Мінкоўскі прапанаваў іменна процілеглы знак для квадрата інтэрвала.
+Нярэдка ў якасці квадрата інтэрвалу бяруць процілеглую велічыню, выбар знака — пытанне адвольнага пагаднення. Так, першапачаткова сам Мінкоўскі прапанаваў іменна процілеглы знак для квадрата інтэрвалу.
 Інтэрвал у прасторы Мінкоўскага выконвае ролю, падобную да ролі адлегласці ў геаметрыі [[еўклідава прастора|еўклідавых прастор]]. Ён [[інварыянт, фізіка|захоўвае сваю велічыню]] пры замене аднае [[інерцыяльная сістэма адліку|інерцыяльнае сістэмы адліку]] на другую, гэтак жа як і адлегласць не змяняецца пры паваротах, адлюстраваннях і зрухах пачатку каардынат у еўклідавай прасторы. Ролю, падобную да ролі паваротаў еўклідавай прасторы, выконваюць для прасторы Мінкоўскага [[пераўтварэнні Лорэнца]].
-Квадрат інтэрвала аналагічны квадрату адлегласці ў еўклідавай прасторы. Аднак у прасторы Мінкоўскага квадрат інтэрвала не заўсёды дадатны, таксама паміж рознымі падзеямі інтэрвал можа быць роўны нулю.
+Квадрат інтэрвалу аналагічны квадрату адлегласці ў еўклідавай прасторы. Аднак у прасторы Мінкоўскага квадрат інтэрвалу не заўсёды дадатны, таксама паміж рознымі падзеямі інтэрвал можа быць роўны нулю.
 == Звязаныя азначэнні ==
-* Псеўдаеўклідава [[Метрычны тэнзар|метрыка]] ў прасторы Мінкоўскага, вызначаная прыведзенаю вышэй формулаю для інтэрвала, называецца '''метрыкаю Мінкоўскага'''.
+* Псеўдаеўклідава [[Метрычны тэнзар|метрыка]] ў прасторы Мінкоўскага, вызначаная прыведзенаю вышэй формулаю для інтэрвалу, называецца '''метрыкаю Мінкоўскага'''.
-* Мноства ўсіх вектараў з нулявым квадратам інтэрвала ўтварае канічную паверхню і называецца '''[[светлавы конус|светлавым конусам]]'''.
+* Мноства ўсіх вектараў з нулявым квадратам інтэрвалу ўтварае канічную паверхню і называецца '''[[светлавы конус|светлавым конусам]]'''.
 * Вектар, які ляжыць унутры светлавога конуса, называецца '''часападобным вектарам''', па-за светлавым конусам — '''прасторападобным'''.
 * [[Падзея, тэорыя адноснасці|Падзея]] ў дадзены момант часу ў дадзеным пункце называецца '''сусветным пунктам'''.
 * Мноства сусветных пунктаў, якое апісвае рух часціцы (матэрыяльнай кропкі) у часе, называецца '''сусветнаю лініяй'''.
 * '''Інерцыяльны назіральнік''': назіральнік, нерухомы ці рушачы раўнамерна і прамалінейна (і паступальна, без кручэння яго каардынатнай сістэмы) адносна інерцыяльнай сістэмы адліку.
-* Інтэрвал паміж дзвюма падзеямі, праз якія праходзіць сусветная лінія інерцыяльнага назіральніка, падзелены на <math>c</math>, называецца яго '''ўласным часам''', бо гэта велічыня супадае з часам, вымераным гадзіннікам, рушачым разам з назіральнікам. Для неінерцыяльнага назіральніка ўласны час паміж дзвюма падзеямі адпавядае інтэгралу ад інтэравала ўздоўж сусветнай лініі.
+* Інтэрвал паміж дзвюма падзеямі, праз якія праходзіць сусветная лінія інерцыяльнага назіральніка, падзелены на <math>c</math>, называецца яго '''ўласным часам''', бо гэта велічыня супадае з часам, вымераным гадзіннікам, рушачым разам з назіральнікам. Для неінерцыяльнага назіральніка ўласны час паміж дзвюма падзеямі адпавядае інтэгралу ад інтэрвалу ўздоўж сусветнай лініі.
-* Крывая, датычны вектор к якой у кожнай яе кропцы часападобны, называецца '''часападобнаю лініяй'''. Гэтак жа вызначаюцца '''прасторападобныя''' і '''ізатропныя''' («светлападобныя») крывыя.
+* Крывая, датычны вектар к якой у кожнай яе кропцы часападобны, называецца '''часападобнаю лініяю'''. Гэтак жа вызначаюцца '''прасторападобныя''' і '''ізатропныя''' («светлападобныя») крывыя.
 * Гіперпаверхня, усе датычныя вектары якой прасторападобныя, называецца '''прасторападобнаю''', калі ж у кожным пункце гіперпаверхні знойдзецца часападобны датычны вектар, такая паверхня называецца '''часападобнаю'''.
 == Уласцівасці прасторы Мінкоўскага ==
 * Калі вектар, які злучае сусветныя пункты, часападобны, то існуе сістэма адліку, у якой падзеі адбываюцца ў адной і той жа кропцы трохмернай прасторы.
-* Калі вектар, які злучае сусветныя пункты дзвюх падзей, прасторападобны, то існуе сістэма адліку, у якой гэтыя дзве падзеі адбываюцца адначасова; яны не звязаны прычынна-выніковаю сувяззю; модуль інтэрвала вызначае прасторавую адлегласць паміж гэтымі пунктамі (падзеямі) у гэтай сістэме адліку.
+* Калі вектар, які злучае сусветныя пункты дзвюх падзей, прасторападобны, то існуе сістэма адліку, у якой гэтыя дзве падзеі адбываюцца адначасова; яны не звязаны прычынна-выніковаю сувяззю; модуль інтэрвалу вызначае прасторавую адлегласць паміж гэтымі пунктамі (падзеямі) у гэтай сістэме адліку.
-* Мноства ўсіх сусветных ліній святла, якія выходзяць з вызначанага сусветнага пункта ў сукупнасці з усімі ўваходзячымі, утварае двухполасцевую канічную гіперпаверхню, інварыянтную (нязменную) адносна пераўтварэнняў Лорэнца. Гэта гіперпаверхня называецца '''ізатропным''' ці '''светлавым конусам'''. Яна раздзяляе прычыннае мінулае дадзенага сусветнага пункта, яго прычынную будучыню і прычынна незалежную з дадзеным сусветным пунктам(прасторападобную) вобласць прасторы Мінкоўскага.
+* Мноства ўсіх сусветных ліній святла, якія выходзяць з вызначанага сусветнага пункта ў сукупнасці з усімі ўваходзячымі, утварае двухполасцевую канічную гіперпаверхню, інварыянтную (нязменную) адносна пераўтварэнняў Лорэнца. Гэта гіперпаверхня называецца '''ізатропным''' ці '''светлавым конусам'''. Яна раздзяляе прычыннае мінулае дадзенага сусветнага пункта, яго прычынную будучыню і прычынна незалежную з дадзеным сусветным пунктам (прасторападобную) вобласць прасторы Мінкоўскага.
 * Датычны вектар да сусветнай лініі любога звычайнага фізічнага цела з'яўляецца часападобным вектарам.
 * Датычны вектар да сусветнае лініі святла (у [[вакуум]]е) з'яўляецца ізатропным вектарам.