Магутнасць мноства

Магутнасць мноства, кардынальны лік мноства (лац. cardinalis ← cardo «стрыжань; асяродак») — характарыстыка мностваў (у тым ліку бясконцых), якая абагульняе паняцце колькасці (лічбы) элементаў канечнага мноства.

У аснове гэтага паняцця ляжаць натуральныя прадстаўленні аб параўнанні мностваў:

1. Любыя два мноствы, паміж элементамі якіх можа быць выяўлена ўзаемна-адназначная адпаведнасць (біекцыя), змяшчаюць аднолькавую колькасць элементаў (маюць аднолькавую магутнасць).
2. Наадварот: мноствы, роўныя па магутнасці, павінны мець такую ўзаемна-адназначную адпаведнасць.
3. Частка мноства не перавышае поўнага мноства па магутнасці (гэта значыць па колькасці элементаў).

Да пабудавання тэорыі магутнасці мностваў мноства адрозніваліся па прыкметам: пустое/непустое і канечнае/бясконцае, таксама канечныя мноствы адрозніваліся па колькасці элементаў. Бясконцыя ж мноства нельга было параўновываць.

Магутнасць мностваў дазваляе параўновываць бясконцыя мноствы. Напрыклад, злічальныя мноствы з'яўляюцца самымі «маленькімі» бясконцымі мноствамі.

Магутнасць мноства $A$ пазначаецца праз $|A|$. Часам сустракаюцца абазначэнні ${\overline {\overline {A}}}$, $\#A$ і $\mathrm {card} (A)$.

Азначэнне

Пры выконванні аксіёмы выбару магутнасць мноства фармальна азначаецца як мінімальны парадкавы лік $\alpha$, пры каторым між $X$ і $\alpha$ можна выявіць біектыўную адпаведнасць. Дадзенае азначэнне таксама называецца размеркаваннем кардынальных лікаў па фон Нэйману. 

Фармальны парадак сярод кардынальных лікаў уводзіцца наступным вобразам: $|X|\leq |Y|$ азначае, што мноства $X$ можна ін'ектыўна адлюстраваць на $Y$. Згодна з тэарэмай Кантара — Бярнштэйна, з двух няроўнасцей $|X|\leq |Y|$ і $|Y|\leq |X|$ вынікае, што $|X|=|Y|$. Аксіёма выбару эквівалентная сцвярджэнню аб тым, што для любых мностваў $X$ і $Y$ выконваецца прынамсі адно з няроўнасцей $|X|\leq |Y|$ або $|Y|\leq |X|$.

Звязаныя азначэнні

• Магутнасць мноства натуральных лікаў ${\mathbb {N} }$ пазначаецца сімвалам $\aleph _{0}$ («алеф-нуль»). Мноства называецца бясконцым, калі яго магутнасць $\geqslant \aleph _{0}$ (не менш магутнасці мноства натуральных лікаў), такім вобразам, злічальныя мноствы — гэта «самыя маленькія» з бясконцых мностваў. Наступныя кардынальныя лікі ў парадку нарастання пазначаюцца $\aleph _{1},\aleph _{2},\dots \aleph _{\omega },\aleph _{\omega +1},\dots \aleph _{\omega _{1}},\dots$ (дзе індэкс прабягае усё парадкавыя лікі). Сярод кардынальных лікаў няма найбольшага: для любога мноства кардынальных лікаў існуе кардынальны лік, большы за ўсе элементы гэтага мноства.

• Пра мноствы, раўнамагутныя мноству ўсіх рэчаісных лікаў, кажуць, што яны маюць магутнасць кантынуума, і магутнасць такіх мностваў пазначаецца сімвалам ${\mathfrak {c}}$ . Меркаванне аб тым, што ${\mathfrak {c}}=\aleph _{1}$, называецца кантынуум-гіпотэзай.

Прыклады

• Мноства называецца канечным, калі яно раўнамагутна адрэзку натуральнага шэрага $I_{n}=\{1,2...,n\}$ пры некаторым неадмоўным цэлым $n$. Лік $n$ абазначае колькасць элементаў канечнага мноства. Пры $n=0$ мноства не змяшчае элементаў (пустое мноства). Калі $n<m$, то не існуе ін'ектыўнага адлюстравання з $I_{m}$ у $I_{n}$ (прынцып Дырыхле), а значыць, не існуе і біекцыі між імі. Таму мноства $I_{m}$ і $I_{n}$ маюць розную магутнасць.

• Мноства называецца злічальным, калі яно раўнамагутна мноству ўсіх натуральных лікаў $\mathbb {N}$. Злічальнымі мноствамі з'яўляюцца:
  • Мноства $\mathbb {N} \setminus I_{k}$ пры любым натуральным $k$. Адпаведнасць: $n\rightarrow n+k$. 
  • Мноства $\mathbb {N} \cup \{0\}$. Адпаведнасць: $n\rightarrow n-1$.
  • Мноства цэлых лікаў $\mathbb {Z}$. Адпаведнасць атрымоўваецца пры супастаўленні складнікаў шэрага $0+1-2+3-4+5-6+...$  яго частковымі сумам (складнікі шэрага бяруцца без учоту знака).
  • Мноства пар натуральных лікаў $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$.
  • Мноства рацыянальных лікаў $\mathbb {Q}$ ін'ектыўна адлюстроўваецца у мноства $\mathbb {Z} \times \mathbb {N}$ (нескарачальнаму дробу $p/q$ выгляду адпавядае пара лікаў $(p,q)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {N}$. Таму мноства рацыянальных лікаў не больш, за злічальнае. Але паколькі яно змяшчае мноства натуральных лікаў, то яно і не менш, за злічальнае. Па тэарэме Кантара-Бярнштэйна яно злічальнае.

• Бясконцыя мноствы, нераўнамагутныя мноству $\mathbb {N}$, называюцца незлічальнымі. Па тэарэме Кантара незлічальным з'яўляецца мноства бясконцых паслядоўнасцей, састаўленых з лічб 0 і 1. Магутнасць гэтага мноства называется кантынуум.

• Магутнасць мноства $\mathbb {R}$ рэчаісных лікаў роўна кантынууму.

Уласцівасці

• Два канечных мноства раўнамагутныя тады і толькі тады, калі яны складаюцца з аднолькавай лічбы элементаў. Гэта значыць што для канечнага мноства паняцце магутнасці супадае з звычайным паняццем колькасці.
• Для бясконцых мностваў магутнасць мноства можа супадаць з магутнасцю свайго ўласнага падмноства, напрыклад $|{\mathbb {N} }|=|\mathbb {Z} |$.
• Больш таго, мноства бясконца тады і толькі тады, калі яно змяшчае раўнамагутнае ўласнае (гэта значыць яно не супадае з асноўным мноствам) падмноства.
• Тэарэма Кантара гарантуе існаванне больш магутнага мноства за любое дадзенае: Мноства ўсіх падмноств мноства A мае большую моцнасць, чым А, іначай кажучы $|2^{A}|>|A|$.
• З дапамогай кантарава квадрата можна таксама даказаць наступнае прыдатнае сцвярджэнне: дэкартаў  здабытак бясконцага мноства A з самім сабой раўнамагутны A.

Літаратура

• Ефимов Б. А. Множеств теория // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3. — 592 с. — 150 000 экз. Стл. 758-760.
• Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М.—Л., 1948.